Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RYrkWahyLwPkP1

Ćwiczenie 1

R1clFaSMbOqYj1

Ćwiczenie 2

Rhtz1oyJACJaS21

Ćwiczenie 3

Połącz w pary: równanie i jego rozwiązania.

2 \cos^{2} x - 3 \cos x - 2 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{π}{4} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{4} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 2.

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

lub

x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 3.

x = 2 k π

lub

x = \frac{π}{6} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 4.

x \in \emptyset

2 \cos^{2} x + (4 - \sqrt{2}) \cos x - 2 \sqrt{2} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{π}{4} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{4} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 2.

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

lub

x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 3.

x = 2 k π

lub

x = \frac{π}{6} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 4.

x \in \emptyset

2 \cos^{2} x - (2 + \sqrt{3}) \cos x + \sqrt{3} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{π}{4} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{4} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 2.

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

lub

x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 3.

x = 2 k π

lub

x = \frac{π}{6} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 4.

x \in \emptyset

2 \cos^{2} x + 7 \cos x + 6 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{π}{4} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{4} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 2.

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

lub

x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 3.

x = 2 k π

lub

x = \frac{π}{6} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

, 4.

x \in \emptyset

RFbvsDUyqvLm72

Ćwiczenie 4

R5KIVN1ImXOX32

Ćwiczenie 5

RSuXNceRS8trx2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Ile rozwiązań ma $12 \cos 3 x \cos 4 x + 1 = 3 \cos 3 x + 4 \cos 4 x$ w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ .

Zapiszmy równanie w postaci $(3 \cos 3 x - 1) (4 \cos 4 x - 1) = 0$

$\cos 3 x = \frac{1}{3}$ lub $\cos 4 x = \frac{1}{4}$ .

Pierwsze równanie ma $6$ rozwiązań, a drugie $8$ w podanym przedziale, więc łącznie $14$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż równanie $\cos π x = x^{2} - 4 x + 5$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że funkcję kwadratową $y = x^{2} - 4 x + 5$ można przedstawić w postaci $y = (x - 2)^{2} + 1$ , a zatem jej zbiorem wartości jest zbiór $⟨ 1, + \infty)$ . Wartość 1 funkcja przyjmuje dla $x = 2$ .

Funkcja $y = \cos π x$ przyjmuje wartości z przedziału $⟨ - 1, 1 ⟩$ .

Aby równanie $\cos π x = x^{2} - 4 x + 5$ miało rozwiązanie, to $\cos π x$ musi być równe $1$ i funkcja $y = (x - 2)^{2} + 1$ musi przyjąć wartość $1$ . Zatem $π x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , oraz $x = 2$ .

Jedynym rozwiązaniem równania jest $x = 2$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela