Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rl5gmMujnDHVz1

Ćwiczenie 1

Rfua2EULxASYv1

Ćwiczenie 2

RWpQxCyfjbJaD1

Ćwiczenie 3

RTMg7TXmYqCrt2

Ćwiczenie 4

R7l2BUayqv0oX2

Ćwiczenie 5

RAUQpcfrJ6wpQ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ spełniają dla każdej dodatniej liczby naturalnej warunek $4 a_{n + 3} - a_{n + 1} = a_{n} - 4 a_{n + 2}$ . Oblicz sumę dwóch początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , jeżeli suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2020.

Ponieważ ciąg jest geometryczny i $a_{1} \neq 0$ oraz $q \neq 0$ , zatem równanie $4 a_{n + 3} - a_{n + 1} = a_{n} - 4 a_{n + 2}$ można zapisać następująco:

$4 (a_{n + 3} + a_{n + 2}) = a_{n} + a_{n + 1}$

$4 (a_{1} q^{n + 2} + a_{1} q^{n + 1}) = a_{1} q^{n - 1} + a_{1} q^{n}$

$4 (q^{3} + q^{2}) = 1 + q$

$4 q^{2} (q + 1) = 1 + q$

Szereg geometryczny jest zbieżny, a zatem $q^{2} = \frac{1}{4}$ .

Suma szeregu jest równa 2020, a zatem $\frac{a_{1}}{1 - q} = 2020$ . Stą dostajemy $a_{1} = 2020 (1 - q)$ .

Suma dwóch początkowych wyrazów ciągu jest równa: $a_{1} + a_{2} = a_{1} (1 + q)$ , czyli $a_{1} + a_{2} = 2020 (1 - q) (1 + q) = 2020 (1 - q^{2}) = 2020 (1 - \frac{1}{4}) =$ $= 2020 \cdot \frac{3}{4} = 1515$ .

Ćwiczenie 8

Niech $p_{n}$ , dla liczby całkowitej $n > 0$ , oznacza sumę pierwiastków równania $x^{2} - {(\frac{1}{3})}^{n} x - 4 = 0$ z niewiadomą $x$ . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(p_{n})$ .

Równanie $x^{2} - {(\frac{1}{3})}^{n} x - 4 = 0$ jest równaniem kwadratowym, które dla dowolnej liczby naturlanej dodatniej $n$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste, gdyż $Δ = {(\frac{1}{9})}^{n} + 16 > 0$ .

Zatem ze wzorów Viete'a otrzymujemy wzór: $p_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$ .

Zatem $\sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$ .

Animacja

Dla nauczyciela