Udowodnij, że symetralna każdej cięciwy danego okręgu przechodzi przez jego środek.
Niech punkty , będą końcami cięciwy okręgu o środku i promieniu . Wtedy . Ale z własności symetralnej danego odcinka wynika, że jest ona zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka. Wobec równości wnioskujemy, że punkt leży na tej symetralnej.
1
Ćwiczenie 2
Skonstruuj okrąg przechodzący przez trzy różne punkty , , , które nie są współliniowe.
Zauważ, że środek okręgu leży na symetralnej każdej jego cięciwy.
Opis konstrukcji:
Prowadzimy symetralne dwóch dowolnych odcinków, których końcami dwa spośród punktów , , – punkt przecięcia się symetralnych wyznacza środek okręgu .
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu równym długości odcinka . Zauważmy, że żądanie, by punkty , , nie były współliniowe jest konieczne dla istnienia punktu wspólnego obu symetralnych.
2
Ćwiczenie 3
Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu mają długości odpowiednio oraz , a ich wspólny punkt leży na tym okręgu.
Oblicz promień danego okręgu.
Niech , oznaczają odpowiednio długości obu cięciw. Zauważ, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym. Wtedy . Zatem oraz .
RTc8q7V1Pkleq2
Ćwiczenie 4
Okrąg o większym promieniu Możliwe odpowiedzi: 1. A indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, 2. A indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, 3. A indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, 4. A indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 5. A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, 6. A indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego Okrąg o mniejszym promieniu Możliwe odpowiedzi: 1. A indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, 2. A indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, 3. A indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, 4. A indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 5. A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, 6. A indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego
Okrąg o większym promieniu Możliwe odpowiedzi: 1. A indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, 2. A indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, 3. A indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, 4. A indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 5. A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, 6. A indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego Okrąg o mniejszym promieniu Możliwe odpowiedzi: 1. A indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, 2. A indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, 3. A indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, 4. A indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 5. A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, 6. A indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego
2
Ćwiczenie 5
R1Yvu6Lz4MYVN
Dany jest okrąg o promieniu sześć i dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy o wspólnym początku. Różnica długości kwadratów tych cięciw jest równa szesnaście. Krótsza z tych cięciw ma długość Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, 2. siedem, 3. osiem, 4. dziewięć
Niech , oznaczają odpowiednio długości obu cięciw. Zauważ, że wówczas .
2
Ćwiczenie 6
RsRusXqWFBHnH
Punkty A, B, C leżą na okręgu o promieniu r. Ich odległości są odpowiednio równe: długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, równa się, szesnaście, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się, siedemnaście, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, siedemnaście. Promień r jest równy Możliwe odpowiedzi: 1. dziewięć, 2. początek ułamka, dwieście osiemdziesiąt dziewięć, mianownik, trzydzieści, koniec ułamka, 3. dziesięć, 4. początek ułamka, dwieście osiemdziesiąt dziewięć, mianownik, piętnaście, koniec ułamka
Zauważ, że pole trójkąta wyraża się wzorem .
R1eDhaXWNQaHI3
Ćwiczenie 7
Zbadaj położenie punktów względem okręgu o środku O i promieniu r, równa się, trzy na podstawie ich odległości d od środka okręgu. Dopasuj łącząc w pary. Punkt na okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka Punkt wewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka Punkt zewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka
Zbadaj położenie punktów względem okręgu o środku O i promieniu r, równa się, trzy na podstawie ich odległości d od środka okręgu. Dopasuj łącząc w pary. Punkt na okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka Punkt wewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka Punkt zewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1. d, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. d, równa się, wartość bezwzględna z, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. d, równa się, początek ułamka, sześć, mianownik, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka
R157rI0bsowsT3
Ćwiczenie 8
Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu, o wspólnym punkcie leżącym na tym okręgu, różnią się o jeden, a średnica jest o dwa dłuższa od jednej z cięciw. Oblicz długość promienia okręgu. Uporządkuj w kolejności zapisy prowadzące do rozwiązania. Elementy do uszeregowania: 1. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka., 2. Niech x oznacza długość krótszej cięciwy., 3. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba trzy., 4. Promień jest wtedy równy dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 5. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, osiem, równa się, zero., 6. Analogicznie, jeśli średnica jest o dwa dłuższa od dłuższej z przyprostokątnych, to możemy zapisać równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 7. Jeśli średnica jest o dwa dłuższa od krótszej z przyprostokątnych, to korzystając z faktu, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym, możemy zapisać równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 8. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, trzy, równa się, zero., 9. Promień jest wtedy równy dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka.
Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu, o wspólnym punkcie leżącym na tym okręgu, różnią się o jeden, a średnica jest o dwa dłuższa od jednej z cięciw. Oblicz długość promienia okręgu. Uporządkuj w kolejności zapisy prowadzące do rozwiązania. Elementy do uszeregowania: 1. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka., 2. Niech x oznacza długość krótszej cięciwy., 3. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba trzy., 4. Promień jest wtedy równy dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 5. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, osiem, równa się, zero., 6. Analogicznie, jeśli średnica jest o dwa dłuższa od dłuższej z przyprostokątnych, to możemy zapisać równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 7. Jeśli średnica jest o dwa dłuższa od krótszej z przyprostokątnych, to korzystając z faktu, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym, możemy zapisać równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 8. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, trzy, równa się, zero., 9. Promień jest wtedy równy dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka.