Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Rn5oVkmoV7kcu

Pole powierzchni kuli o średnicy $\frac{2}{\sqrt{2} - 1}$ jest równe:

$P = 4 π (3 + 2 \sqrt{2})$
$P = 4 π (1 + \sqrt{2})$
$P = 16 π (1 + \sqrt{2})$

Ćwiczenie 2

R9xAe6L6tFLMj

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Jeżeli $d$ jest średnicą kuli, to pole powierzchni kuli obliczamy ze wzoru $P = π d^{2}$ .
Jeżeli $R$ jest długością promienia kuli, a $P$ oznacza pole powierzchni tej kuli, to $R = \sqrt{4 π P}$ .
Istnieją dwie kule o różnych promieniach, które mają takie samo pole powierzchni.
Jeżeli dany jest promień koła wielkiego kuli, to możemy wyznaczyć pole powierzchni kuli.

Ćwiczenie 3

R9OS6KTIVU5Dl

Połącz w pary wartość pola powierzchni kuli z odpowiadającą mu długością promienia kuli.

$P = 2 π$
$P = 32 π$
$P = 3 π$
$P = 72 π$

Ćwiczenie 4

R1bPcCE5kzoLx

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Promienie kul

K_{1}, K_{2}, K_{3}

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie

q = \frac{1}{3}

, przy czym promień kuli

K_{3}

ma długość

\sqrt{3}

.
Wtedy:
- promień kuli

K_{1}

ma długość 1.

9

, 2.

108 π

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

312 π

, 6.

324 π

, 7.

12 π

- pole powierzchni kuli

K_{2}

wynosi 1.

9

, 2.

108 π

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

312 π

, 6.

324 π

, 7.

12 π

- różnica pola kuli

K_{1}

K_{3}

wynosi 1.

9

, 2.

108 π

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

312 π

, 6.

324 π

, 7.

12 π

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$9 \sqrt{3}$ , $3 \sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ , $108 π$ , $324 π$ , $960 π$ , $12 π$

Promienie kul $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie $q = \frac{1}{3}$ , przy czym promień kuli $K_{3}$ ma długość $\sqrt{3}$ .
Wtedy:
- promień kuli $K_{1}$ ma długość ............,
- pole powierzchni kuli $K_{2}$ wynosi ............,
- różnica pola kuli $K_{1}$ i $K_{3}$ wynosi .............

Ćwiczenie 5

Ro4z6sAHb7S0G

Uporządkuj wartości wyrażeń w kolejności malejącej.

pole powierzchni kuli o promieniu równym przekątnej sześcianu o krawędzi $\frac{\sqrt{3}}{2}$
pole powierzchni kuli o promieniu $R = \frac{5}{\sqrt{π}}$
pole powierzchni kuli o średnicy $d = 2 π$
pole powierzchni kuli o promieniu $R = \sqrt{5}$

Ćwiczenie 6

RlyaLz2iJ06Fs

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Kula o promieniu równym wysokości trójkąta równobocznego o boku

4

: Możliwe odpowiedzi: 1. ma pole powierzchni równe

48 π

, 2. ma promień równy

2 \sqrt{3}

, 3. ma promień równy

3 \sqrt{2}

, 4. ma średnicę długości

4 \sqrt{3}

, 5. ma średnicę długości

6 \sqrt{2}

, 6. ma pole powierzchni równe

72 π

Kula o promieniu równym przekątnej kwadratu o boku

3

: Możliwe odpowiedzi: 1. ma pole powierzchni równe

48 π

, 2. ma promień równy

2 \sqrt{3}

, 3. ma promień równy

3 \sqrt{2}

, 4. ma średnicę długości

4 \sqrt{3}

, 5. ma średnicę długości

6 \sqrt{2}

, 6. ma pole powierzchni równe

72 π

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

ma promień równy <math><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, ma średnicę długości <math><mn>4</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, ma promień równy <math><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>, ma średnicę długości <math><mn>6</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>, ma pole powierzchni równe <math><mn>48</mn><mi>π</mi></math>, ma pole powierzchni równe <math><mn>72</mn><mi>π</mi></math>

Kula o promieniu równym wysokości trójkąta równobocznego o boku $4$ :
Kula o promieniu równym przekątnej kwadratu o boku $3$ :

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeżeli dwie kule są podobne w skali $k = 3$ , to stosunek pola powierzchni mniejszej kuli do pola powierzchni większej kuli wynosi $\frac{1}{9}$ .

Jeżeli $R$ jest długością promienia kuli, to długość promienia kuli do niej podobnej w skali $3$ wynosi $3 R$ .

Zatem pola powierzchni tych kul wynoszą odpowiednio:

$P = 4 π R^{2}$

$P = 4 π \cdot {(3 R)}^{2} = 36 π R^{2}$ .

Wobec tego stosunek pola powierzchni mniejszej kuli do pola powierzchni większej kuli wynosi:

$\frac{4 {πR}^{2}}{36 {πR}^{2}} = \frac{1}{9}$ .

Ćwiczenie 8

Pewną kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu długości $2 \sqrt{2}$ i środku oddalonym od środka kuli o $6$ . Wyznacz pole powierzchni tej kuli.

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1ZqPGH29Yb4j

Ilustracja przedstawia kulę przeciętą dwoma płaszczyznami. Pierwsza przechodzi przez oś symetrii kuli, druga natomiast jest równoległa do pierwszej i oddalona od niej o długość d. Odcinek d wychodzący ze środka kuli, łączy obie płaszczyzny w ich środkach i jest prostopadły do promienia mniejszej płaszczyzny. Oba odcinki zostały połączone odcinkiem R i w ten sposób utworzony został trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d i r oraz przeciwprostokątnej R.

Z warunków podanych w zadaniu mamy, że $r = 2 \sqrt{2}$ oraz $d = 6$ .

Do wyznaczenia długości promienia $R$ rozpatrywanej kuli zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Zatem:

$R^{2} = r^{2} + d^{2}$

$R^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} + 6^{2}$

$R^{2} = 44$ , czyli $R = 2 \sqrt{11}$ .

Zatem pole powierzchni kuli jest równe:

$P = 4 \cdot π \cdot {(2 \sqrt{11})}^{2} = 176 π$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela