Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RrFN1FXyrhQKW1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Przedstaw ułamek $0, 1 (2)$ w postaci ułamka zwykłego.

Niech $x = 0, 122222 . . .$

Wówczas $10 x = 1, 22222 . . .$

Jeśli teraz odejmiemy lewą stronę pierwszej równości od lewej strony drugiej równości, zaś prawą stronę pierwszej równości od prawej strony drugiej równości, to otrzymamy

$10 x - x = (1, 22222 . . .) - (0, 12222 . . .)$

$9 x = 1, 1$

$x = \frac{1,1}{9}$

$x = \frac{11}{90}$

R1EgMtX3kijfD2

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

\frac{7}{9}

\frac{1}{3}

1

\frac{2}{3}

. Polecenie: Podane rozwinięcia dziesiętne przedstaw w postaci ułamka zwykłego.
Przeciągnij i upuść. Rozwinięcie dziesiętne liczby

0, (6)

można przedstawić w postaci luka do uzupełnienia .

Rozwinięcie dziesiętne liczby

0, (7)

można przedstawić w postaci luka do uzupełnienia .

Rozwinięcie dziesiętne liczby

0, (3)

można przedstawić w postaci luka do uzupełnienia .

Rozwinięcie dziesiętne liczby

0, (9)

można przedstawić w postaci luka do uzupełnienia .

R1BD7v34bSIMg2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczbą odwrotną do liczby

0, 4

jest:

2, 5

- 0, 4

\frac{5}{2}

Liczbą przeciwną do liczby

\frac{2}{3}

jest:

\frac{3}{2}

- \frac{2}{3}

- 0, (6)

Wskaż zdania prawdziwe:
Liczbą przeciwną do zera jest zero.
Liczbą odwrotną do zera jest zero.
Nie istnieje liczba przeciwna do zera.

Liczbą przeciwną do liczby

(- 2)

jest:

- (- 2)

- (- (- 2))

- (- (- (- 2)))

Liczbą odwrotną do liczby

\frac{1}{2}

jest:

\frac{1}{\frac{1}{2}}

\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}

\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}}

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Liczbą odwrotną do liczby $0, 4$ jest:
{# $2, 5$ } { $- 0, 4$ } {# $\frac{5}{2}$ }

Liczbą przeciwną do liczby $\frac{2}{3}$ jest:
{ $\frac{3}{2}$ } {# $- \frac{2}{3}$ } {# $- 0, (6)$ }

Wskaż zdania prawdziwe:
{#Liczbą przeciwną do zera jest zero.}
{Liczbą odwrotną do zera jest zero.}
{Nie istnieje liczba przeciwna do zera.}

Liczbą przeciwną do liczby $(- 2)$ jest:
{# $- (- 2)$ } { $- (- (- 2))$ } {# $- (- (- (- 2)))$ }

Liczbą odwrotną do liczby $\frac{1}{2}$ jest:
{# $\frac{1}{\frac{1}{2}}$ } { $\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}$ } {# $\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}}$ }

Ćwiczenie 5

Oblicz $\frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + . . . + \frac{1}{61 \cdot 64} + \frac{1}{64 \cdot 67} + \frac{1}{67 \cdot 70}$

Zauwazmy, że

$\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7}{4 \cdot 7} - \frac{4}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4 \cdot 7}$ , zatem $\frac{1}{4 \cdot 7} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{7})$

$\frac{1}{7} - \frac{1}{10} = \frac{10}{7 \cdot 10} - \frac{7}{7 \cdot 10} = \frac{3}{7 \cdot 10}$ , zatem $\frac{1}{7 \cdot 10} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{10})$

$\frac{1}{10} - \frac{1}{13} = \frac{13}{10 \cdot 13} - \frac{10}{10 \cdot 13} = \frac{3}{10 \cdot 13}$ , zatem $\frac{1}{10 \cdot 13} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{10} - \frac{1}{13})$

$. . .$

$\frac{1}{61} - \frac{1}{64} = \frac{64}{61 \cdot 64} - \frac{61}{61 \cdot 64} = \frac{3}{61 \cdot 64}$ , zatem $\frac{1}{61 \cdot 64} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{61} - \frac{1}{64})$

$\frac{1}{64} - \frac{1}{67} = \frac{67}{64 \cdot 67} - \frac{64}{64 \cdot 67} = \frac{3}{64 \cdot 67}$ , zatem $\frac{1}{64 \cdot 67} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64} - \frac{1}{67})$

$\frac{1}{67} - \frac{1}{70} = \frac{70}{67 \cdot 70} - \frac{67}{67 \cdot 70} = \frac{3}{67 \cdot 70}$ , zatem $\frac{1}{67 \cdot 70} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{67} - \frac{1}{70})$

Wobec powyższego

$\frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + . . . + \frac{1}{61 \cdot 64} + \frac{1}{64 \cdot 67} + \frac{1}{67 \cdot 70} =$

$= \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{10} - \frac{1}{13}) + . . .$

$. . . + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{61} - \frac{1}{64}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64} - \frac{1}{67}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{67} - \frac{1}{70}) =$

$= \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + . . . + \frac{1}{61} - \frac{1}{64} + \frac{1}{64} - \frac{1}{67} + \frac{1}{67} - \frac{1}{70}) =$

$= \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{70}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{70 - 4}{4 \cdot 70} = \frac{1}{3} \cdot \frac{66}{4 \cdot 70} = \frac{22}{4 \cdot 70} = \frac{11}{2 \cdot 70} = \frac{11}{140}$

R1HoYjb6FCh7e21

Ćwiczenie 6

Oblicz podane sumy. Połącz w pary.

\frac{1}{20 \cdot 21} + \frac{1}{21 \cdot 22} + \frac{1}{22 \cdot 23} + . . . + \frac{1}{99 \cdot 100}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + . . . + \frac{1}{79 \cdot 80}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{100 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 102} + \frac{1}{102 \cdot 103} + . . . + \frac{1}{299 \cdot 300}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{50 \cdot 51} + \frac{1}{51 \cdot 52} + \frac{1}{52 \cdot 53} + . . . + \frac{1}{199 \cdot 200}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + . . . + \frac{1}{59 \cdot 60}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{20 \cdot 21} + \frac{1}{21 \cdot 22} + \frac{1}{22 \cdot 23} + . . . + \frac{1}{79 \cdot 80}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

\frac{1}{30 \cdot 31} + \frac{1}{31 \cdot 32} + \frac{1}{32 \cdot 33} + . . . + \frac{1}{89 \cdot 90}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{80}

, 2.

\frac{3}{200}

, 3.

\frac{1}{25}

, 4.

\frac{1}{150}

, 5.

\frac{1}{12}

, 6.

\frac{7}{80}

, 7.

\frac{1}{45}

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższą definicją pewnego pojęcia z algebry abstrakcyjnej.

Ciało to rodzaj struktury algebraicznej. Struktura ta zbudowana jest ze zbioru $A$ , w którym wykonalne są działania dodawania i mnożenia. Ponadto spełnione są następujące warunki:

Zbiór $A$ zawiera element neutralny mnożenia (zwany jedynką).
Zbiór $A$ zawiera element neutralny dodawania (zwany zerem).
Dodawanie jest łaczne.
Dodawanie jest przemienne.
Każdy element zbioru $A$ posiada element przeciwny należący do $A$ .
Mnożenie jest łączne.
Mnożenie jest przemienne.
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Każdy niezerowy element zbioru $A$ posiada element odwrotny należący do $A$ .

Sprawdź, które z powyższych warunków są spełnione w zbiorach liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych.

	Zbiór liczb naturalnych	Zbiór liczb całkowitych	Zbiór liczb wymiernych
Zbiór zawiera element neutralny mnożenia	tak	tak	tak
Zbiór zawiera element neutralny dodawania	tak	tak	tak
Dodawanie jest łączne	tak	tak	tak
Dodawanie jest przemienne	tak	tak	tak
Mnożenie jest łączne	tak	tak	tak
Mnożenie jest przemienne	tak	tak	tak
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania	tak	tak	tak
Każdy element zbioru posiada element przeciwny	nie	tak	tak
Każdy niezerowy element zbioru posiada element odwrotny	nie	nie	tak

RkQUjLCDh3n4E

Ćwiczenie 8

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci tzw. ułamka łańcuchowego, czyli w postaci

a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{\frac{⋱}{a_{k - 2} + \frac{1}{a_{k - 1} + \frac{1}{a_{k}}}}}}}

gdzie:
$a_{0}$ – jest liczbą całkowitą,
$a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k - 2}, a_{k - 1}, a_{k}$ – są liczbami naturalnymi większymi od zera.

Przy czym liczby wymierne można zapisać jako ułamki łańcuchowe skończone.

RkFNI9u2hIYx0

Animacja

Dla nauczyciela