Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R3yyRnKfO77ON

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

R16nXWIuwLTkp

Ile poszczególnych elementów ma graniastosłup sześciokątny? Wstaw odpowiedzi w odpowiednie miejsca.

krawędzie boczne, krawędzie, wierzchołki, ściany, ściany boczne, krawędzie podstaw

Sześć
Osiem
Dwanaście
Osiemnaście

Ćwiczenie 2

RZpjbQ8UVtvBL

Ile wynosi suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego dla podanych wartości krawędzi podstawy $a$ i wysokości $h$ ? Wskaż wszystkie prawidłowe odpowiedzi.

$S_{k} = 132 cm$ , gdy $a = 6 cm$ i $h = 10 cm$
$S_{k} = 252 \sqrt{3} cm$ , gdy $a = 15 \sqrt{3} cm$ i $h = 12 \sqrt{3} cm$
$S_{k} = 48 \sqrt{5} + 60 \sqrt{3} cm$ , gdy $a = \sqrt{20} cm$ i $h = \sqrt{300} cm$

Ćwiczenie 3

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o polu $450 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $25 cm$ . Oblicz, ile centymetrów drutu potrzeba na wykonanie szkieletowego modelu tego graniastosłupa. Przeciągnij odpowiedzi w odpowiednie miejsca.

RpufQlcniXAWB

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna ma długość 25. Każda krawędź podstawy jest podpisana literą a.

R1YiGuJ0OUa7v

$25 cm$ , $10 \sqrt{3}$ , $450 \sqrt{3} {cm}^{2}$ , $357, 85 cm$

Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanym polu ..................... Długość $a$ krawędzi podstawy wynosi ..................... Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość ..................... Na wykonanie modelu graniastosłupa potrzeba .................... drutu.

Ćwiczenie 4

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o krótszej przekątnej długości $2 \sqrt{15} cm$ . Wysokość graniastosłupa jest $\sqrt{5}$ razy większa od jego krawędzi podstawy. Oblicz sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.

RM8kGRw42Ys9J

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest podpisana literą h. Każda krawędź podstawy jest podpisana literą a. Na górnej podstawie graniastosłupa narysowane zostały wszystkie dłuższe przekątne sześciokąta. Połowa długości dłuższej przekątnej sześciokąta ma długość a. Krótsza przekątna sześciokąta zaznaczona jest kolorem różowym i jest podpisana literą d.

Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanej krótszej przekątnej $d_{2} = 2 \sqrt{15} cm$ .

Obliczamy długość $a$ krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru $d_{2} = a \sqrt{3}$ .

$d_{2} = 2 \sqrt{15}$

$a \sqrt{3} = 2 \sqrt{15} ∣ : \sqrt{3}$

$a = 2 \sqrt{\frac{15}{3}}$

$a = 2 \sqrt{5} cm$

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość $\sqrt{5}$ razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli $h = a \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10 cm$ .

Możemy już obliczyć sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:

$S_{k} = 12 \cdot a + 6 \cdot h = 12 \cdot 2 \sqrt{5} + 6 \cdot 10 = 24 \sqrt{5} + 60 cm$

Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi $24 \sqrt{5} + 60 cm$ .

Ćwiczenie 5

R1UDhsa9po8fu

Krawędź podstawy tego graniastosłupa wynosi ............ $cm$ , a jego wysokość ............ $cm$ .

Ćwiczenie 6

Jaka jest długość krótszej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, jeżeli krawędź podstawy, dłuższa przekątna podstawy i wysokość tego graniastosłupa w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, a suma jego wszystkich krawędzi wynosi $252 cm$ .

R17OjAA4fwx2l

Omawiany graniastosłup ma $S_{k} = 252 cm$ , czyli rozpisując otrzymujemy:

$S_{k} = 12 \cdot a + 6 \cdot h = 252 cm$

Krawędź podstawy, dłuższa przekątna podstawy i wysokość tego graniastosłupa w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, co zapisujemy

$a$ , $d$ , $h$ - ciąg geometryczny.

Wiemy także, że $d = 2 a$ , czyli

$a$ , $2 a$ , $h$ - ciąg geometryczny.

Wykorzystując wzór na $a_{2} = \sqrt{a_{1} \cdot a_{3}}$ w ciągu geometrycznym mamy:

$2 a = \sqrt{a \cdot h}$ po podniesieniu obu stron do kwadratu.

$4 a^{2} = a \cdot h ∣ : h$ zakładamy,że $h > 0$ , bo jest długością krawędzi.

$h = 4 a$

Podstawiamy wyliczoną wysokość do wzoru na sumę krawędzi:

$S_{k} = 12 \cdot a + 6 \cdot h = 252$

$12 \cdot a + 6 \cdot h = 252$

$12 \cdot a + 6 \cdot 4 a = 252$

$12 \cdot a + 24 a = 252$

$36 a = 252 ∣ : 36$

$a = \frac{252}{36}$

$a = \frac{84}{12}$

$a = 7 cm$

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość $h = 4 a$ , czyli $h = 4 \cdot 7 = 28 cm$ .

Zostało tylko wyliczyć długość krótszej przekątnej podstawy ze wzoru $d = a \sqrt{3}$ .

$d = 7 \sqrt{3}$

Krótsza przekątna podstawy wynosi $d = 7 \sqrt{3} cm$ .

Ćwiczenie 7

W graniastosłupie prawidłowym o podstawie sześciokąta krawędź podstawy, krótsza przekątna i wysokość tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz, ile drutu potrzeba na wykonanie modelu tej bryły mając daną $a$ - długość krawędzi podstawy.

RNYC3vFPKBhrG

Krawędź podstawy, krótsza przekątna podstawy i wysokość tego graniastosłupa w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, co zapisujemy

$a$ , $d$ , $h$ - ciąg geometryczny.

Wiemy także, że $d = a \sqrt{3}$ , czyli

$a$ , $a \sqrt{3}$ , $h$ - ciąg geometryczny.

Wykorzystując wzór na $a_{2} = \sqrt{a_{1} \cdot a_{3}}$ w ciągu geometrycznym mamy:

$a \sqrt{3} = \sqrt{a \cdot h}$ po podniesieniu obu stron do kwadratu.

$3 a^{2} = a \cdot h ∣ : a$ zakładamy, że $a > 0$ , bo jest długością krawędzi.

$h = 3 a$

Podstawiamy wyliczoną wysokość do wzoru na sumę krawędzi:

$S_{k} = 12 \cdot a + 6 \cdot h = 12 a + 6 \cdot 3 a = 12 a + 18 a = 30 a$

Do wykonania modelu tego graniastosłupa potrzeba $30 a$ drutu.

Ćwiczenie 8

Wyznacz wzór opisujący sumę krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, wiedząc, że krótsza przekątna ma długość $x$ , a wysokość tej bryły jest $3$ razy większa od krawędzi podstawy.

R6MZnJAPHfy6W

Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanej krótszej przekątnej $d = x cm$ .

Obliczamy długość $a$ krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru $d = a \sqrt{3}$ .

$d = x$

$a \sqrt{3} = x ∣ \cdot \sqrt{3}$

$3 a = x \sqrt{3} ∣ : 3$

$a = \frac{x \sqrt{3}}{3} cm$

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość $3$ razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli $h = 3 a = 3 \cdot \frac{x \sqrt{3}}{3} = x \sqrt{3} cm$ .

Podstawiamy wyliczoną wysokość do wzoru na sumę krawędzi:

$S_{k} = 12 \cdot a + 6 \cdot h = 12 \cdot \frac{x \sqrt{3}}{3} + 6 \cdot x \sqrt{3} = 4 x \sqrt{3} + 6 x \sqrt{3} = 10 x \sqrt{3}$

Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi $10 x \sqrt{3}$ .

Aplet

Dla nauczyciela