Korzystamy ze wzoru na sumę tangensów:

$\mathrm{tg}40°+\mathrm{tg}50°=\frac{\sin \left(40°+50°\right)}{\cos 40°\cos 50°}=\frac{1}{\cos 40°\cos 50°}$.

Korzystamy z monotoniczności funkcji cosinus:

$\cos 40°>\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\cos 50°>\cos 60°=\frac{1}{2}$.

Kończymy szacowanie:

$\mathrm{tg}40°+\mathrm{tg}50°=\frac{1}{\cos 40°\cos 50°}<\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$.

Porządkujemy równanie:

$tg9°+tg81°-\left(tg27°+tg63°\right)=$

Stosujemy wzory na sumę tangensów:

$\frac{\sin 90°}{\cos 9°\cos 81°}-\frac{\sin 90°}{\cos 27°\cos 63°}=$

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\frac{1}{\cos 9°\sin 9°}-\frac{1}{\cos 27°\sin 27°}=$

$\frac{2}{2\cos 9°\sin 9°}-\frac{2}{2\cos 27°\sin 27°}=$

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

$\frac{2}{\sin 18°}-\frac{2}{\sin 54°}=2\left(\frac{\sin 54°-\sin 18°}{\sin 18°\sin 54°}\right)=$

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i otrzymujemy wynik:

$2\left(2\frac{\sin \frac{54°-18°}{2}\cos \frac{54°+18°}{2}}{\sin 18°\sin 54°}\right)=4\frac{\sin 18°\cos 36°}{\sin 18°\sin 54°}=4$.