Niech $s$ będzie długością trasy, jaką przebył samochód.

Przedstawmy sytuację z zadania w poniższej tabeli.

Ponieważ średnia prędkość na całej trasie wynosiła $72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, zatem do wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$72=\frac{s}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}s}{60}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}s}{v}}}$

$72=\frac{s}{{\displaystyle \frac{s}{180}+\frac{2s}{3v}}}$

$72=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{180}+\frac{2}{3v}}}$

$72=\frac{1}{{\displaystyle \frac{v}{180v}+\frac{120}{180v}}}$

$72=\frac{180v}{v+120}$

$72·\left(v+120\right)=180v$

$72v+8640=180v$

$108v=8640$

$v=80$

Zatem średnia prędkość samochodu na drugim odcinku trasy wynosiła $80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Niech $v \left[\frac{km}{h}\right]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{320}{v}=\frac{260}{v-15}$, gdzie $v\in \left(15,\infty \right)$

$320·\left(v-15\right)=260v$

$320v-4800=260v$

$60v=4800$

$v=80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

$80\frac{km}{h}-15\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}=65\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ oraz $65 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Zauważmy, że $36 \min =\frac{3}{5} \mathrm{h}$.

Przedstawmy za pomocą tabeli sytuację opisaną w zadaniu $\left(v>0, t>\frac{3}{5}\right)$.

Wobec tego do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{12}{v}=\frac{12}{v+1}+\frac{3}{5}$

$12·5·\left(v+1\right)=12·5·v+3·v·\left(v+1\right)$

$60v+60=60v+3v^2+3v$

$3v^2+3v-60=0$

$v^2+v-20=0$

$∆=1+80=81$

$\sqrt{∆}=9$

$v_1=\frac{-1-9}{2}=-5<0$

$v_2=\frac{-1+9}{2}=4>0$

Wobec tego prędkości, z jakimi poruszali się turyści wynoszą odpowiednio:

$v=4 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

$4\frac{km}{h}+1\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}=5\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v$ – zaplanowana prędkość $\left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right]$

$t$ – zaplanowany czas $\left[\mathrm{h}\right]$

Wiadomo, że $v$, $t>0$ oraz

$15 \min =\frac{15}{60} \mathrm{h}=\frac{1}{4} \mathrm{h}$

Zatem do wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{30}{v+20}+\frac{1}{4}=\frac{30}{v}$

$30·4·v+v·\left(v+20\right)=30·4·\left(v+20\right)$

$120v+v^2+20v=120v+2400$

$v^2+20v-2400=0$

$v_1=\frac{-20-100}{2}=-60<0$

$v_2=\frac{-20+100}{2}=40>0$

Motocyklista miał jechać  z prędkością $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.