Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R13fFYJeFAUIs

RQ2lwaYflOlfN1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Rv3mBclSudNHt

R1av6MnMKJFiM

Ćwiczenie 4

Na podstawie rysunku prostopadłościanu wstaw długości odpowiednich odcinków:

R1AIdFexbvOrX

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, o krawędziach podstawy a i 3, oraz wysokości h. Przekątna ściany bocznej o krawędzi a, wynosi dziesięć. Przekątną bryły oznaczono literą h. Pomiędzy krawędzią a, oraz przekątną ściany bocznej o krawędzi a, zaznaczono kąt 30°.

R1WgzwbOW3fWW

Ćwiczenie 5

Dane są prostopadłościany na rysunkach $1$ i $2$ .

RhJLDZMgN6a00

Na ilustracji przedstawiono dwa prostopadłościany. Prostopadłościan numer jeden, którego krawędzie podstawy równe są 4 i 2, a jego wysokość oznaczono literą h. Pomiędzy przekątną d bryły, a przekątną x podstawy, zaznaczono kąt 30°. Prostopadłościan numer dwa, którego krawędzie podstawy równe są 6 i 3, a wysokość bryły oznaczono literą h. Pomiędzy przekątną d bryły, a przekątną x podstawy, zaznaczono kąt 60°.

RLyhI9f6kHxkF

Ćwiczenie 6

R1cQuyukAaJNb

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Jeżeli podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości

2 \sqrt{2}

, to przekątna podstawy ma długość Tu uzupełnij. Jeżeli kąt pomiędzy przekątną tego prostopadłościanu i przekątną jego podstawy ma miarę

60 °

, to przekątna prostopadłościanu ma długość Tu uzupełnij. Zatem przekątna prostopadłościanu jest Tu uzupełnij razy dłuższa niż przekątna podstawy.

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu i przekątną podstawy ma miarę $30 °$ . Wyznacz sumę długości krawędzi tego prostopadłościanu, jeżeli przekątna prostopadłościanu ma długość $8$ , a jedna z krawędzi podstawy jest trzy razy dłuższa od drugiej krawędzi.

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1AKNZbhuMdgw

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy a, 3a i wysokości oznaczonej h. Utworzono trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna pokrywa się z przekątną d dolnej podstawy, a druga z wysokością h bryły. Przeciwprostokątna powstałego trójkąta stanowi przekątną bryły i wynosi osiem. Naprzeciwko przyprostokątnej h, zaznaczono kąt 30°.

Zauważmy, że otrzymujemy trójkąt prostokątny.

Rq42dnpUxadWO

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d i h, oraz przeciwprostokątnej równej osiem. Naprzeciwko przyprostokątnej h, zaznaczono kąt 30°.

Z trójkąta o kątach $90 °$ , $60 °$ , $30 °$ mamy, że:

$h = 4$ ,

$d = 4 \sqrt{3}$ .

Ponieważ jedna z krawędzi podstawy jest trzy razy dłuższa od drugiej krawędzi, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${(3 a)}^{2} + a^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2}$

$10 a^{2} = 48$

$a^{2} = \frac{24}{5}$ , czyli $a = \sqrt{\frac{24}{5}} = \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{30}}{5}$

Zatem krawędzie podstawy tego prostopadłościanu mają długości $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ i $\frac{6 \sqrt{30}}{5}$ .

Wobec tego suma długości krawędzi tego prostopadłościanu wynosi:

$4 \cdot \frac{2 \sqrt{30}}{5} + 4 \cdot \frac{6 \sqrt{30}}{5} + 4 \cdot 4 = \frac{32 \sqrt{30}}{5} + 16$ .

Ćwiczenie 8

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu o podstawie kwadratu ma miarę $60 °$ . Wykaż, że taki prostopadłościan jest sześcianem.

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RksB9oQJlXdwQ

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy a i wysokości oznaczonej h. Utworzono trójkąt równoramienny zawierający w sobie przekątne x sąsiednich ścian bocznych oraz przekątną d podstawy. Pomiędzy ramionami x trójkąta, zaznaczono kąt 60°.

Zauważmy, że trójkąt o bokach $x$ , $x$ , $d$ jest równoboczny, zatem $x = d$ .

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat, zatem $d = a \sqrt{2}$ , czyli $x = a \sqrt{2}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa zachodzi zależność:

$a^{2} + h^{2} = x^{2}$ ,

$a^{2} + h^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2}$ ,

$a^{2} + h^{2} = 2 a^{2}$ ,

$h = a$ .

Ponieważ w prostopadłościanie wszystkie krawędzie są tej samej długości, zatem rozpatrywana bryła jest sześcianem.

Aplet

Dla nauczyciela