Wiemy, że zbiór wszystkich punktów równoodległych od ustalonego punktu to okrąg. Zatem naszym celem jest wyznaczenie równania opisującego okrąg o środku w punkcie $S=\left(3,4\right)$ i promieniu $2$.

Wybierzmy dowolny punkt $A$ należący do tego okręgu i oznaczmy jego współrzędne przez $\left(x,y\right)$. Z treści zadania wiemy, że jego odległość od punktu $S$ jest równa $2$, zatem $\left|AS\right|=2$.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy napisać równanie $\sqrt{{\left(3-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2}=2$.

Ponieważ obie strony powyższego równania są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${\left(3-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2=4$, które zwykle podaje się w postaci ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=4$.

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=4$

Wyznaczymy współrzędne punktów przecięcia prostych definiujących wierzchołki trapezu. Zauważmy, że proste o równaniach $y=\frac{1}{2} x +1$ i $y=-x+1$ przecinają oś $Y$ w punkcie $\left(0,1\right)$, zatem jest to również ich punkt przecięcia - nazwijmy go $A$.

Ponadto proste o równaniach $y=\frac{1}{2} x +1$ i $y=-2x-4$ przecinają oś $X$ w punkcie $\left(-2,0\right)$, zatem jest to ich punkt przecięcia - nazwijmy go $B$.

Wierzchołkiem $C$ niech będzie punkt przecięcia prostych o równaniach $y=-2x-4$ i $y=\frac{1}{2} x - 2$. Po rozwiązaniu układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-2x-4\\ y=\frac{1}{2}x-2\end{array}\right.$.

Otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left(-0,8;-2,4\right)$. Przez D oznaczymy punkt wspólny prostych o równaniach $y=-\frac{1}{2} x -2$ i $y=-x+1$, którego współrzędne $\left(2,-1\right)$ otrzymamy rozwiązując układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-2\\ y=-x+1\end{array}\right.$.

Zatem:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-2-0\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$,

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-0,8\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-2,4\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1,2\right)}^2+{\left(2,4\right)}^2}=$

$=\sqrt{7,2}=\frac{6\sqrt{5} }{5}$,

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(-0,8-2\right)}^2+{\left(-2,4-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2,8\right)}^2+{\left(-1,4\right)}^2}=$

$=\sqrt{9,8}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$,

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.

Obwód trapezu to $\sqrt{5}+\frac{6\sqrt{5} }{5}+\frac{7\sqrt{5 }}{5}+2\sqrt{2}=\frac{18\sqrt{5}}{5} +2\sqrt{2}$

Aby obliczyć pole trójkąta potrzebujemy długość podstawy i wysokość. Przyjmijmy jako podstawę odcinek $AB$, gdzie $A=\left(2,-2\right)$ i $A=\left(-4,4\right)$. Jego długość (za jednostką przyjmujemy odległość między sąsiednimi punktami kratowymi) wynosi

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-4-2\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2}$

$\left|AB\right|=\sqrt{6^2+6^2}$

$\left|AB\right|=6\sqrt{2}$

Następnie obliczymy długość wysokości $h$ opuszczonej z wierzchołka $C$ stosując twierdzenie Pitagorasa. Jeśli rozważymy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej, którą jest wysokość poprowadzona na podstawę $AB$

R1GUps4d5G6Sj

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono trójkąt $ABC$. Wierzchołki trójkąta mają współrzędne odpowiednio: $A=\left(2,-2\right)$, wierzchołek $B=\left(-4,4\right)$, wierzchołek $C=\left(3,3\right)$. Poza tym linią przerywaną narysowano trójkąt prostokątny o wierzchołkach w punktach: $\left(0,0\right)$, $\left(3,0\right)$ oraz $C=\left(3,3\right)$.

to jego obie przyprostokątne są odcinkami o długości $3$. Zatem $h=3\sqrt{2}$.

Ostatecznie pole trójkąta wynosi $P=\frac{1}{2}·6\sqrt{2}·3\sqrt{2}=18$.

Pole trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi $18$.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać równanie:

$\sqrt{{\left(-3m-m\right)}^2+{\left(m+2-\left(-2m-2\right)\right)}^2}=13$.

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy równanie równoważne

${\left(-3m-m\right)}^2+{\left(m+2-\left(-2m-2\right)\right)}^2=169$,

które przekształcamy następująco:

${\left(-4m\right)}^2+{\left(3m+4\right)}^2=169$,

$16m^2+9m^2+24m+16=169$,

$25m^2+24m-153=0$,

$∆={24}^2-4·25·\left(-153\right)=15876={126}^2$,

$m_1=\frac{-24-126}{50}=\frac{-150}{50}=-3$, $m_2=\frac{-24+126}{50}=\frac{102}{50}=\frac{51}{25}$

Warunki zadania spełniają dwie liczby: $\left(-3\right)$ oraz $\frac{51}{25}$.