Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1ekPBbKTetYM1

Ćwiczenie 1

ROogj7kDukiV21

Ćwiczenie 2

R1LCwSd5hF6R42

Ćwiczenie 3

RV5NH6AhlLvS12

Ćwiczenie 4

RbOMCaE9hm4EI2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Wyznacz współrzędne punktu $(x_{0}, f (x_{0}))$ , w którym styczna do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 1$ jest prostopadła do prostej określonej równaniem $y = 2 x - 2$ .

Niech prosta opisana równaniem $y = a x + b$ będzie omawianą styczną do wykresu funkcji.

Proste o równaniach $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Zatem $a = - \frac{1}{2}$ .

Wyznaczenie współrzędnych punktu $(x_{0}, f (x_{0}))$ przedstawiamy w następujących krokach:

$a = f' (x_{0})$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{- 3 \cdot {(x_{0} + h)}^{2} + 1 - (- 3 {x_{0}}^{2} + 1)}{h}$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{- 3 \cdot ({x_{0}}^{2} + 2 x_{0} h + h) + 1 - (- 3 {x_{0}}^{2} + 1)}{h}$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{- 3 {x_{0}}^{2} - 6 x_{0} h - 3 h^{2} + 1 + 3 {x_{0}}^{2} - 1}{h}$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{- 6 x_{0} h - 3 h^{2}}{h} = - 6 x_{0}$

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ , zatem:

$- \frac{1}{2} = - 6 x_{0}$

Zatem $x_{0} = \frac{1}{12}$

Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:

$(x_{0}, f (x_{0})) = (\frac{1}{12}, - 3 \cdot {(\frac{1}{12})}^{2} + 1) = (\frac{1}{12}, \frac{141}{144})$

Ćwiczenie 7

Sprawdź, czy istnieje styczna do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ mająca współczynnik kierunkowy równy $a = - 4$ .

W tym celu wystarczy sprawdzić, czy istnieje taki punkt $x_{0}$ , który spełnia zależność:

$a = f' (x_{0})$

Zatem:

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x_{0} + 1 + h} - \frac{1}{x_{0} + 1}}{h}$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x_{0} + 1 - (x_{0} + 1 + h)}{(x_{0} + 1 + h) \cdot (x_{0} + 1)}}{h}$

$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x_{0} + 1 + h) \cdot (x_{0} + 1)}}{h} = \frac{- 1}{(x_{0} + 1) \cdot (x_{0} + 1)}$

Ponieważ $a = - 4$ , zatem:

$- 4 = \frac{- 1}{(x_{0} + 1) \cdot (x_{0} + 1)}$

${(x_{0} + 1)}^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{0} + 1 = \frac{1}{4} \lor x_{0} + 1 = - \frac{1}{4}$

$x_{0} \in \{- \frac{3}{4}, - \frac{5}{4}\}$

Ponieważ istnieje punkt $x_{0}$ spełniający równanie $a = f' (x_{0})$ , zatem istnieje styczna do wykresu funkcji mająca podany współczynnik kierunkowy.

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = e^{x} - 1$ w punkcie $x_{0} = - 2$ .

Obliczamy wartość współczynnika kierunkowego funkcji, korzystając ze wzoru:

$a = f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_{0} + h} - 1 - e^{x_{0}} + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} \cdot e^{x_{0}} - e^{x_{0}}}{h} =$

$= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_{0}} \cdot (e^{h} - 1)}{h}$

Jeżeli wykonamy podstawienie $t = e^{h} - 1$ , to $h = \ln (t + 1)$ oraz $t$ dąży do $0$ .

Zatem

$a = f' (x_{0}) = \lim_{t \to 0} \frac{e^{x_{0}} \cdot t}{\ln (t + 1)} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{x_{0}}}{\frac{1}{t} \cdot \ln (t + 1)} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{x_{0}}}{\ln {(t + 1)}^{\frac{1}{t}}} = \frac{e^{x_{0}}}{\ln e} = e^{x_{0}}$

Wobec tego

$a = \frac{e^{- 2}}{\ln e} = e^{- 2}$

Film samouczek

Dla nauczyciela