Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.

Dane liczby, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Połącz w pary wyrazy ciągu i odpowiadającą mu wartość liczby $x$. $x-\sqrt{3}, \sqrt{13}, x+\sqrt{3}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $x=1$, 2. $x=4$, 3. $x=2$, 4. $x=5$ $\frac{1}{3}, \frac{1}{x},\frac{3}{x+2}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $x=1$, 2. $x=4$, 3. $x=2$, 4. $x=5$ $3-\sqrt{x}, \sqrt{x}+3, 7+\sqrt{x}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $x=1$, 2. $x=4$, 3. $x=2$, 4. $x=5$ $\frac{3}{x}, \frac{x}{3}, \frac{125}{27}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $x=1$, 2. $x=4$, 3. $x=2$, 4. $x=5$

Ustaw w odpowiedniej kolejności kolejne kroki dowodu twierdzenia
Jeżeli liczby $x$, $y$, $w$, $z$ są liczbami dodatnimi, to
$\left(x+y\right)\left(z+w\right)\ge 4\sqrt{xywz}$. Elementy do uszeregowania: 1. Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną dla liczb $z$ i $w$., 2. Obie strony każdej z nierówności są dodatnie, zatem możemy pomnożyć stronami te nierówności., 3. Przekształcamy zapisaną nierówność dla liczb $x$ i $y$., 4. $\left(x+y\right)\left(z+w\right)\ge 4\sqrt{xywz}$, 5. Przekształcamy zapisaną nierówność dla liczb $z$ i $w$., 6. $x+y\ge 2\sqrt{xy}$
$z+w\ge 2\sqrt{wz}$, 7. W wyniku przekształceń równoważnych, otrzymaliśmy dowodzoną nierówność, co kończy dowód., 8. $x+y\ge 2\sqrt{xy}$, 9. $\frac{z+w}{2}\ge \sqrt{wz}$, 10. Zapisujemy uzyskane nierówności jedna pod drugą., 11. $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$, 12. $z+w\ge 2\sqrt{wz}$, 13. Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną dla liczb $x$ i $y$.

Dostępne opcje do wyboru: $5\sqrt{2}$, $\le \frac{a^2+b^2}{2}$, $\sqrt{a^2·b^2}$, prostokąta, $a^2=b^2$, $100$, $a·a$. Polecenie: Wśród prostokątów o przekątnej długości $10$ wskaż ten, który ma największe pole.
Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągnij odpowiednie wyrażenia. Oznaczmy przez $a$, $b$ długości boków luka do uzupełnienia .
Na podstawie warunków zadania i twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy:
$a^2+b^2=$ luka do uzupełnienia
Pole prostokąta jest równe:
$P=ab=$ luka do uzupełnienia
Z zależności między średnią geometryczną a arytmetyczną wynika, że
$P=\sqrt{a^2·b^2}$ luka do uzupełnienia $=\frac{100}{2}=50$
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy luka do uzupełnienia , czyli gdy $a=b$.
Zatem:
$P=ab=$ luka do uzupełnienia $=50$
$a=\sqrt{50}=$ luka do uzupełnienia
Odpowiedź:
Największe pole ma kwadrat o boku długości $5\sqrt{2}$.