Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RECinCurbxuHK

R19x80uHoZrcg

Połącz w pary tekst z wykresami funkcji. brak ekstremum Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 1) (x + 2)

, 2.

f (x) = - x (x - 3)

, 3.

f (x) = \ln x

, 4.

f (x) = - (x - 1) (x + 2)

funkcja osiąga minimum, miejsca zerowe to

(- 1)

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 1) (x + 2)

, 2.

f (x) = - x (x - 3)

, 3.

f (x) = \ln x

, 4.

f (x) = - (x - 1) (x + 2)

funkcja osiąga maksimum, miejsca zerowe to

0

3

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 1) (x + 2)

, 2.

f (x) = - x (x - 3)

, 3.

f (x) = \ln x

, 4.

f (x) = - (x - 1) (x + 2)

funkcja osiąga maksimum, miejsca zerowe to

(- 1)

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 1) (x + 2)

, 2.

f (x) = - x (x - 3)

, 3.

f (x) = \ln x

, 4.

f (x) = - (x - 1) (x + 2)

Ćwiczenie 2

RuRBNBjznLM4z

Każdej funkcji przyporządkuj odpowiednie ekstremum. maksimum Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 grupy 2, 2. element 4 grupy 1, 3.

f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 4

, 4.

f (x) = 3 (x + 5) (2 - x)

, 5. element 3 grupy 1, 6.

f (x) = - 2 (1 - x) (x - 3)

, 7.

f (x) = x^{2} - 2 x + 1

minimum Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 grupy 2, 2. element 4 grupy 1, 3.

f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 4

, 4.

f (x) = 3 (x + 5) (2 - x)

, 5. element 3 grupy 1, 6.

f (x) = - 2 (1 - x) (x - 3)

, 7.

f (x) = x^{2} - 2 x + 1

Która z funkcji osiąga maksimum, a która osiąga minimum? Przeciągnij wzory w odpowiednie miejsca.

maksimum
minimum

Ćwiczenie 3

Rh5dn8rdhwRq1

Obwód prostokąta wynosi $28 cm$ . Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było jak największe?

$13 cm \times 15 cm$
$14 cm \times 14 cm$
$6 cm \times 8 cm$
$7 cm \times 7 cm$
$5 cm \times 9 cm$

Ćwiczenie 4

Jaka liczba dodana do swojego kwadratu tworzy najmniejszą sumę?

Oznaczmy przez $x$ szukaną liczbę. Z treści zadania otrzymujemy funkcję $S (x) = x + x^{2}$ . Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej $S (x) = x (1 + x)$ . Miejsca zerowe tej funkcji to $(- 1)$ i $0$ . Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ponieważ $x$ jest pewną liczbą. Obliczając $x_{w}$ jako średnią arytmetyczną miejsc zerowych otrzymujemy $x_{w} = - \frac{1}{2}$ .

Szukana liczba to $(- \frac{1}{2})$ .

Ćwiczenie 5

R1dwze8G8VEAs

R1DE4jCaq7yFB

Ćwiczenie 6

R19SRVcb0SP0T

Na prostej o równaniu $x + 6 y - 24 = 0$ znajdź taki punkt $P$ o dodatnich współrzędnych, że iloczyn odległości punktu $P$ od osi układu współrzędnych jest największy z możliwych.

$P = (\frac{3}{2}, 15)$
$P = (2, 12)$
$P = (15, \frac{3}{2})$
$P = (12, 2)$
$P = (10, 2)$
$P = (2, 10)$

Ćwiczenie 7

R1Uw5bdb7HrTJ

Dane są punkty $A = (2, 3)$ i $B = (5, 6)$ . Na osi $X$ znajdź taki punkt $C$ , aby suma kwadratów długości odcinków $A C$ i $B C$ była najmniejsza.

$C = (\frac{7}{2}, 0)$
$C = (\frac{29}{4}, 0)$
$C = (\frac{7}{4}, 0)$
$C = (\frac{29}{2}, 0)$

Ćwiczenie 8

Drut o długości $54 cm$ rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi $5 : 8$ , a w drugim $13 : 10$ . Jakie obwody mają te trójkąty, jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych?

Rysujemy dwa trójkąty równoramienne.

R3jspD1xTShng

Ilustracja przedstawia dwa rysunki trójkątów równoramiennych. Z lewej strony mamy trójkąt o ramionach o długości 5 x i o podstawie 8 x. Z prawej strony mamy trójkąt o ramionach o długości 13 y i o podstawie 10 y.

Obliczając sumę obwodów każdego trójkąta otrzymujemy $18 x + 36 y = 54$ . Wyznaczając jedną zmienną otrzymujemy $x = 3 - 2 y$ . Boki muszą być dodatnie więc rozwiązujemy nierówność $3 - 2 y > 0$ . Z rozwiązania otrzymujemy dziedzinę $D : y \in (0, \frac{3}{2})$ . W zadaniu trzeba wyznaczyć pola trójkątów, więc najpierw obliczamy wysokości. Wysokość dzieli na pół podstawę trójkąta więc możemy zaobserwować, że otrzymamy trójkąty prostokątne pitagorejskie. (Można również wyznaczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa). Wysokość w trójkącie ze zmienną $x$ wynosi $3 x$ , natomiast w drugim $12 y$ .

RNdZDD8Ii7BnX

Ilustracja przedstawia dwa rysunki trójkątów równoramiennych. Z lewej strony mamy trójkąt o ramionach o długości 5 x i o podstawie 8 x. W trójkącie upuszczono wysokość z górnego wierzchołka i zaznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą. Z prawej strony mamy trójkąt o ramionach o długości 13 y i o podstawie 10 y. W trójkącie upuszczono wysokość z górnego wierzchołka i zaznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą.

Obliczając pola trójkątów i je sumując otrzymujemy następującą funkcję $s (x, y) = \frac{8 x \cdot 3 x}{2} + \frac{10 y \cdot 12 y}{2} = 12 x^{2} + 60 y^{2}$ z obwodu możemy podstawić $x = 3 - 2 y$ . Otrzymujemy funkcję jednej zmiennej $s (y) = 12 {(3 - 2 y)}^{2} + 60 y^{2} = 108 - 144 y + 108 y^{2}$ . Obliczymy wierzchołek paraboli $y_{w} = - \frac{b}{2 a} = \frac{144}{216} = \frac{2}{3} \in D$ . Zatem $x = 3 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ . Obwód trójkąta ze zmienną $x$ wynosi $18 x = 30 cm$ . Obwód drugiego trójkąta wynosi $24 cm$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela