Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RFN7reTH04ITv1

Ćwiczenie 1

RSzpCaBwmMs9x1

Ćwiczenie 2

RJru4UAXUzMJX2

Ćwiczenie 3

R15nePy46z6Ys21

Ćwiczenie 4

Łączenie par. Zaznacz, która z zapisanych równości jest prawdziwa, a która fałszywa..

x^{3} - 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

. Możliwe odpowiedzi: Równość prawdziwa, Równość fałszywa.

x + y = \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} - x y + y^{2}}

. Możliwe odpowiedzi: Równość prawdziwa, Równość fałszywa.

x^{3} + y^{3} = (x^{2} - y^{2}) (x - y) + x y (x + y)

. Możliwe odpowiedzi: Równość prawdziwa, Równość fałszywa.

8 - x^{3} = x (2 + x) (x - 2)

. Możliwe odpowiedzi: Równość prawdziwa, Równość fałszywa

R12Z20moBODcK2

Ćwiczenie 5

RMpbLqUsxkf5g2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Niech $a$ , $b$ będą liczbami rzeczywistymi różnymi od zera i takimi, że $a \neq b \neq 1$ . Wykaż, że jeśli $a^{3} + b^{3} = 2$ to

$\frac{2}{a^{2} + a b + b^{2}} = \frac{1}{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{b^{2} + b + 1}$ .

Przekształcimy prawą stronę równości, „dopełniając” mianowniki tak, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$P = \frac{1}{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{b^{2} + b + 1}$

$P = \frac{a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} + \frac{b - 1}{(b - 1) (b^{2} + b + 1)}$

$P = \frac{a - 1}{a^{3} - 1} + \frac{b - 1}{b^{3} - 1}$

Z warunku $a^{3} + b^{3} = 2$ wynika, że

$a^{3} - 1 = - (b^{3} - 1)$

$P = \frac{a - 1}{a^{3} - 1} + \frac{1 - b}{a^{3} - 1} = \frac{a - b}{a^{3} - 1}$

Przekształcamy podobnie lewą stronę równości.

$L = \frac{2}{a^{2} + a b + b^{2}} = \frac{2 (a - b)}{a^{3} - b^{3}}$

Aby wykazać, że prawa strona równa się lewej, pomnożymy „na krzyż” obie strony otrzymanej równości.

$\frac{2 (a - b)}{a^{3} - b^{3}} = \frac{a - b}{a^{3} - 1}$

$2 (a - b) (a^{3} - 1) = (a - b) (a^{3} - b^{3})$

Dzielimy obie strony przez $a - b$ – wyrażenie różne od zera.

$2 a^{3} - 2 = a^{3} - b^{3}$

$a^{3} + b^{3} = 2$

Otrzymana równość jest prawdziwa.

Ponieważ wykonywaliśmy przekształcenia równoważne, zatem i dowodzona równość jest prawdziwa.

Ćwiczenie 8

Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia $125 x^{3} - 64 y^{3}$ , jeżeli $5 x - 4 y = 6$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$125 x^{3} - 64 y^{3} = (5 x - 4 y) (25 x^{2} + 20 x y + 16 y^{2})$

Ponieważ $5 x - 4 y = 6$ , zatem

$125 x^{3} - 64 y^{3} = 6 \cdot (25 x^{2} + 20 x y + 16 y^{2})$

Równocześnie $5 x - 6 = 4 y$ .

$125 x^{3} - 64 y^{3} = 6 \cdot [25 x^{2} + 5 x (5 x - 6) + {(5 x - 6)}^{2}]$

$125 x^{3} - 64 y^{3} = 6 (25 x^{2} + 25 x^{2} - 30 x + 25 x^{2} - 60 x + 36)$

$125 x^{3} - 64 y^{3} = 6 (75 x^{2} - 90 x + 36)$

$125 x^{3} - 64 y^{3} = 450 x^{2} - 540 x + 216$

Rozważmy funkcję $f (x) = 450 x^{2} - 540 x + 216$ . Funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość dla

$x = - \frac{- 540}{900} = \frac{3}{5}$

Obliczamy wartość tej funkcji dla $x = \frac{3}{5}$ .

$f (\frac{3}{5}) = 450 \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} - 540 \cdot \frac{3}{5} + 216$

$f (\frac{3}{5}) = 54$

Najmniejsza wartość wyrażenia jest równa $54$ .

Animacja

Dla nauczyciela