Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1TirQPEa987i1

Ćwiczenie 1

Połącz wzór z odpowiednim opisem:

opisy:
a) natężenie pola wytworzonego przez pojedynczy ładunek elektrostatycznego,
b) natężenia pola wytworzonego przez pojedynczą planetę grawitacyjnego,
c) indukcję pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.

wzory:
1.

\frac{μ_{0} μ_{r} I}{2 π r}

\frac{1}{4 π ε_{0} ε_{r}} \frac{Q}{r^{2}}

G \frac{M}{r^{2}}

Odp.: a) 1. 3, 2. 2, 3. 1, b) 1. 3, 2. 2, 3. 1, c) 1. 3, 2. 2, 3. 1

Połącz wzór z odpowiednim opisem:

opisy:
a) natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez pojedynczy ładunek,
b) natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez pojedynczą planetę,
c) indukcję pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.

wzory:
1. $\frac{μ_{0} μ_{r} I}{2 π r}$
2. $\frac{1}{4 π ε_{0} ε_{r}} \frac{Q}{r^{2}}$
3. $G \frac{M}{r^{2}}$

1, 3, 2

Odp.: a) ............, b) ............, c) ............

Ćwiczenie 2

R1QZX6UGYLAaL1

Ćwiczenie 3

R1Pdlgo7FFeup

Masy $m$ i 5 $m$ znajdują się w odległości $d$ = 2 m od siebie. W jakiej odległości (mierząc od ciała o mniejszej masie), natężenie pola grawitacyjnego będzie wynosiło 0? Wynik podaj w metrach w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: ............ m.

G \frac{m}{x^{2}} = G \frac{5 m}{(d - x)^{2}}

5 x^{2} = (d - x)^{2}

x \approx 0, 62 m

Ćwiczenie 4

RH4G7hviHwiI6

Wyznacz wypadkowe natężenie pola elektrycznego w punkcie P pochodzące od dwóch ładunków: 5 nC i -5 nC tworzących dipol elektryczny, jeśli wiadomo, że leżą one w odległości 2 m od siebie. Wiadomo, że punkt P leży na symetralnej odcinka łączącego oba ładunki w odległości 1 m od środka tego odcinka. Wynik zapisz w N/C w postaci liczby całkowitej. Stała $k$ = 9 · 10⁹ (N·m²)/C.

Odp. ............ N/C.

RBAKZBAIYHmE9

Na rysunku znajdują się dwa jednakowe koła symbolizujące ładunki, których środki połączone są poziomym odcinkiem. Długość tego odcinka oznaczono przez małe d. Z lewej strony leży koło czerwone, a z prawej koło niebieskie. Narysowano symetralną odcinka łączącego środki kół, czyli linię przechodzącą przez środek odcinka i prostopadłą do niego. Na symetralnej pod odcinkiem zaznaczono punkt jej przecięcia z parą wzajemnie prostopadłych odcinków zaczynających się w środkach obu kół. Odległość punktu od odcinka oznaczono przez l równe jedna druga d. Przez ten punkt i środki kół poprowadzono dwie przerywane linie, wyznaczające kierunki wektorów natężenia pola elektrycznego pochodzącego od każdego z ładunków. Czerwony wektor skierowany jest w lewo i w górę w stronę środka czerwonego koła. Niebieski wektor skierowany jest w lewo i w dół w stronę przeciwną od środka niebieskiegoego koła. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Wartość natężenia pochodzącego od jednego ładunku wynosi $E = kq/r^2$ , przy czym $r = d\sqrt{2}$ , zatem

$E = 9\cdot 10^9 \,\text{Nm}^2/\text{C}^2 \cdot 5\cdot 10^{-9}\,\text{C}/(\sqrt{2}\,\text{m})^2 \approx 22,5\,\text{N/C}$

Korzystając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych (lub wzoru na długość przekątnej kwadratu), możemy obliczyć „wypadkowe” natężenie pola. Jest ono $\sqrt{2}$ raza mniejsze od dwukrotności $E$ , zatem

$E_w \approx 32\,\text{N/C}\ .$

Ćwiczenie 5

RZq2gkmux8uds

Od punktu, który jest środkiem układu, poprowadzono cztery odcinki o równej długości, oznaczonej literą małe x. Dwa odcinki są poziome, a dwa pionowe. Jeden z poziomych odcinków leży na lewo od środka układu, a na jego lewym końcu narysowano czerwone kółko ze znakiem plus, symbolizujące ładunek dodatni. Drugi z poziomych odcinków leży na prawo od środka układu, a na jego prawym końcu narysowano czerwone kółko ze znakiem plus. Jeden z pionowych odcinków leży nad środkiem układu, a na jego górnym końcu narysowano zielone kółko ze znakiem minus, symbolizujące ładunek ujemny. Drugi z pionowych odcinków leży pod środkiem układu, a na jego dolnym końcu narysowano zielone kółko ze znakiem minus. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1HhE93OZDIJk

Wyznacz natężenie pola elektrostatycznego w środku układu przedstawionego na poniższym rysunku, jeśli wiadomo, że wszystkie ładunki znajdują się w takiej samej odległości $x$ = 5 m od środka oraz ich wartości są identyczne i wynoszą $q$ = 2 C. Wynik podaj w N/C w zaokrągleniu do liczb całkowitych.

Odp. ............ N/C.

Ćwiczenie 5

W czterech rogach kwadratu umieszczono ładunki elektryczne o tej samej wartości i o tym samym znaku. W którym kierunku będzie wskazywał wektor natężenia pola elektrycznego w geometrycznym środku kwadratu?

Ćwiczenie 6

Rg0Gi7Bspu4WS

Wyznacz natężenie pola elektrostatycznego w środku układu przedstawionego na poniższym rysunku, jeśli wiadomo, że wszystkie ładunki znajdują się w takiej samej odległości $x$ = 10 m od środka oraz ich wartości są identyczne i wynoszą $q$ = 0,2 μC. Wynik podaj w N/C w zaokrągleniu do liczb całkowitych.

Odp. ............ N/C.

R6SK0ogVI0iQA

„Wkłady” od ładunków dodatnich i ujemnych w kierunku poziomym i pionowym możemy dodać i dostaniemy dwa prostopadłe wektory, wartość sumy których uzyskamy z twierdzenia Pitagorasa: rys: dorobić strzałki do Exy, oznaczyć E

RK7xQ76MdkwCy

Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku zawartego w treści zadania, ale dodatkowo narysowano dwa czarne wektory natężenia pola elektrostatycznego przyłożone do punktu, który jest środkiem układu. Jeden z wektorów skierowany jest poziomo w lewo i oznaczony literą wielkie E z indeksem dolnym małe x. Drugi z wektorów skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie E z indeksem dolnym małe y. Na wektorach zbudowano kwadrat, na którego przekątnej leży wypadkowa tych wektorów. Wektor wypadkowy skierowany jest ukośnie w lewo i w dół. Zaznaczono kąt między wektorem poziomym i wektorem wypadkowym i zapisano jego wartość czterdzieści pięć stopni. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

E_{x} = E_{y} = 2 k \frac{q}{x^{2}}

E_{w} = E_{x} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} k \frac{q}{x^{2}}

E_{w} = E_{x} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \cdot 9 \cdot 1 0^{9} \frac{N m^{2}}{C^{2}} \cdot \frac{0, 2 \cdot 1 0^{- 6} C}{{(10 m)}^{2}} = 51 \frac{N}{C}

Ćwiczenie 6

W jakim kierunku będzie wskazywał wektor natężenia pola grawitacyjnego w geometrycznym środku obręczy o pewnej masie i o pewnym promieniu? Załóż, że obręcz jest cienka i dwuwymiarowa (czyli jest okręgiem), oraz że masa jest jednorodnie rozłożona na całej obręczy.

Ćwiczenie 7

RfqAO7StjVVQb

Na rysunku znajduje się kwadrat, którego bok oznaczono literą małe a. W górnych wierzchołkach kwadratu narysowano kółka ze znakiem plus. W dolnych wierzchołkach narysowano kółka ze znakiem minus. Na przecięciu przekątnych kwadratu zaznaczono punkt wielkie P. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RtM12wgstyxT9

W wierzchołkach kwadratu o boku $a$ = 2 m umieszczono cztery ładunki elektryczne: dwa dodatkiem i dwa ujemne o jednakowych wartościach $q$ = 0,05 μC (tak, jak na rysunku). Wyznacz wypadkowe natężenie pole elektrycznego w punkcie P leżącym w środku tego kwadratu. Wynik podaj w N/C w zaokrągleniu do liczb całkowitych.

Odp.: ............ N/C.

R8W53EPl5Zyjw

Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku zawartego w treści zadania poza oznaczeniem długości boku kwadratu i jego przekątnymi. Dodatkowo narysowano cztery wektory natężenia pola elektrostatycznego. Wszystkie wektory maja jednakową długość. Dwa wektory mają początek w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu i skierowane są wzdłuż przekątnych, dwa wektory w lewo i w dół, dwa w prawo i w dół. Wektory oznaczono symbolem E ze strzałką u góry i indeksem od 1 do 4, w zależności od tego, który z ładunków jest źródłem danego wkładu do pola wypadkowego. To pole skierowane jest pionowo w dół i oznaczone literą wielkie E z indeksem dolnym małe w. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Długości sum pól od ładunków leżących na jednej przekątnej wynoszą

$\displaystyle |\vec{E}_1+\vec{E_2}|=E_1+E_2=2\frac{kq}{(a/\sqrt{2})^2}=\frac{4kq}{a^2}\ ,$

analogicznie dla pozostałych dwóch wektorów. Suma wszystkich wektorów będzie więc miała wartość

$\displaystyle |\vec{E}_w| = (E_1 + E_2)\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}kq}{a^2}\approx 636\,\text{N/C}\ .$

Ćwiczenie 7

W trzech rogach kwadratu umieszczono ujemne ładunki elektryczne o tej samej wartości. W którym kierunku będzie wskazywał wektor natężenia pola elektrycznego w pustym rogu kwadratu?

Ćwiczenie 8

Osobom znużonym zbyt łatwymi przykładami o zbyt wysokiej symetrii i chcącym poćwiczyć dodawanie wektorów, obliczanie ich długości itp., proponujemy problem trudniejszy:

W układzie współrzędnych $(x,y)$ pozostawiono trzy ciała o masach $m_1$ w punktach, odpowiednio, $P_1=(0;0)$ , $P_2=(0;l)$ i $P_3$ - wierzchołku trójkąta równobocznego, którego podstawą jest odcinek $P_1P_2$ .

Wykonaj rysunek pomocniczy i znajdź współrzędne punktu $P_3$
Znajdź współrzędne środka masy tych ciał dla $m_1\colon\!m_2\colon\!m_3 =3\colon\!4\colon\!5$ .
Znajdź przybliżoną wartość i zwrot natężenia pola grawitacyjnego w tym punkcie (w chwili początkowej - zanim ciała zaczną się poruszać).

Z symetrii wynika, że $P_{3x}=l/2$ . Z kolei $P_{3y}=l\sqrt{3}/2$ (wybieramy punkt o dodatniej współrzędnej $y$ ).
Środek masy określony jest dla trzech ciał wzorem
$\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + m_3 \vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}\ ,$
co w naszym przypadku daje
$\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{m_1\cdot 0 + \frac{4}{3}m_1 \vec{r}_2 + \frac{5}{3}\vec{r}}{m_1(1 + \frac{4}{3} + \frac{5}{3}} = \frac{1}{3}\vec{r_2} + \frac{5}{12}\vec{r}_3\ .$
Biorąc pod uwagę, że $\vec{r}_2=(l;0)\ ,\ \vec{r}_3=(l/2;l\sqrt{3}/2)$ , dostajemy
$\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{l}{24}\left(13 ; 5\sqrt{3}\right)\ .$
Jak należało się spodziewać, wielkość $m_1$ skróciła się - nie jest potrzebna do znalezienia położenia środka masy, skoro znamy proporcje między wszystkimi masami.
Aby znaleźć natężenia pola grawitacyjnego $\vec{\gamma}_i\, (i = 1,2,3)$ od poszczególnych ciał, musimy znać położenia środka masy względem punktów, w których te masy się znajdują. Niech $\vec{R}_i=\vec{r}_{CM}-\vec{r}_i$ będą tymi położeniami. Po dość żmudnych rachunkach uzyskujemy
$\displaystyle \vec{R}_1 = \frac{l}{72}(13; 5\sqrt{3})\ ,$
$\displaystyle \vec{R}_2 = \frac{l}{24}(-11; 5\sqrt{3})\ ,$
$\displaystyle\vec{R}_3 = \frac{l}{24}(1; -7\sqrt{3}) \ .$
Wstawiając te wektory do wzoru $\vec{\gamma}_i=-Gm_i\vec{R}_i/|\vec{R}_i|^3$ , otrzymujemy (po jeszcze żmudniejszych rachunkach)
$\displaystyle \vec{\gamma}_1 = -\frac{Gm_1}{l^2}\frac{24^2}{244^{3/2}}(13; 5\sqrt{3}) \approx \frac{Gm_1}{l^2}(-1,965; -1.309)\ ,$
$\displaystyle \vec{\gamma}_2 = -\frac{Gm_1}{l^2} \frac{96}{343}(-11; 5\sqrt{3}) \approx\frac{Gm_1}{l^2}(3,079; -2,424)\ ,$
$\displaystyle \vec{\gamma}_3 = -\frac{Gm_1}{l^2} \frac{120}{37^{3/2}} (1;-7\sqrt{3})\approx \frac{Gm_1}{l^2}(-0,533; 6,465)\ .$
Sumując te wektory, dostajemy w przybliżeniu
$\displaystyle \vec{\gamma} \approx \frac{Gm_1}{l^2} (1,292; 4,732)\ .$
Aby znaleźć kąt, jaki tworzy $\vec{\gamma}$ z osią $Ox$ , policzmy iloraz $\gamma_y/\gamma_x\approx3,662$ . Korzystając z kalkulatora i używając funkcji arcus tangens, dostajemy $\measuredangle(\vec{\gamma},Ox)\approx75^{\circ}$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela