Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ wyraża się wzorem: $(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ . Udowodnij, że jeśli zamienimy miejscami punkty $A$ i $B$ , to otrzymamy to samo równanie prostej.

Wyjściowe równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ ,

można przekształcić do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x - x_{A} y_{B} + y_{A} x_{B}$ .

Zamieńmy miejscami punkty $A$ i $B$ we wzorze. Wówczas otrzymamy równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{B}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{B})$ ,

które przekształca się do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x + x_{B} y_{A} - x_{A} y_{B}$ .

Porównując oba równania otrzymujemy wniosek, że są równoważne, zatem opisują tę samą prostą.

R123cmpOrQwhE1

Ćwiczenie 2

R1RfdLqMLFppq2

Ćwiczenie 3

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek

A = (1; 5)

trójkąta

A B C

oraz przez punkt dzielący bok

B C

o końcach

B = (- 4; - 2)

C = (6; 1)

w stosunku

1 : 3

. Rozważ dwa przypadki. Uporządkuj wypowiedzi w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zacznijmy od wyznaczenia współrzędnych środka boku

B C

. Punkt

M

, będący środkiem, ma współrzędne

(\frac{6 - 4}{2}; \frac{1 - 2}{2}) = (1; - 0, 5)

., 2. Jako pierwsze wyznaczymy równanie prostej

A K

y - 5 = \frac{- 1, 25 - 5}{- 1, 5 - 1} (x - 1)

, czyli

y = 2, 5 x + 2, 5

., 3. Teraz możemy wyznaczyć środki

K

L

odcinków

B M

M C

K = (\frac{- 4 + 1}{2}; \frac{- 2 - 0, 5}{2}) = (- 1, 5; - 1, 25)

L = (\frac{1 + 6}{2}; \frac{- 0, 5 + 1}{2}) = (3, 5; 0, 25)

., 4. Pozostało do wyznaczenia równanie prostej

A L

y - 5 = \frac{0, 25 - 5}{3, 5 - 1} (x - 1)

, czyli

y = - 1, 9 x + 6, 9

R4q7G1VTFjRRV2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach

A = (2; - 2)

B = (6; 6)

C = (- 4; 1)

Prosta przechodząca przez punkt $C$ i dzieląca bok $A B$ w stosunku $1 : 1$ ma równanie:
$y = - \frac{1}{7} x + \frac{3}{7}$ $y = \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$ $y = \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$
Prosta przechodząca przez punkt $B$ i dzieląca bok $A C$ w stosunku $1 : 2$ ma równanie:
$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ $y = \frac{13}{14} x + \frac{3}{7}$ $y = \frac{7}{6} x - 1$
Prosta przechodząca przez punkt $C$ i dzieląca bok $A B$ w stosunku $1 : 3$ ma równanie:
$y = - \frac{1}{7} x + \frac{3}{7}$ $y = \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$ $y = \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$
Prosta przechodząca przez punkt $A$ i dzieląca bok $B C$ w stosunku $3 : 2$ ma równanie:
$x = 2$ $y = - 2, 5 x + 3$ $y = - x$

Ćwiczenie 5

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 3; - 1)$ , $B = (3; 1)$ , $C = (- 1; 4)$ . Wyznacz równanie prostej dzielącej trójkąt $A B C$ na trójkąt $K L C$ do niego podobny w skali $1 : 4$ i trapez $A B L K$ .

Wyznaczymy współrzędne środków $M$ , $N$ odcinków $A C$ i $B C$ :

$M = (\frac{- 3 - 1}{2}; \frac{- 1 + 4}{2}) = (- 2; 1, 5)$ ,

$N = (\frac{- 1 + 3}{2}; \frac{4 + 1}{2}) = (1; 2; 5)$ .

Teraz wyznaczymy środki $K$ i $L$ odcinków $C M$ i $C N$ :

$K = (\frac{- 1 - 2}{2}; \frac{4 + 1, 5}{2}) = (- 1, 5; 2, 75)$ ,

$L = (\frac{1 - 2}{2}; \frac{4 + 2, 5}{2}) = (0; 3, 25)$ .

Równanie prostej $K L$ otrzymamy wykorzystując wzór $(x_{L} - x_{K}) (y - y_{K}) = (y_{L} - y_{K}) (x - x_{K})$ :

$(0 - (- 1, 5)) (y - 2, 75) = (3, 25 - 2, 75) (x + 1, 5)$ ,

co po przekształceniu daje $y = \frac{1}{3} x + 3 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest trapez o wierzchołkach $A = (2; 5)$ , $B = (- 2; 1)$ , $C = (1; - 2)$ , $D = (8; 5)$ . Wyznacz równania prostych, które dzielą ramiona tego trapezu w stosunku $1 : 2$ .

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Zauważmy najpierw, że odcinek $A B$ jest równoległy do odcinka $C D$ . Zatem ramionami są odcinki $A D$ i $B C$ . Wyznaczmy współrzędne punktów dzielących ramiona w stosunku $1 : 2$ . Będą cztery takie punkty - po dwa na każdym ramieniu.

Na ramieniu $B C$ będą to punkty:

$K = (\frac{- 4 + 1}{3}; \frac{2 - 2}{3}) = (- 1; 0)$ i $L = (\frac{- 2 + 2}{3}; \frac{1 - 4}{3}) = (0; - 1)$ ,

zaś na ramieniu $A D$ punkty:

$M = (\frac{4 + 8}{3}; \frac{10 + 5}{3}) = (4; 5)$ i $N = (\frac{2 + 16}{3}; \frac{5 + 10}{3}) = (6; 5)$ .

Teraz wystarczy wyznaczyć równania prostych:

$K N$ : $y = \frac{5}{7} x + \frac{5}{7}$ ,

$K M$ : $y = x + 1$ ,

$L M$ : $y = \frac{3}{2} x - 1$ ,

$L N$ : $y = x - 1$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz równania prostych zawierających przekątne kwadratu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach $A = (1; 2)$ , $B = (4; - 2)$ , $C = (1; - 2)$ .

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Wyznaczymy teraz długość boku kwadratu. Jeśli oznaczymy długość boku tego kwadratu przez $a$ , wówczas zachodzi proporcja $\frac{4 - a}{a} = \frac{4}{3}$ . Z tego równania wynika, że $a = \frac{12}{7}$ .

Zatem wierzchołki kwadratu mają współrzędne:

$C = (1; - 2)$ ,

$X = (1 + \frac{12}{7}; - 2) (\frac{19}{7}; - 2)$ ,

$Z = (1; - 2 + \frac{12}{7}) = (1; - \frac{2}{7})$ ,

$Y = (1 + \frac{12}{7}; - 2 + \frac{12}{7}) = (\frac{19}{7}; - \frac{2}{7})$ .

Przekątne kwadratu zawierają się w prostych $C Y$ i $X Z$ . Ich równania to:

$C Y$ : $(1 - \frac{19}{7}) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - 1)$ , czyli $y = x - 3$ ,

$X Z$ : $(\frac{19}{7} - 1) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - \frac{19}{7})$ , czyli $y = - x + \frac{5}{7}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek $C$ , które dzielą trójkąt o wierzchołkach $A = (6; 1)$ , $B = (1; - 5)$ , $C = (- 2; 3)$ na trzy trójkąty o równych polach.

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Ponieważ wszystkie trójkąty o wspólnym wierzchołku $C$ mają podstawę zawartą w boku $A B$ trójkąta, więc wszystkie one mają tę samą wysokość. Zatem, aby pola były równe, podstawy również muszą być równej długości. Wynika stąd, że każda z nich ma długość równą $\frac{1}{3}$ długości boku $A B$ .

Wobec tego szukane proste przechodzą przez punkty, które dzielą bok $A B$ na trzy odcinki o równych długościach. Wyznaczmy współrzędne szukanych punktów

$X = (\frac{12 + 1}{3}; \frac{1 - 5}{3}) = (\frac{13}{3}; - \frac{4}{3})$ ,

$Y = (\frac{6 + 2}{3}; \frac{1 - 10}{3}) = (\frac{8}{3}; - 3)$ .

Równanie prostej $C X$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + \frac{4}{3}}{- 2 - \frac{13}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{13}{19} x + \frac{31}{19}$ .

Równanie prostej $C Y$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + 3}{- 2 - \frac{8}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{9}{7} x + \frac{3}{7}$ .

Animacja

Dla nauczyciela