Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RRtIDlCQt4JS21

Ćwiczenie 1

Jakim wzorem opisujemy położenie środka masy układu wielu ciał leżących wzdłuż jednej prostej?

$x_{s} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}$
$x_{s} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (m - m_{i}) x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}$ , gdzie $m$ to całkowita masa układu.
$x_{s} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}^{2} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}^{2}}$

Ćwiczenie 2

R83we34VBegvs

Rysunek przedstawia poziomą huśtawkę podpartą w jednym punkcie. Na lewym końcu huśtawki leży mały sześcian o masie oznaczonej literą małe m z indeksem dolnym 1, a na prawym końcu duży sześcian o masie oznaczonej literą małe m z indeksem dolnym 2. Odległość między sześcianami oznaczono literą małe d. Odległość punktu podparcia huśtawki od lewego, małego sześcianu oznaczono literą małe x. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1ZmKu6BqUVws

Jeśli masa małej bryły po lewej stronie wynosi $m_{1}$ = 5 kg, a masa dużej bryły po prawej wynosi $m_{2}$ = 15 kg, a odległość między nimi $d$ = 2 m, to w jakiej odległości $x$ od małej bryły należy podeprzeć huśtawkę, aby była w równowadze?

Odpowiedź: $x$ = ............ m.

Zakładamy, że masa huśtawki jest pomijalnie mała wobec mas brył. Wtedy położenie środka masy układu obliczamy następująco:

x_{s} = \frac{m_{2} d}{m_{1} + m_{2}} = \frac{15 k g \cdot 2 m}{5 k g + 15 k g} = \frac{30}{20} m = 1, 5 m

Ćwiczenie 3

Oblicz położenie środka masy $x_{s}$ dla układu trzech kul o masach $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ , leżących na jednej prostej w odległościach $x_{1}$ i $x_{2}$ od siebie, jak na rysunku poniżej:

RguXU4FBpDR6L

Na poziomej linii narysowano trzy kule. Kula z lewej strony ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 1, najmniejsza kula pośrodku ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 2, największa kula z prawej strony ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 3. Odległość między środkami lewej i środkowej kuli oznaczono literą małe x z indeksem dolnym 1, a odległość między środkami prawej i środkowej kuli oznaczono literą małe x z indeksem dolnym 2. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1O8SfbE1sJTC

Podaj rozwiązanie liczbowe dla następującego przypadku szczególnego: masy $m_{1}$ = 5 kg, $m_{2}$ = 1 kg, $m_{3}$ = 10 kg i odległości $x_{1}$ = 1 m, $x_{2}$ = 1,5 m

Przyjmij, że początek układu współrzędnych znajduje się w środku pierwszej kuli z lewej strony.

Odpowiedź: $x_{s}$ = ............ m (licząc od położenia pierwszej kuli z lewej)

RaLJh5PsS0QpT

Do rysunku przedstawiającego trzy kule dodano żółty punkt leżący na poziomej linii między środkową i prawą kulą, bliżej środkowej kuli. Punt ten to środek masy układu kul. Odległość żółtego punktu od lewej kuli oznaczono literą małe x z indeksem dolnym małe s. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjmując środek układu współrzędnych w miejscu pierwszej kuli, otrzymamy:

$\displaystyle x_s=\frac{m_1\cdot0+m_2x_1+m_3\left(x_1+x_2\right)}{m_1+m_2+m_3}=\frac{1\,\text{kg}\cdot1\,\text{m}+10\,\text{kg}\cdot \left(1\,\text{m}+1,5\,\text{m}\right)}{5\,\text{kg}+1\,\text{kg}+10\,\text{kg}}\approx 1,625\,\text{m}\ .$

Ćwiczenie 4

Jeśli przedmiot wykonany jest z jednorodnego materiału, to jego środek masy znajduje się w jego środku geometrycznym. Wskaż, gdzie znajduje się środek masy poniższego obiektu. Jest on złożony z dwóch przylegających do siebie jednorodnych sześciennych bloków o boku długości $a$ , wykonanych z materiałów o gęstościach $ρ_{1}$ i $ρ_{2}$

R1UTbuT5USFDQ

Rysunek przedstawia dwa jednakowe kwadraty stykające się bocznymi krawędziami. Kwadraty to przednie ściany sześciennych bloków, o których mowa w treści zadania. Długość krawędzi kwadratów oznaczona jest literą małe a. Nad lewym kwadratem zapisano gęstość bloku grecką literą małe ro z indeksem dolnym 1, a nad prawym kwadratem - gęstość małe ro z indeksem dolnym 2. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjmij, że układ współrzędnych zaczyna się w środku lewego boku bryły, a osie są równoległe do jej krawędzi.

Podaj rozwiązanie dla przypadku szczególnego $a$ = 1 m i $ρ_{1} = 2720 \frac{k g}{m^{3}}$ (aluminium) i $ρ_{2} = 7875 \frac{k g}{m^{3}}$ (żelazo)

RfmH8CYcOKHt2

Do rysunku przedstawiającego dwa kwadraty dodano przekątne każdego kwadratu. Na przecięciu przekątnych zaznaczono czarne punkty, będące środkami masy każdego kwadratu. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Masy obiektów to odpowiednio $m_{1} = ρ_{1} a^{3}$ i $m_{2} = ρ_{2} a^{3}$

Środek masy każdego z nich wypada w jego środku geometrycznym, czyli w odległości $\frac{a}{2}$ od krawędzi. Wobec tego położenie środka masy to

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} \frac{a}{2} + m_{2} \frac{3 a}{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{ρ_{1} \frac{a}{2} + ρ_{2} \frac{3 a}{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \approx 1, 24 a = 1, 24 m .

Ćwiczenie 5

RNLD50rWXNbyf

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z treścią i rozwiązaniem ćwiczenia 5. Czy lepiej, żeby cysterna była jednym dużym zbiornikiem, czy żeby była podzielona na serię mniejszych?

Ćwiczenie 7

R19Mano4cMZHr

Oblicz, w jakiej odległości od jądra Słońca wypada środek masy układu Ziemia-Słońce. Podaj wynik w pełnych kilometrach.
Oblicz, jaki to procent promienia Słońca; podaj wynik z dokładnością do jednej cyfry znaczącej.
Znajdź niezbędne stałe fizyczne w tablicach.

Odpowiedź: w odległości ............ km od środka Słońca. To ............% jego promienia.

Masa Ziemi $M_{Z} = 6 \cdot 10^{24} k g$ , masa Słońca $M_{S} = 2 \cdot 10^{30} k g$ , średnia odległość Ziemi od Słońca $d ≅ 150000000 k m = 150 \cdot 10^{6} k m$

Licząc od środka Słońca mamy

x_{s} = \frac{M_{Z} d}{M_{Z} + M_{S}} = \frac{6 \cdot 10^{24} k g \cdot 150 \cdot 10^{6} k m}{6 \cdot 10^{24} k g + 2 \cdot 10^{30} k g} ≅ \frac{6 \cdot 10^{24} k g \cdot 150 \cdot 10^{6} k m}{2 \cdot 10^{30} k g} = 450 k m

Promień Słońca to 696 342 km, zatem stosunek to 450 km / 696342 km = 0,06%

Ćwiczenie 8

R1cqACsaFEjYs

Oblicz, w jakiej odległości od jądra Słońca wypada środek masy układu Jowisz-Słońce. Podaj wynik z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.
Oblicz, jaką część promienia Słońca stanowi ta odległość; podaj ten wynik w pełnych procentach.
Niezbędne stałe fizyczne znajdź w tablicach.

Odpowiedź: w odległości ............ km od środka Słońca. To ............% jego promienia.

Masa Jowisza $M_J = 1,9\cdot 10^{27}\,\text{kg}$ , masa Słońca $M_S = 2\cdot 10^{30}\,\text{kg}$ , średnia odległość Jowisza od Słońca $d \approx 779\,000\,000\,\text{km} = 7,79\cdot 10^{11}\,\text{m}$

Licząc od środka Słońca, otrzymujemy

$\displaystyle x_s = \frac{M_J d}{M_J + M_S} = \frac{1,9\cdot 10^{27}\,\text{kg} \cdot 7,8\cdot 10^{11}\,\text{m}}{1,9\cdot 10^{27}\,\text{kg} + 2\cdot 10^{30}\,\text{kg}} \approx 7,4\cdot 10^8\,\text{m} = 740\,000\,\text{km}\ .$

Promień Słońca to $696\,342\,\text{km}$ , zatem stosunek tych wielkości wynosi ok. $106\%$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela