Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów oraz sinus różnicy kątów:

$\sin x\cos 30°+\sin 30°\cos x+\sin x\cos 30°-\sin 30°\cos x=2\sqrt{3}\cos x$.

Przekształcamy równanie do najprostszej postaci:

$2\sin x\cos 30°=2\sqrt{3}\cos x$,

$\sin x\cos 30°=\sqrt{3}\cos x$,

$\sin x\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cos x$.

Ponieważ sinus i cosinus tego samego kąta nie są jednocześnie równe $0$, zatem możemy podzielić przez $\cos x$ i otrzymujemy:

$\mathrm{tg}x=2$.

Korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta otrzymujemy odpowiedź:

$\mathrm{tg}2x=\frac{2·2}{1-2^2}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$

Zapiszmy założenia: $\cos \alpha \ne 0$, $\sin \alpha \ne 0$, $\sin 2\alpha \ne 0$, $\frac{1}{tg\alpha }-\frac{1}{tg2\alpha }\ne 0$.

Podstawiamy wzór na tangens podwojonego kąta i otrzymujemy:

${\displaystyle L=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\frac{1}{\mathrm{tg}2\alpha }}{\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }-\frac{1}{\mathrm{tg}2\alpha }}=}$

${\displaystyle =\frac{tg\alpha +\frac{1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}{\frac{1}{tg\alpha }-\frac{1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}=}$

${\displaystyle =\frac{\frac{2{tg}^2\alpha +1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}{\frac{2-1+{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}=}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1+{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}{\frac{1+{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }}=1=P}$.