Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RSz3YXXQFiaDJ1

Ćwiczenie 1

R19A1p3CNpsrp

Ćwiczenie 1

R1cEEPJ8VMPZd1

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Zaznacz tak lub nie, w zależności od tego czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe.. Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z

2

przystających trójkątów równobocznych.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z

3

przystających prostokątów oraz

2

przystających trójkątów równobocznych.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe jego polu powierzchni całkowitej graniastosłupa.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej

6

i wysokości równej

2 \sqrt{3}

jest równe

54 \sqrt{3}

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie

Zaznacz tak lub nie, w zależności od tego czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdanie	Tak	Nie
Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się tylko z $2$ przystających trójkątów równobocznych.	□	□
Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z $3$ przystających prostokątów oraz $2$ przystających trójkątów równobocznych.	□	□
Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe polu powierzchni całkowitej graniastosłupa.	□	□
Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej $6$ i wysokości równej $2 \sqrt{3}$ jest równe $54 \sqrt{3}$ .	□	□

R1UwPpcAloMrB2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to przedstawienie graniastosłupa na 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie, powstające poprzez “rozcięcie” niektórych jego 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie tak, aby dało się rozłożyć ściany na 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie, które są 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie będących jego ścianami bocznymi. Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe jego 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie, powstające poprzez “rozcięcie” niektórych jego 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie tak, aby dało się rozłożyć ściany na 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie, które są 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

3

przystających prostokątów, 4.

3

przystających kwadratów, 5. ścian bocznych, 6. przystającymi trójkątami równoramiennymi, 7. krawędzi, 8. polu powierzchni bocznej, 9. przystającymi trójkątami prostokątnymi, 10. płaszczyźnie, 11. Siatka, 12. w przestrzeni, 13. polu powierzchni całkowitej, 14. pole, 15. przystającymi trójkątami równobocznymi, 16. Siatka, 17. płaszczyźnie będących jego ścianami bocznymi. Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe jego 1. polu podstaw, 2. dwóch podstaw, 3.

3

przystających prostokątów, 4.

3

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz.

Siatka, dwóch podstaw, krawędzi, polu podstaw, pole, przystającymi trójkątami prostokątnymi, w przestrzeni, $3$ przystających kwadratów, ścian bocznych, Siatka, przystającymi trójkątami równoramiennymi, polu powierzchni bocznej, $3$ przystających prostokątów, płaszczyźnie, polu powierzchni całkowitej, płaszczyźnie, przystającymi trójkątami równobocznymi

........................................................................................ graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to przedstawienie graniastosłupa na ........................................................................................, powstające poprzez “rozcięcie” niektórych jego ........................................................................................ tak, aby dało się rozłożyć ściany na ......................................................................................... ........................................................................................ graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z ........................................................................................, które są ........................................................................................ oraz ........................................................................................ będących jego ścianami bocznymi. Pole siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe jego .........................................................................................

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Na siatce graniastosłupa prawidłowego trójkątnego zaznacz punkty odpowiadające punktom $P R S T$ . Pamiętaj, że jednemu punktowi graniastosłupa w przestrzeni mogą odpowiadać dwa punkty na siatce. Zaznacz je tą samą literą.

RVbU1g09vX1lO

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie ABC oraz górnej DEF. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B wierzchołek E oraz nad wierzchołkiem C wierzchołek F. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną oznaczono literą h. Na krawędzi DE górnej podstawy zaznaczono punkt P, na krawędzi FD punkt T, na krawędzi bocznej EB punkt R oraz na krawędzi AC dolnej podstawy punkt S.

R12cJYqFGf3qC

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa, która wygląda następująco. Kolejno od lewej znajduje się prostokąt CFAD. Na jego dłuższym boku AD zbudowano prostokąt ADBE. Na dłuższym boku BE zbudowano kolejny prostokąt BECF. Na krótszym boku DE, środkowego prostokąta zbudowano trójkąt równoboczny DEF oraz na jego drugim krótszym boku AB zbudowano trójkąt równoboczny ABC. Na krótszym boku DE prostokąta oraz boku trójkąta równobocznego zaznaczono punkt P. Na dłuższym boku EB prostokąta zaznaczono punkt R. Na boku AC trójkąta oraz na krótszym boku AC prostokąta zaznaczono punkt S. Na boku FD trójkąta zaznaczono punkt T.

Ćwiczenie 5

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego siatkę przedstawia poniższy rysunek.

R1EB2qykiYeLb

R5rkGNhFml92H

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa. Trójkąt $C A F$ jest prostokątny. Dla trójkąta $C A F$ mamy $ctg 30 ° = \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$ stąd $a = 6$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej rozważanego graniastosłupa wynosi $P_{c} = \frac{36 \sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 6

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest dwa razy krótsza od wysokości. Punkty $G$ , $H$ , $I$ , $J$ , $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $O$ są odpowiednio środkami krawędzi podstaw i krawędzi bocznych tego graniastosłupa.

R1UtYVE66r9Xu

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Na bokach trójkąta równobocznego ABC zbudowano prostokąty. Prostokąt pierwszy ACDF, drugi BCFE oraz trzeci ABDE. Na krótszym boku DE prostokąta zbudowano kolejny trójkąt równoboczny DEF. Punktami zaznaczono środki boków. Punkt O stanowi środek krawędzi FC, punkt L krawędzi DF, punkt K stanowi środek krawędzi FE, punkt M środek krawędzi AD, punkt N środek krawędzi BE, oraz punkt G środek krawędzi AB. Połączono punkty L i M leżące na boku prostokąta, L i K leżące na bokach trójkąta, punkty K i N leżące na bokach prostokąta, M i G oraz N i G leżące na boku prostokąta oraz boku trójkąta.

Zaznacz na siatce graniastosłupa łamaną $L K N G M L$ oraz oblicz jej długość, wiedząc, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $4 (\sqrt{3} + 12)$ .

Niech $2 a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, wówczas $4 a$ oznacza długość wysokości graniastosłupa. Narysujmy łamaną $L K N G M L$ na siatce graniastosłupa.

RJLaHpyUwoIxx

Mamy $|L K| = a$ , $|L M| = |M G| = |G N| = |N K| = \sqrt{5} a$ (przeciwprostokątne przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $a$ i $2 a$ ). Zatem długość łamanej $L K N G M L$ : $a + 4 \sqrt{5} a$ . Wyliczymy długość $a$ : $P_{c} = \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 2 a \cdot 4 a = 4 (\sqrt{3} + 12)$ stąd $a = \sqrt{2}$ . Zatem długość łamanej $L K N G M L$ wynosi $(1 + 4 \sqrt{5}) \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wszystkie krawędzie są równej długości. Punkty $S_{n}$ , $n = 1, 2, 3$ są środkami krawędzi podstawy. Suma kwadratów długości odcinków $S_{1} S_{2}$ i $S_{2} S_{3}$ wynosi $s^{2}$ . Ile wynosi $s$ , jeśli objętość graniastosłupa jest równa $16 \sqrt{3}$ .

RmC2egllbeMSm

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która wygląda następująco. Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano kwadraty. Na dolnej podstawie kwadratu zbudowanego na podstawie trójkąta, zbudowano kolejny trójkąt równoboczny. Środki boków trójkąta równobocznego oznaczono S1, S2, S2.

Niech $2 a > 0$ oznacza długość krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa, zatem $2 a$ długość wysokości. Wówczas $|S_{1} S_{2}| = |S_{2} S_{3}| = a$ , $2 a^{2} = s^{2}$ , stąd $s = \sqrt{2} a$ . Z treści zadania wiemy, że objętość $V = \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 a = 2 \sqrt{3} a^{3} = 16 \sqrt{3}$ , zatem $a = 2$ . Możemy wyliczyć szukaną wielkość $s = 2 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Z trójkąta równobocznego $A B C$ o polu $4 \sqrt{3}$ wycięto siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach równych $a$ . Dla jakiej wartości $a$ pole trójkąta $E K F$ (zaznaczonego niebieskim kolorem) będzie największe? Dla wyznaczonej wartości $a$ oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.

R1ICAJI2tRREF

Na ilustracji zaznaczono trójkąt równoboczny A B C. Na boku A C zaznaczono punkt H i G, które sa oddalone odpowiednio od wierzchołków A i C o równą odległość. Na boku A B zaznaczono punkty I i D oddalone odpowiednio od wierzchołków A i B o równą odległość oraz na odcinku B C zaznaczono punkty E i F oddalone odpowiednią od wierzchołków B i C o równą odległość. Wewnątrz tego trójkąta zbudowano siatkę graniastosłupa prawidłowego taką, że na boku trójkąta równobocznego długości zbudowano prostokąt. Na krótszym boku jednego z prostokątów zbudowano kolejny trójkąt równoboczny B E D. Wewnątrz trójkąta A B C zaznaczono takie punkty jak L J K które są wierzchołkami górnej podstawy graniastosłupa. Lewa ściana boczna to I J L H, prawa ściana boczna to K F G L, ściana boczna łącząca dwie podstawy to D E K J.

Wprowadźmy oznaczenia tak jak na rysunku.

R9ZOpSgEdJWZN

Na ilustracji zaznaczono trójkąt równoboczny A B C. Na boku A C zaznaczono punkt H i G takie, że długość odcinka A H oraz G C jest równa a, a odcinka H G 2 x. Na boku A B zaznaczono punkty I i D takie, że długość odcinka A I oraz D B jest równa, a odcinka I D 2 x. Na boku B C zaznaczono punkty E F takie, że długość odcinka B E oraz F C ma długość a, a E F 2 x. Wewnątrz tego trójkąta zbudowano siatkę graniastosłupa prawidłowego taką że na boku trójkąta równobocznego długości zbudowano prostokąt. Na krótszym boku jednego z prostokątów zbudowano kolejny trójkąt równoboczny B E D o boku a. Wewnątrz trójkąta A B C zaznaczono takie punkty jak L J K które są wierzchołkami górnej podstawy graniastosłupa. Lewa ściana boczna to I J L H, prawa ściana boczna to K F G L, ściana boczna łącząca dwie podstawy to D E K J. Każda krawędź ściany bocznej ma długość a. Zaznaczono wysokość trójkąta równoramiennego E K F. Ramiona tego trójkąta mają długość a , a podstawa ma długość 2 x. Wysokość tego trójkąta ma długość h indeks dolny x koniec indeksu dolnego.

Z treści zadania mamy $P_{A B C} = \frac{{(2 a + 2 x)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$ , stąd $a + x = 2$ , czyli $x = 2 - a$ , $a \in (0, 2)$ . Pole trójkąta $E K F$ : $P_{E K F} = x h_{x}$ oraz $h_{x} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ . Stąd funkcja opisująca pole trójkata $E K F$ w zależności od długości krawędzi $a$ ma postać: $P_{E K F} (a) = (2 - a) \sqrt{4 a - 4}$ , $a \in (1, 2)$ . Szukamy maksimum lokalnego tej funkcji. $P_{E K F} (a)$ jest największa, gdy $f (a) = 4 {(2 - a)}^{2} (a - 1) = 4 (a^{3} - 4 a^{2} + 7 a - 4)$ jest największa, czyli dla $a = \frac{4}{3}$ (pochodna $f^{'} (a) = 4 (3 a^{2} - 8 a + 7)$ przyjmuje wartość zero dla $a = \frac{4}{3}$ i funkcja osiąga w tym punkcie maksimum lub $a = 2 \notin (0, 2)$ ). Możemy obliczyć pole graniastosłupa: $P_{c} = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{16}{3}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela