Narysujmy prostopadłościan i zaznaczmy szukany kąt.

RdyVblYgoPt3n

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wymiary podstawy prostopadłościanu to 3 i cztery. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość pięć. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu oraz przekątna ściany bocznej prostopadłościanu, która przylega do krawędzi podstawy o długości trzy. Kąt między przekątnymi podpisany jest literą alfa.

Jeżeli przez $d$ oznaczymy długość przekątnej prostopadłościanu, to:

$d=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus mamy, że:

$\sin \alpha =\frac{4}{5\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Narysujmy prostopadłościan, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rxtjaj86xPpnw

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu ma wymiary: a oraz $a+1$. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość h. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu o długości 6 oraz przekątna podstawy prostopadłościanu, która jest podpisana literą d. Kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu i przekątną podstawy ma wartość 30 stopni.

Z faktu, że miara kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu i płaszczyzną jego podstawy wynosi $30°$ wynika, że:

$d=3\sqrt{3}$ oraz $h=3$.

Do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(a+1\right)}^2+a^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$

$a^2+a-13=0$

$a_1=\frac{-1-\sqrt{53}}{2}<0$

$a_2=\frac{-1+\sqrt{53}}{2}>0$

Zatem $a+1=\frac{1+\sqrt{53}}{2}$

Wobec tego suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi:

$4·\frac{1+\sqrt{53}}{2}+4·\frac{-1+\sqrt{53}}{2}+4·3=4\sqrt{53}+12$

Narysujmy prostopadłościan, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Iorthijcwrn

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu ma wymiary: a oraz osiem. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość h. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu o długości d oraz przekątna ściany bocznej prostopadłościanu, należąca do ściany o długościach boków a i h. Przekątna podstawy prostopadłościanu jest podpisana literą x.

Ponieważ $x=6\sqrt{2}$, to długość drugiej krawędzi podstawy obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Wobec tego:

$8^2+a^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2$

$64+a^2=72$

$a^2=8$, czyli $a=2\sqrt{2}$

Ponieważ pole mniejszej ściany bocznej wynosi $20$, zatem:

$2\sqrt{2}·h=20$

$h=\frac{20}{2\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$

Długość przekątnej prostopadłościanu wynosi:

$d=\sqrt{8^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{64+8+50}=\sqrt{122}$

Do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ wykorzystujemy funkcję sinus:

$\sin \alpha =\frac{8}{\sqrt{122}}=\frac{8\sqrt{122}}{122}=\frac{4\sqrt{122}}{61}$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy że $\alpha \approx 46°$.