Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1dhFAGxUABkw1

Ćwiczenie 1

R1QHDDEXxkcwq1

Ćwiczenie 2

R53EtQcYfvm3G1

Ćwiczenie 3

R147xi4woA2d52

Ćwiczenie 4

Połącz w pary wzór ogólny i wzór rekurencyjny ciągu

(a_{n})

określonego dla

n \geq 1

a_{n} = 3^{n - 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2, n \geq 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = 5 \\ a_{n + 1} = 2 + a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

a_{n} = 2 n + 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2, n \geq 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = 5 \\ a_{n + 1} = 2 + a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

a_{n} = n (n + 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2, n \geq 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = 5 \\ a_{n + 1} = 2 + a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

a_{n} = n (n - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2, n \geq 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = 5 \\ a_{n + 1} = 2 + a_{n}, n \geq 1 \end{cases}

RuBGogwXaKm7b21

Ćwiczenie 5

R1WaLRDK8Z1CF2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Ciąg $(a_{n})$ , w którym wyrazy sa większe od 2, określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ . Ciąg $(b_{n})$ , w którym wyrazy sa większe od 2, określony jest wzorem rekurencyjnym

$\{\begin{cases} b_{1} = \frac{1}{2} \\ b_{n + 1} = \frac{1}{2 - b_{n}}, n \geq 1 \end{cases}$ .

Wykaż, że ciągi te są równe.

$a_{n} = \frac{n}{n + 1} \Rightarrow n = \frac{a_{n}}{1 - a_{n}} (a_{n} \neq 1)$

$a_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

$a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{\frac{a_{n}}{1 - a_{n}} + 1}{\frac{a_{n}}{1 - a_{n}} + 2}$

$a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}$ i $a_{n} \neq 2$

$\{\begin{cases} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}, n \geq 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 8

Ciąg $(a_{n})$ dla $n \geq 0$ określony jest wzorem $a_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ . Wykaż, że ten ciąg można opisać wzorem rekurencyjnym

$\{\begin{cases} a_{0} = 2 \\ a_{1} = 5 \\ a_{n} = 5 a_{n - 1} - 6 a_{n - 2}, n \geq 2 \end{cases}$ .

$a_{0} = 2^{0} + 3^{0} = 2$

$a_{1} = 2^{1} + 3^{1} = 5$

Wyznaczamy i przekształcamy wzór na wyraz $a_{n}$ .

$a_{n} = 2^{n} + 3^{n} = 4 \cdot 2^{n - 2} + 9 \cdot 3^{n - 2}$

$a_{n} = 5 (2^{n - 1} + 3^{n - 1}) - 6 (2^{n - 2} + 3^{n - 2})$

$a_{n} = 5 a_{n - 1} - 6 a_{n - 2}$ .

Stąd

$\{\begin{cases} a_{0} = 2 \\ a_{1} = 5 \\ a_{n} = 5 a_{n - 1} - 6 a_{n - 2}, n \geq 2 \end{cases}$ .

Co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela