Suma wyrazów ciągu geometrycznego
W tym materiale poznasz podstawowe twierdzenie dotyczące sumy początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania ćwiczeń związanych z tym pojęciem.
Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , to suma jego początkowych wyrazów jest równa:
dla albo dla .
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , w którym oraz .
Iloraz ciągu geometrycznego jest różny od , więc suma jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa
Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego , w którym oraz .
Suma, którą należy obliczyć, to . Zrobimy to dwoma sposobami.
sposób :
Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy oraz , odpowiednio dwunastu i siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.
Zatem
sposób :
Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są , , ..., , to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu i którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu czyli . Zatem
Dany jest ciąg geometryczny , w którym oraz . Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać ?
Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ , więc . Stąd . Pozostaje obliczyć , dla którego . Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy
Równanie to przekształcamy równoważnie
Stąd . Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu .
Suma początkowych wyrazów ciągu jest określona wzorem dla każdej liczby całkowitej .
Oblicz czwarty wyraz ciągu .
Udowodnij, że ciąg jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy , czyli
.Wyznaczmy wzór na –ty wyraz ciągu . Postępujemy podobnie jak w punkcie 1. Dla każdej liczby całkowitej otrzymujemy
.
To oznacza, że jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy , a iloraz .
Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech początkowych wyrazów jest równy . Oblicz iloraz tego ciągu.
Trzeba zauważyć najpierw, że . Gdyby , to , , więc . Wobec tego ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczamy sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów
Ich stosunek jest równy , zatem
Stąd , czyli lub .
W pewnym ciągu suma początkowych wyrazów wyraża się wzorem . Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.
Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy . Oblicz iloraz tego ciągu.
Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej zachodzi równość
.
Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby o wykładnikach naturalnych mniejszych od jest równa .
Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy , ostatni wyraz jest równy oraz suma wszystkich wyrazów jest równa , wyznacz sumę odwrotności wyrazów tego ciągu.
Wykaż, że różnica liczb , gdzie w zapisie odjemnej występuje jedynek, a w zapisie odjemnika dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.
Oblicz sumę , gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje dwójek.