Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ wyraża się wzorem: $(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ . Udowodnij, że jeśli zamienimy miejscami punkty $A$ i $B$ , to otrzymamy to samo równanie prostej.

Wyjściowe równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ ,

można przekształcić do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x - x_{A} y_{B} + y_{A} x_{B}$ .

Zamieńmy miejscami punkty $A$ i $B$ we wzorze. Wówczas otrzymamy równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{B}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{B})$ ,

które przekształca się do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x + x_{B} y_{A} - x_{A} y_{B}$ .

Porównując oba równania otrzymujemy wniosek, że są równoważne, zatem opisują tę samą prostą.

R123cmpOrQwhE1

Ćwiczenie 2

R1RfdLqMLFppq2

Ćwiczenie 3

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek A, równa się, nawias jeden, średnik, pięć zamknięcie nawiasu trójkąta A B C oraz przez punkt dzielący bok B C o końcach B, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias sześć, średnik, jeden zamknięcie nawiasu w stosunku jeden do trzech. Rozważ dwa przypadki. Uporządkuj wypowiedzi w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zacznijmy od wyznaczenia współrzędnych środka boku B C. Punkt M, będący środkiem, ma współrzędne nawias, początek ułamka, sześć, minus, cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, minus, dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias jeden, średnik, minus, zero przecinek pięć zamknięcie nawiasu., 2. Jako pierwsze wyznaczymy równanie prostej A K: y, minus, pięć, równa się, początek ułamka, minus, jeden przecinek dwa pięć, minus, pięć, mianownik, minus, jeden przecinek pięć, minus, jeden, koniec ułamka, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, czyli y, równa się, dwa przecinek pięć x, plus, dwa przecinek pięć., 3. Teraz możemy wyznaczyć środki K i L odcinków B M i M C: K, równa się, nawias, początek ułamka, minus, cztery, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, minus, dwa, minus, zero przecinek pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, jeden przecinek pięć, średnik, minus, jeden przecinek dwa pięć zamknięcie nawiasu, L, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, plus, sześć, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, minus, zero przecinek pięć, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy przecinek pięć, średnik, zero przecinek dwa pięć zamknięcie nawiasu., 4. Pozostało do wyznaczenia równanie prostej A L: y, minus, pięć, równa się, początek ułamka, zero przecinek dwa pięć, minus, pięć, mianownik, trzy przecinek pięć, minus, jeden, koniec ułamka, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, czyli y, równa się, minus, jeden przecinek dziewięć x, plus, sześć przecinek dziewięć.

R4q7G1VTFjRRV2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, równa się, nawias dwa, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias sześć, średnik, sześć zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu.

Prosta przechodząca przez punkt C i dzieląca bok A B w stosunku jeden do jeden ma równanie:
y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka
Prosta przechodząca przez punkt B i dzieląca bok A C w stosunku jeden do dwóch ma równanie:
y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, czternaście, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, minus, jeden
Prosta przechodząca przez punkt C i dzieląca bok A B w stosunku jeden do trzech ma równanie:
y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka
Prosta przechodząca przez punkt A i dzieląca bok B C w stosunku trzy do dwóch ma równanie:
x, równa się, dwa y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, plus, trzy y, równa się, minus, x

Ćwiczenie 5

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 3; - 1)$ , $B = (3; 1)$ , $C = (- 1; 4)$ . Wyznacz równanie prostej dzielącej trójkąt $A B C$ na trójkąt $K L C$ do niego podobny w skali $1 : 4$ i trapez $A B L K$ .

Wyznaczymy współrzędne środków $M$ , $N$ odcinków $A C$ i $B C$ :

$M = (\frac{- 3 - 1}{2}; \frac{- 1 + 4}{2}) = (- 2; 1, 5)$ ,

$N = (\frac{- 1 + 3}{2}; \frac{4 + 1}{2}) = (1; 2; 5)$ .

Teraz wyznaczymy środki $K$ i $L$ odcinków $C M$ i $C N$ :

$K = (\frac{- 1 - 2}{2}; \frac{4 + 1, 5}{2}) = (- 1, 5; 2, 75)$ ,

$L = (\frac{1 - 2}{2}; \frac{4 + 2, 5}{2}) = (0; 3, 25)$ .

Równanie prostej $K L$ otrzymamy wykorzystując wzór $(x_{L} - x_{K}) (y - y_{K}) = (y_{L} - y_{K}) (x - x_{K})$ :

$(0 - (- 1, 5)) (y - 2, 75) = (3, 25 - 2, 75) (x + 1, 5)$ ,

co po przekształceniu daje $y = \frac{1}{3} x + 3 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest trapez o wierzchołkach $A = (2; 5)$ , $B = (- 2; 1)$ , $C = (1; - 2)$ , $D = (8; 5)$ . Wyznacz równania prostych, które dzielą ramiona tego trapezu w stosunku $1 : 2$ .

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Zauważmy najpierw, że odcinek $A B$ jest równoległy do odcinka $C D$ . Zatem ramionami są odcinki $A D$ i $B C$ . Wyznaczmy współrzędne punktów dzielących ramiona w stosunku $1 : 2$ . Będą cztery takie punkty - po dwa na każdym ramieniu.

Na ramieniu $B C$ będą to punkty:

$K = (\frac{- 4 + 1}{3}; \frac{2 - 2}{3}) = (- 1; 0)$ i $L = (\frac{- 2 + 2}{3}; \frac{1 - 4}{3}) = (0; - 1)$ ,

zaś na ramieniu $A D$ punkty:

$M = (\frac{4 + 8}{3}; \frac{10 + 5}{3}) = (4; 5)$ i $N = (\frac{2 + 16}{3}; \frac{5 + 10}{3}) = (6; 5)$ .

Teraz wystarczy wyznaczyć równania prostych:

$K N$ : $y = \frac{5}{7} x + \frac{5}{7}$ ,

$K M$ : $y = x + 1$ ,

$L M$ : $y = \frac{3}{2} x - 1$ ,

$L N$ : $y = x - 1$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz równania prostych zawierających przekątne kwadratu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach $A = (1; 2)$ , $B = (4; - 2)$ , $C = (1; - 2)$ .

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Wyznaczymy teraz długość boku kwadratu. Jeśli oznaczymy długość boku tego kwadratu przez $a$ , wówczas zachodzi proporcja $\frac{4 - a}{a} = \frac{4}{3}$ . Z tego równania wynika, że $a = \frac{12}{7}$ .

Zatem wierzchołki kwadratu mają współrzędne:

$C = (1; - 2)$ ,

$X = (1 + \frac{12}{7}; - 2) (\frac{19}{7}; - 2)$ ,

$Z = (1; - 2 + \frac{12}{7}) = (1; - \frac{2}{7})$ ,

$Y = (1 + \frac{12}{7}; - 2 + \frac{12}{7}) = (\frac{19}{7}; - \frac{2}{7})$ .

Przekątne kwadratu zawierają się w prostych $C Y$ i $X Z$ . Ich równania to:

$C Y$ : $(1 - \frac{19}{7}) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - 1)$ , czyli $y = x - 3$ ,

$X Z$ : $(\frac{19}{7} - 1) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - \frac{19}{7})$ , czyli $y = - x + \frac{5}{7}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek $C$ , które dzielą trójkąt o wierzchołkach $A = (6; 1)$ , $B = (1; - 5)$ , $C = (- 2; 3)$ na trzy trójkąty o równych polach.

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Ponieważ wszystkie trójkąty o wspólnym wierzchołku $C$ mają podstawę zawartą w boku $A B$ trójkąta, więc wszystkie one mają tę samą wysokość. Zatem, aby pola były równe, podstawy również muszą być równej długości. Wynika stąd, że każda z nich ma długość równą $\frac{1}{3}$ długości boku $A B$ .

Wobec tego szukane proste przechodzą przez punkty, które dzielą bok $A B$ na trzy odcinki o równych długościach. Wyznaczmy współrzędne szukanych punktów

$X = (\frac{12 + 1}{3}; \frac{1 - 5}{3}) = (\frac{13}{3}; - \frac{4}{3})$ ,

$Y = (\frac{6 + 2}{3}; \frac{1 - 10}{3}) = (\frac{8}{3}; - 3)$ .

Równanie prostej $C X$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + \frac{4}{3}}{- 2 - \frac{13}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{13}{19} x + \frac{31}{19}$ .

Równanie prostej $C Y$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + 3}{- 2 - \frac{8}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{9}{7} x + \frac{3}{7}$ .

Animacja

Dla nauczyciela