Translacja

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Zapoznanie uczniów z pojęciem translacji w ujęciu klasycznym oraz analitycznym.

2. Poznanie podstawowych własności przesunięcia równoległego.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi konstruować obrazy niektórych figur w translacji.

2. Uczeń potrafi obliczać współrzędne obrazów punktów w translacji.

3. Uczeń potrafi rozpoznać obrazy niektórych figur w translacji.

4. Uczeń poszukuje argumentacji matematycznej w oparciu o poznaną definicję.

5. Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym.

6. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.

2. Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, praca zespołowa.

3. Środki dydaktyczne

1. Komputer z rzutnikiem multimedialnym.

2. Podręcznik i zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.

4. Przebieg lekcji

Zapoznanie uczniów z definicją translacji: , (wypowiedź słowna, wprowadzenie nazewnictwa).

Następnie uczniowie samodzielnie, w oparciu o podaną definicję, konstruują obraz punktu w translacji. Jeden z uczniów podaje swój sposób konstrukcji (ewentualne ulepszenia, inne propozycje). Potem nauczyciel wykonuje wskazaną konstrukcje „na oczach” uczniów na komputerze (wystarcza program CABRI 1). Następnie porusza punktem X – uczniowie obserwują obraz X’. Dodatkowo uczący zaznacza odcinek XX’.

RfWP87QsapHhK

Po takiej obserwacji uczniowie otrzymują następujące polecenia:

• Czy translacja jest przekształceniem geometrycznym?

• Znajdź punkty stałe translacji.

• Wyznacz zbiór wartości translacji.

• Scharakteryzuj odcinki XX’, przy wszelkich położeniach punktu X.

• Co może być obrazem prostej, okręgu, trójkąta?

• Czy można wskazać takie dwa punkty X i Y, aby ?

• Jakie jest przekształcenie odwrotne do translacji?

Odpowiedzi na powyższe pytania muszą być poparte jakąś argumentacją.

Uczniowie początkowo pracują samodzielnie w poszukiwaniu odpowiedzi na te pytania, potem tworzą grupy czteroosobowe (dwie sąsiednie ławki) i uzgadniają wspólne stanowisko. Później następuje wymiana poglądów. Grupy omawiają po jednym z pytań. Niektóre odpowiedzi są popierane rachunkiem na tablicy, np. dotyczącym punktów stałych, obrazu prostej, izometryczności. Pojawiają się także na ekranie obrazy prostej, okręgu w translacji konstruowane na zasadzie „miejsca geometrycznego punktu” (jest to jedna z opcji programu CABRI 1).

R101VowauZ5Qr

RfhjTUFvwP4CS

Następnie uczący wspólnie z uczniami prowadzi następujące rozumowanie:

, gdzie oraz . Rachunek ten przekonuje, że obrazem wektora jest wektor równy danemu, a więc równoległy i tej samej długości, ponadto obrazem odcinka jest odcinek o tej samej długości.

W wyniku pracy powinna zostać wypracowana następująca charakterystyka translacji:

• Jest to przekształcenie geometryczne, którego zbiorem wartości jest cała płaszczyzna.

• Nie ma punktów stałych (w definicji zastrzegamy sobie wektor niezerowy), .

• Translacja jest przekształceniem izometrycznym.

• Obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.

• Obrazem okręgu jest okrąg o tym samym promieniu.

• Odcinki XX’ (przy wszelkich położeniach punktu X) są zawsze do siebie równoległe, tej samej długości.

• Przekształceniem odwrotnym do translacji jest translacja o wektor przeciwny do danego.

Kolejny etap lekcji dotyczy translacji w układzie współrzędnych. Zadanie uczniów polega na znalezieniu związku pomiędzy współrzędnymi punktu , a współrzędnymi jego obrazu w translacji o niezerowy wektor . Uczniowie najpierw pracują samodzielnie, potem znów czwórkami. Na koniec jedna z grup relacjonuje swoje wyniki:

Zgodnie z definicją: , a więc: , czyli: .

Na zakończenie (w zależności od pozostałego do dyspozycji czasu) uczniowie wykonują ćwiczenia ze zbioru zadań: strony 190‑192.

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, wydawnictwo VULCAN, Wrocław 1994.

4. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

5. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

1. Wykorzystać metodę analityczną do sprawdzenia liczby punktów stałych w translacji.

2. Kilka ćwiczeń ze zbioru zadań, strony 190‑192.

7. Czas trwania lekcji

2 godziny lekcyjne

8. Uwagi do scenariusza

brak