Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Co to jest granica funkcji
Sprawdź się
Powrót
Animacja
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
R1HTNdqotiaWz
1
Ćwiczenie
1
Dana funkcja
f
(
x
)
=
4
x
-
1
oraz ciąg jej argumentów
x
n
=
1
-
1
n
. Wówczas
lim
n
→
∞
f
x
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
3
, 2.
2
, 3.
1
R2SzgN6jgYzaR
1
Ćwiczenie
2
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
2
-
3
. Wskaż ciąg
x
n
, dla którego
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
.
Możliwe odpowiedzi: 1.
x
n
=
2
n
+
3
n
, 2.
x
n
=
1
-
n
2
n
, 3.
x
n
=
3
n
Raif0crwGZ4jY
1
Ćwiczenie
3
Dany jest ciąg
x
n
taki, że
lim
n
→
+
∞
x
n
=
-
2
. Wskaż funkcje, dla których
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
4
.
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
2
, 2.
f
(
x
)
=
2
-
x
, 3.
f
(
x
)
=
3
x
+
10
, 4.
f
(
x
)
=
2
x
2
+
8
R1FArzr1vfKEe
2
Ćwiczenie
4
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
4
x
2
-
1
. Wskaż ciągi argumentów tej funkcji, dla których
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
0
. Możliwe odpowiedzi: 1.
x
n
=
n
2
n
+
1
, 2.
x
n
=
2
n
n
-
3
, 3.
x
n
=
2
n
-
1
2
, 4.
x
n
=
n
4
n
+
2
RnHmXZ4kPTOhl
2
Ćwiczenie
5
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
2
-
3
.
Przesuń w puste pola odpowiednie wyrażenia. Jeśli
x
n
=
2
n
, to
lim
n
→
+
∞
x
n
=
1.
-
2
, 2.
1
, 3.
3
, 4.
-
3
, 5.
2
, 6.
-
1
oraz
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1.
-
2
, 2.
1
, 3.
3
, 4.
-
3
, 5.
2
, 6.
-
1
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
2
-
3
.
Przesuń w puste pola odpowiednie wyrażenia. Jeśli
x
n
=
2
n
, to
lim
n
→
+
∞
x
n
=
1.
-
2
, 2.
1
, 3.
3
, 4.
-
3
, 5.
2
, 6.
-
1
oraz
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1.
-
2
, 2.
1
, 3.
3
, 4.
-
3
, 5.
2
, 6.
-
1
R18q1zIhbvlJh
2
Ćwiczenie
6
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
x
+
1
dla
x
≤
1
3
-
x
dla
x
>
1
.
Uzupełnij poniższy tekst przesuwając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
nie posiada granicy w punkcie 1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
, ponieważ dla ciągów
x
n
=
1
+
1
n
oraz
u
n
=
1
-
1
n
, które są zbieżne do liczby 1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
ciągi wartości im odpowiadające mają granice:
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
≠
lim
n
→
+
∞
f
(
u
n
)
=
1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
.
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
x
+
1
dla
x
≤
1
3
-
x
dla
x
>
1
.
Uzupełnij poniższy tekst przesuwając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
nie posiada granicy w punkcie 1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
, ponieważ dla ciągów
x
n
=
1
+
1
n
oraz
u
n
=
1
-
1
n
, które są zbieżne do liczby 1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
ciągi wartości im odpowiadające mają granice:
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
≠
lim
n
→
+
∞
f
(
u
n
)
=
1.
x
0
=
1
, 2.
2
, 3.
1
, 4.
0
, 5.
3
, 6.
4
, 7.
x
0
=
0
.
R17Frc876eIWt
3
Ćwiczenie
7
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
-
3
x
. Połącz w pary.
x
n
=
n
n
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
3
-
n
n
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
2
n
6
n
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
2
+
3
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
-
3
x
. Połącz w pary.
x
n
=
n
n
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
3
-
n
n
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
2
n
6
n
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
x
n
=
2
+
3
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
1
, 2.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
5
, 3.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
-
4
, 4.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
RroCMtCosD3lK
3
Ćwiczenie
8
Dany jest ciąg
x
n
=
3
n
+
1
n
. Przeciągnij do odpowiednich obszarów funkcje, które spełniają przypisany do niego warunek.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
0
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8
Dany jest ciąg
x
n
=
3
n
+
1
n
. Przeciągnij do odpowiednich obszarów funkcje, które spełniają przypisany do niego warunek.
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
0
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
x
-
7
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
9
, 3.
f
(
x
)
=
2
x
-
6
, 4.
f
(
x
)
=
x
2
-
3
x
, 5.
f
(
x
)
=
4
-
x
, 6.
f
(
x
)
=
x
2
-
8