Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono siatkę oraz model pewnego prostopadłościanu, którego krawędzie są różnej długości.

ROb0GxEhULmhp

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach długości a, b, h, oraz jego siatkę. Siatka prostopadłościanu składa się z prostokątów o wymiarach a×b stanowiących podstawy, oraz prostokątów o wymiarach h×a, i h×b stanowiących ściany boczne prostopadłościanu.

R7gmpu2wzLwfX

Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

Suma długości krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $4 \cdot (a + b + h)$ .
Suma pól powierzchni ścian o wymiarach $a \times b$ i $b \times h$ jest taka sama, jak suma pól powierzchni ścian o wymiarach $a \times h$ i $b \times h$ .
Jeżeli $d$ jest długością przekątnej prostopadłościanu, to $d = a + b + h$ .

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego prostopadłościanu.

RYEkcN5fdAUah

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie prostokątów d, e i f. Kolejno od lewej znajdują się przyległe do siebie dłuższym bokiem, prostokąt d, e, d, e. Do górnej, oraz dolnej podstawy drugiego z kolei prostokąta e, wzdłuż boku długości 4 przylega prostokąt f. Dłuższy bok prostokąta d, oznaczono literą c. Przekątna prostokąta e wynosi osiem. Prostokąt f, ma boki długości a i cztery, natomiast jego przekątna wynosi sześć.

RBPhfkv2D5XVk

Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Prostopadłościan, którego siatkę przedstawiono na rysunku ma wymiary $2 \sqrt{5} \times 4 \times 4 \sqrt{3}$ .
Najkrótsza krawędź prostopadłościanu ma długość $2 \sqrt{5}$ .
Przekątna ściany prostopadłościanu o najmniejszej powierzchni ma długość $2 \sqrt{17}$ .
Najdłuższa krawędź prostopadłościanu ma długość $4 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego prostopadłościanu.

R16vthOOrtn6J

RgCHrX8WZf8xR

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ , $\frac{9}{2}$ , $18 + 26 \sqrt{3}$ , $2$ , $\frac{81 \sqrt{3}}{2}$ , $26 + 18 \sqrt{3}$ , $9 \sqrt{3}$

$b =$ ............
$c =$ ............
Suma długości krawędzi tego prostopadłościanu wynosi .............
Objętość prostopadłościanu jest równa .............

Ćwiczenie 4

Rnxhf8fLfpX7t

RqSBXfEyBkQCs

Dopasuj odpowiednie wielkości do poniższych opisów siatek prostopadłościanów.

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie prostokątów a, b i c. Kolejno od lewej znajdują się, prostokąt a, b, a, oraz b. Prostokąty a i b, przylegają do siebie dłuższym bokiem prostokąta a, oraz krótszym bokiem prostokąta b. Do górnej i dolnej podstawy, drugiego z kolei prostokąta b, przylega dłuższym bokiem prostokąt c. Prostokąt a ma boki długości jeden i cztery. Prostokąt b, ma boki długości cztery i $2 \sqrt{2}$ , natomiast prostokąt c ma boki długości $2 \sqrt{2}$ i jeden.
Tę siatkę opisuje wielkość: 1. $V = 12 \sqrt{3}$ , 2. $V = 16 \sqrt{3}$ , 3. $P_{c} = 20 \sqrt{2} + 8$ .

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie prostokątów a, b i c. Kolejno od lewej znajdują się, prostokąt a, b, a, oraz b. Prostokąty a i b, przylegają do siebie dłuższym bokiem prostokąta a, oraz krótszym bokiem prostokąta b. Do górnej i dolnej podstawy, drugiego z kolei prostokąta b, przylega dłuższym bokiem prostokąt c. Zaznaczono kąt trzydzieści stopni między przekątną prostokąta b, a jego dłuższym bokiem. Krótszy bok prostokąta b, jest równy cztery. Krótszy bok prostokąta c jest równy jeden.
Tę siatkę opisuje wielkość: 1. $V = 12 \sqrt{3}$ , 2. $V = 16 \sqrt{3}$ , 3. $P_{c} = 20 \sqrt{2} + 8$ .

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z przyległych do siebie prostokątów a, b i c. Kolejno od lewej znajdują się, prostokąt a, b, a, oraz b. Prostokąty a i b, przylegają do siebie dłuższym bokiem prostokąta a, oraz krótszym bokiem prostokąta b. Do górnej i dolnej podstawy, czwartego z kolei prostokąta b, przylega dłuższym bokiem prostokąt c. Krótszy bok prostokąta c jest równy jeden. Dłuższy bok prostokąta b, wynosi sześć. Zaznaczono kąt sześćdziesiąt stopni między dłuższym bokiem prostokąta b, a jego przekątną.
Tę siatkę opisuje wielkość: 1. $V = 12 \sqrt{3}$ , 2. $V = 16 \sqrt{3}$ , 3. $P_{c} = 20 \sqrt{2} + 8$ .

Ćwiczenie 5

Na podstawie rysunku siatki prostopadłościanu uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

R9AdNk1fRw0fB

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu, którego ściany boczne stanowią prostokąty o wymiarach a+4×a, oraz a+4×a+2. Podstawy prostopadłościanu stanowią dwa prostokąty o wymiarach a×a+2 i przekątnej 25.

RW4bWU0ueJP2M

Najkrótsza krawędź prostopadłościanu ma długość .............
Najdłuższa krawędź prostopadłościanu ma długość .............
Suma długości krawędzi prostopadłościanu, którego siatkę przedstawiono na rysunku wynosi .............
Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi .............
Objętość prostopadłościanu jest równa .............

Ćwiczenie 6

Na podstawie rysunków zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

RWooFBppGkCYb

Na ilustracji przedstawiono trzy siatki. Rysunek pierwszy. Siatka składa się z trzech rodzajów prostokątów. Kolejno od lewej prostokąt a, b, a, b. Do górnej i dolnej podstawy prostokąta b przylega prostokąt c. Rysunek drugi. Przedstawiona siatka składa się z trzech rodzajów prostokątów. Kolejno od lewej prostokąt d, e, d, e. Do dolnej podstawy trzeciego z kolei prostokąta przylega prostokąt f. Do górnej podstawy czwartego z kolei prostokąta przylega prostokąt f. Rysunek trzeci. Siatka składa się z trzech rodzajów prostokątów. Prostokąty a oraz b, są do siebie przyległe. Do górnej podstawy prostokąta a, przylega prostokąt c. Do dolnej podstawy prostokąta b, przylega prostokąt c, natomiast do prawego boku prostokąta c przylega prostokąt a. Do dolnej podstawy prostokąta a, przylega prostokąt b.

RGDzggXBhMO6b

Każdy z rysunków przedstawia siatkę prostopadłościanu.
Niemożliwe jest złożenie prostopadłościanu z siatki z Rys. 3.
Tylko dwa spośród rysunków przedstawiają siatkę prostopadłościanu.

Ćwiczenie 7

Narysuj siatkę prostopadłościanu o długościach krawędzi, które są kolejnymi liczbami parzystymi, a suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $72 cm$ .

Niech $a$ , $b$ , $c$ będą długościami krawędzi prostopadłościanu. Jeżeli wymiary prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi, to:

$a = 2 n$

$b = 2 n + 2$

$c = 2 n + 4$

gdzie $n \in ℕ_{+}$

Jeżeli suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu wynosi $72 cm$ , to do wyznaczenia wartości $n$ rozwiązujemy równanie:

$4 \cdot 2 n + 4 \cdot (2 n + 2) + 4 \cdot (2 n + 4) = 72$

$8 n + 8 n + 8 + 8 n + 16 = 72$

$24 n + 24 = 72$

$24 n = 48 \Rightarrow n = 2$

Zatem krawędzie prostopadłościanu mają długości:

$a = 2 \cdot 2 = 4 cm$

$b = 2 \cdot 2 + 2 = 6 cm$

$c = 2 \cdot 2 + 4 = 8 cm$

Wobec tego siatka omawianego prostopadłościanu przedstawia się następująco:

R1b3aK2chuwdb

Ilustracja przedstawia siatkę prostopadłościanu. Składa się ona z następujących figur. Od lewej mamy prostokąt o wymiarach 2 na 8 centymetrów. Do jego prawego boku przylega prostokąt o wymiarach 4 na 8 centymetrów Do jego górnego i jednocześnie dolnego boku przylegają prostokąty tworzące podstawy o wymiarach dwa na 4 centymetry każdy. Do prawego boku dużego prostokąta przylega prostokąt o wymiarach dwa na 8 centymetrów i do jego prawego boku przylega ostatni prostokąt o wymiarach 4 na 8 centymetrów.

Ćwiczenie 8

Narysuj siatkę prostopadłościanu, w którym jedna z krawędzi jest o $1 cm$ dłuższa od drugiej, najdłuższa krawędź ma długość $5 cm$ , a przekątna prostopadłościanu wynosi $\sqrt{38} cm$ .

Wprowadźmy oznaczenia długości krawędzi prostopadłościanu: $a$ , $a + 1$ , $5$ , gdzie $a > 0$ .

Ponieważ przekątna prostopadłościanu ma długość $\sqrt{38} cm$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\sqrt{38} = \sqrt{a^{2} + {(a + 1)}^{2} + 5^{2}}$

Po podniesieniu obu stron równania do kwadratu, rozwiązujemy równanie:

$38 = a^{2} + {(a + 1)}^{2} + 25$

$a^{2} + {(a + 1)}^{2} - 13 = 0$

$a^{2} + a^{2} + 2 a + 1 - 13 = 0$

$2 a^{2} + 2 a - 12 = 0$

$a^{2} + a - 6 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25$

$a_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3 < 0$

$a_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 > 0$

Zatem prostopadłościan ma wymiary:

$2 cm \times 3 cm \times 5 cm$

Wobec tego siatka omawianego prostopadłościanu przedstawia się następująco:

R1JCt8ekHUngF

Na ilustracji przedstawiono siatkę prostopadłościanu składającą się z dwóch prostokątów o wymiarach 2 centymetry na 5 centymetrów, dwóch prostokątów o wymiarach 2 centymetry na 3 centymetry, oraz dwóch prostokątów o wymiarach 3 centymetry na 5 centymetrów

Animacja 3D

Dla nauczyciela