Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RdtYtGwMci2ME

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono siatkę walca.

RbEh6fB1tdVzo

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z dwóch kół o promieniu r oraz jednego prostokąta. Wymiary prostokąta zostały podane, dłuży bok o długości dwanaście pi oraz krótszy o długości dziesięć.

R1PzrRDcTq7v9

Ćwiczenie 3

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono walce.

R1bQHVHpQEa7r

Ilustracja przedstawia dwa walce. Pierwszy o promieniu o długości r oraz wysokości o długości dwa r. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości piętnaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych r i dwa r oraz przeciwprostokątnej równej piętnaście. Drugi walec posiada promień podstawy o długości osiem oraz wysokości o długości h. W taki sam sposób promień oraz wysokość zostały połączone odcinkiem o długości czternaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej czternaście.

R1D3soHvU7V0H

Ćwiczenie 4

R1MJ97hvwqcXi

RIwYmKcJOzn8B

Ćwiczenie 5

Rzta8vpkQJrw2

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że iloczyn długości wysokości walca i średnicy jego podstawy jest równy $20$ , a ich stosunek długości wynosi $5 : 2$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1NI3EdBkp9Uo

Ilustracja przedstawia walce z oznaczonymi wartościami. Długość promienia jako r, wysokość jako h oraz średnice podstawy jako d.

Z treści zadania wynika, że:

$h = 5 r$ ,

$d = 2 r$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$5 r \cdot 2 r = 20$

$10 r^{2} = 20$

$r^{2} = 2$ , czyli $r = \sqrt{2}$ .

Zatem $h = 5 \sqrt{2}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} + 2 π \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 4 π + 20 π = 24 π$

Ćwiczenie 7

Obliczymy pole powierzchni bocznej walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi $480 π$ , a wysokość ma długość $8$ .

$P_{c} = 480 π$ ,

$h = 8$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Zatem:

$480 π = 2 π \cdot r^{2} + 2 π \cdot r \cdot 8$

$480 = 2 \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot 8$

$r^{2} + 8 r - 240 = 0$ ,

$r_{1} = \frac{- 8 - 32}{2} = - 20 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{- 8 + 32}{2} = 12 > 0$ .

Zatem promień podstawy walca jest równy $12$ .

Wobec tego pole powierzchni bocznej walca wynosi:

$P_{b} = 2 π \cdot 12 \cdot 8 = 192 π$ .

Ćwiczenie 8

Długość średnicy podstawy walca i wysokości jest taka sama, a ich iloczyn jest równy $P$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Z warunków zadania wynika, że $h = 2 r$ oraz $h \cdot 2 r = P$ .

Zatem $2 r \cdot 2 r = P$ , czyli $4 r^{2} = P$ .

Wobec tego:

$r = \frac{\sqrt{P}}{2}$ ,

$h = 2 r = 2 \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} = \sqrt{P}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\frac{\sqrt{P}}{2})}^{2} + 2 π \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} \cdot \sqrt{P} = 2 π \cdot \frac{P}{4} + π \cdot P = \frac{3}{2} π P$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela