Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RLdUEFNjGMeFX1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczba ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{3} - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{3} - 22 \sqrt{2}$ jest liczbą:

naturalną
całkowitą ujemną
wymierną, ale niecałkowitą
niewymierną

R1RvkEcc30sVZ1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczba ${(\sqrt[4]{5} + 1)}^{3} \cdot {(\sqrt[4]{5} - 1)}^{3}$ jest równa:

$- 8 \sqrt{5}$
$- 8 \sqrt{5} + 16$
$8 \sqrt{5}$
$8 \sqrt{5} - 16$

R1QgJ6BgaBB4N2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij równości, przeciągając odpowiednie wyrażenia.

$3 x^{2} + 9 x$ , $9 x^{2} + 15 x + 2$ , $- 3 x^{2}$ , $3 x^{2}$

${(x - 2)}^{3} - {(x - 3)}^{3} + 15 x - 19 =$
${(x + 2)}^{3} - {(x + 1)}^{3} - 7 =$

R1VSSpi6gv4uN2

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość podanego wyrażenia. Uzupełnij równość, wpisując odpowiednią liczbę.

${(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})}^{3} - 3 (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5}) (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}) =$ ............

RrEgm0HEzsuTF21

Ćwiczenie 5

Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie równania

{(x - 2)}^{3} + {(x + 2)}^{3} = 2 [{(x + 4)}^{3} - 64]

. Elementy do uszeregowania: 1. Zapisujemy odpowiedź., 2.

2 x^{3} + 24 x = 2 x^{3} - 24 x^{2} + 96 x

, 3.

x (x - 3) = 0

, 4. Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki., 5.

2 x^{3} + 24 x - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 96 x = 0

, 6. Zapisujemy i rozwiązujemy równoważną alternatywę równań., 7.

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = 2 [(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64) - 64]

, 8.

x^{2} - 3 x = 0

, 9. Dzielimy obie strony równania przez

24

., 10. Mnożymy., 11. Przenosimy wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą i redukujemy wyrazy podobne., 12. Redukujemy wyrazy podobne., 13.

x = 0

lub

x = 3

, 14. Wykonujemy potęgowanie po obu stronach równania., 15.

24 x^{2} - 72 x = 0

, 16.

2 x^{3} + 24 x = 2 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x)

, 17.

x = 0

lub

x - 3 = 0

Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie równania
${(x - 2)}^{3} + {(x + 2)}^{3} = 2 "["{(x + 4)}^{3} - 64"]"$ .

$2 x^{3} + 24 x - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 96 x = 0$
$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = 2 "["(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64) - 64"]"$
Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki.
$2 x^{3} + 24 x = 2 x^{3} + 24 x^{2} + 96 x$
Zapisujemy odpowiedź.
$2 x^{3} + 24 x = 2 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x)$
Zapisujemy i rozwiązujemy równoważną alternatywę równań.
Przenosimy wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą i redukujemy wyrazy podobne.
Mnożymy.
$x = 0$ lub $x + 3 = 0$
Redukujemy wyrazy podobne.
Wykonujemy potęgowanie po obu stronach równania.
$-24 x^{2} - 72 x = 0$
Dzielimy obie strony równania przez $-24$ .
$x = 0$ lub $x = -3$
$x (x + 3) = 0$
$x^{2} + 3 x = 0$

RSge8pBHpPVaL2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe wyrażenia.

$n^{3} - {(n - 1)}^{3}$
${(n + 1)}^{3} - n^{3}$
${(n + 1)}^{3} - {(n - 1)}^{3}$
${(n + 1)}^{3} + {(n - 1)}^{3}$

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeśli dla liczb $a$ , $b$ różnych od zera spełniona jest równość

${(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3} = 4 a^{3}$ , to $a^{2} = 3 b^{2}$ .

Na podstawie tożsamości Lagrange’a wiemy, że

${(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3} = 2 a (a^{2} + 3 b^{2})$

Zatem

$2 a (a^{2} + 3 b^{2}) = 4 a^{3}$

$2 a^{3} + 6 a b^{2} = 4 a^{3}$

$6 a b^{2} = 2 a^{3} | : 2 a$

$3 b^{2} = a^{2}$

Ćwiczenie 8

Wykaż, że istnieje tylko jedna liczba naturalna $x$ , dla której wartość wyrażenia $W (x) = \frac{x^{3} + 3 x (1 - x) - 1}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}$ jest liczbą naturalną.

W liczniku wyrażenia wykonujemy wskazane działania.

$W (x) = \frac{x^{3} + 3 x - 3 x^{2} - 1}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}$

Licznik ułamka zapisujemy w postaci sześcianu dwumianu, w mianowniku grupujemy wyrazy, wyłączamy wspólne czynniki i zapisujemy w postaci iloczynu.

$W (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{(x^{4} - 1) + (- 2 x^{3} + 2 x)}$

$W (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) - 2 x (x^{2} - 1)}$

$W (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1 - 2 x)}$

$W (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{(x - 1) (x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

$W (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{(x + 1) {(x - 1)}^{3}}$

$W (x) = \frac{1}{x + 1}$ dla $x \neq - 1$ i $x \neq 1$

Jedynym dzielnikiem naturalnym liczby $1$ jest $1$ , zatem $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$

Tylko dla liczby $x = 0$ wartość danego wyrażenia jest liczbą naturalną.

Animacja

Dla nauczyciela