Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

W tym materiale poznasz podstawowe twierdzenie dotyczące sumy n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania ćwiczeń związanych z tym pojęciem.

Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów jest równa:

Sn=a11-qn1-q dla q1 albo Sn=na1 dla q=1.

R1MUhCm2kdUxn1
Animacja pokazuje w jaki sposób obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład 1

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego an, w którym a1=12 oraz q=2.

Iloraz ciągu geometrycznego an jest różny od 1, więc suma S10 jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S10=a11-q101-q=12·1-2101-2=12·1-210-1==12·210-1=1024-12=10232=51112.
Przykład 2

Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego an, w którym a1=3 oraz q=-2.

Suma, którą należy obliczyć, to a8+a9++a12. Zrobimy to dwoma sposobami.

  • sposób I:

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S12 oraz S7, odpowiednio dwunastu i siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S12=a11-q121-q=3·1--2121--2=3·1-2123=1-212=1-4096=-4095,
S7=a11-q71-q=3·1--271--2=3·1+273=1+27=1+128=129.

Zatem

a8+a9++a12=S12-S7=-4095-129=-4224.
  • sposób II:

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a8, a9, ..., a12, to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu an i którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu an czyli q=-2. Zatem

a8+a9++a12=a8·1-q51-q=a1q7·1-q51-q=3·-27·1-251--2=
=-3·128·1+253=-128·33=-4224.
Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny an, w którym a1=27 oraz a4=1. Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać 4013?

Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ a4=a1q3, więc q3=a4a1=127. Stąd q=13. Pozostaje obliczyć n, dla którego Sn=4013. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

27·1-13n1-13=4013.

Równanie to przekształcamy równoważnie

27·1-13n23=1213,
1-13n=1213·27·23,
13n=1-242243,
13n=1243,
13n=135.

Stąd n=5. Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu an.

Przykład 4

Suma n początkowych wyrazów ciągu an jest określona wzorem Sn=3n+1-3 dla każdej liczby całkowitej n1.

  1. Oblicz czwarty wyraz ciągu an.

  2. Udowodnij, że ciąg an jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie:

  1. Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy S4-S3, czyli
    a4=35-3-34-3=35-34=343-1=81·2=162.

  2. Wyznaczmy wzór na n–ty wyraz ciągu an. Postępujemy podobnie jak w punkcie 1. Dla każdej liczby całkowitej n>1 otrzymujemy
    an=Sn-Sn-1=3n+1-3-3n-3=3n+1-3n=3n3-1=
    =2·3n=6·3n-1.

To oznacza, że an jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy a1=6, a iloraz q=3.

Przykład 5

Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech początkowych wyrazów jest równy 82. Oblicz iloraz tego ciągu.

Trzeba zauważyć najpierw, że q1. Gdyby q=1, to S8=8a1, S4=4a1, więc S8S4=8a14a1=282. Wobec tego ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczamy sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów

S8=a11-q81-q, S4=a11-q41-q.

Ich stosunek jest równy 82, zatem

82=a11-q81-qa11-q41-q=1-q81-q4=1-q41+q41-q4=1+q4.

Stąd q4=81, czyli q=3 lub q=-3.

1
Ćwiczenie 1
R1SSBmCSn0rQa
Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego an określonego wzorem an=512·32n. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Suma ośmiu początkowych wyrazów wynosi Tu uzupełnij.
1
Ćwiczenie 2
R5OXPktjIoBPQ
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego an, w którym a3=-4 oraz a6=32. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Suma dziesięciu początkowych wyrazów wynosi Tu uzupełnij.
1
Ćwiczenie 3
R11EsR3W2dP3P
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych ciągu geometrycznego an, w którym a1=3 oraz q=12. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych wynosi 1. 27252028, 2. 32574096, 3. 40952048, 4. 20232138.
1
Ćwiczenie 4
RoOBmShA0jDo3
Łamana o długości 1270 mm składa się z odcinków, z których pierwszy odcinek ma długość 640 mm, a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Łamana składa się z Tu uzupełnij odcinków.
1
Ćwiczenie 5
RT1xr35cm2fnf
Ile wynosi suma 7 wyrazów ciągu geometrycznego an, w którym a1=818 oraz
q=23? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 205972, 2. 184958, 3. 195766, 4. 202769
2
Ćwiczenie 6
R17znFulRPtIh
Jaką wartość przyjmuje pierwszy wyraz ciągu geometrycznego an o ilorazie q=2, jeżeli suma S8=30+302? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2, 2. 3, 3. 22, 4. 32
2
Ćwiczenie 7
R1HcQ4Z1regM2
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego an jest równy -8, iloraz tego ciągu jest równy 12 oraz suma pierwszych n wyrazów jest równa -1534. Wyznacz n-ty wyraz tego ciągu geometrycznego. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiedni wyraz lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Szukanym wyrazem jest 1. a5=14, 2. a6=-14, 3. a7=-14, 4. a7=-13, 5. a5=34, 6. a6=-13, 7. a6=14, 8. a5=-23, 9. a7=14.
2
Ćwiczenie 8
RLEKEaeJK202N
Ile wyrazów ciągu geometrycznego an, który jest dany wzorem ogólnym an=-2n+1, trzeba zsumować, żeby otrzymać -340? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 8, 2. 7, 3. 6, 4. 9
2
Ćwiczenie 9
RHCEOiMJi1OP3
W pewnym sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych jest równa 63, a suma wyrazów stojąca na pozycjach parzystych jest równa 126. Jaką wartość przyjmuje szósty wyraz tego ciągu? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. a6=96, 2. a6=66, 3. a6=30, 4. a6=86
2
Ćwiczenie 10
RuTwWG0miLOTl
Oblicz sumę wyrazów od szóstego do dziesiątego ciągu geometrycznego an, w którym a1=5 oraz q=2. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Suma wyrazów od szóstego do dziesiątego wynosi Tu uzupełnij.
2
Ćwiczenie 11
R1wALDZke7oTs
Jaką wartość może przyjąć piąty wyraz ciągu geometrycznego, jeżeli S2=21 oraz S3=129? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. a5=3888, 2. a5=388849, 3. a5=147, 4. a5=882
2
Ćwiczenie 12
R1ZfiuaC1iP8I
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego an o numerach nieparzystych, w którym a1=7 oraz q=-12. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. S6=95551024, 2. S6=5426884, 3. S6=8752928, 4. S6=7855914
2
Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn=4n+1-4. Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.

RsHWErsyqOYnp
(Uzupełnij).
2
Ćwiczenie 14

Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 33. Oblicz iloraz tego ciągu.

RmEeUv6jbrdDM
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 15

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość
5-3+52-32+53-33++5n-3n=5n+1-2·3n+1+14.

R11sZDebU70gE
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych mniejszych od 10 jest równa 310-12.

RkzbQuSoE7U3B
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 17

Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy a1, ostatni wyraz jest równy an oraz suma wszystkich n wyrazów jest równa Sn, wyznacz sumę odwrotności wyrazów tego ciągu.

RL0PUpcZkIF78
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 18

Wykaż, że różnica liczb 11...12n-22...2n, gdzie w zapisie odjemnej występuje 2n jedynek, a w zapisie odjemnika n dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.

R9Jb8E0wlh5Eb
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 19

Oblicz sumę 2+22+222++2...22n, gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje n dwójek.

RyCHoEzI7tUrs
(Uzupełnij).
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida