Translacja
Translacja
1. Cele lekcji
a) Wiadomości
Zapoznanie uczniów z pojęciem translacji w ujęciu klasycznym oraz analitycznym.
Poznanie podstawowych własności przesunięcia równoległego.
b) Umiejętności
Uczeń potrafi konstruować obrazy niektórych figur w translacji.
Uczeń potrafi obliczać współrzędne obrazów punktów w translacji.
Uczeń potrafi rozpoznać obrazy niektórych figur w translacji.
Uczeń poszukuje argumentacji matematycznej w oparciu o poznaną definicję.
Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym.
Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.
2. Metoda i forma pracy
Praca indywidualna, praca zespołowa.
3. Środki dydaktyczne
Komputer z rzutnikiem multimedialnym.
Podręcznik i zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.
4. Przebieg lekcji
Zapoznanie uczniów z definicją translacji: , (wypowiedź słowna, wprowadzenie nazewnictwa).
Następnie uczniowie samodzielnie, w oparciu o podaną definicję, konstruują obraz punktu w translacji. Jeden z uczniów podaje swój sposób konstrukcji (ewentualne ulepszenia, inne propozycje). Potem nauczyciel wykonuje wskazaną konstrukcje „na oczach” uczniów na komputerze (wystarcza program CABRI 1). Następnie porusza punktem X – uczniowie obserwują obraz X’. Dodatkowo uczący zaznacza odcinek XX’.
Po takiej obserwacji uczniowie otrzymują następujące polecenia:
Czy translacja jest przekształceniem geometrycznym?
Znajdź punkty stałe translacji.
Wyznacz zbiór wartości translacji.
Scharakteryzuj odcinki XX’, przy wszelkich położeniach punktu X.
Co może być obrazem prostej, okręgu, trójkąta?
Czy można wskazać takie dwa punkty X i Y, aby ?
Jakie jest przekształcenie odwrotne do translacji?
Odpowiedzi na powyższe pytania muszą być poparte jakąś argumentacją.
Uczniowie początkowo pracują samodzielnie w poszukiwaniu odpowiedzi na te pytania, potem tworzą grupy czteroosobowe (dwie sąsiednie ławki) i uzgadniają wspólne stanowisko. Później następuje wymiana poglądów. Grupy omawiają po jednym z pytań. Niektóre odpowiedzi są popierane rachunkiem na tablicy, np. dotyczącym punktów stałych, obrazu prostej, izometryczności. Pojawiają się także na ekranie obrazy prostej, okręgu w translacji konstruowane na zasadzie „miejsca geometrycznego punktu” (jest to jedna z opcji programu CABRI 1).
Następnie uczący wspólnie z uczniami prowadzi następujące rozumowanie:
, gdzie oraz . Rachunek ten przekonuje, że obrazem wektora jest wektor równy danemu, a więc równoległy i tej samej długości, ponadto obrazem odcinka jest odcinek o tej samej długości.
W wyniku pracy powinna zostać wypracowana następująca charakterystyka translacji:
Jest to przekształcenie geometryczne, którego zbiorem wartości jest cała płaszczyzna.
Nie ma punktów stałych (w definicji zastrzegamy sobie wektor niezerowy), .
Translacja jest przekształceniem izometrycznym.
Obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.
Obrazem okręgu jest okrąg o tym samym promieniu.
Odcinki XX’ (przy wszelkich położeniach punktu X) są zawsze do siebie równoległe, tej samej długości.
Przekształceniem odwrotnym do translacji jest translacja o wektor przeciwny do danego.
Kolejny etap lekcji dotyczy translacji w układzie współrzędnych. Zadanie uczniów polega na znalezieniu związku pomiędzy współrzędnymi punktu , a współrzędnymi jego obrazu w translacji o niezerowy wektor . Uczniowie najpierw pracują samodzielnie, potem znów czwórkami. Na koniec jedna z grup relacjonuje swoje wyniki:
Zgodnie z definicją: , a więc: , czyli: .
Na zakończenie (w zależności od pozostałego do dyspozycji czasu) uczniowie wykonują ćwiczenia ze zbioru zadań: strony 190‑192.
5. Bibliografia
Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.
Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.
Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, wydawnictwo VULCAN, Wrocław 1994.
Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.
Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.
6. Załączniki
a) Zadanie domowe
Wykorzystać metodę analityczną do sprawdzenia liczby punktów stałych w translacji.
Kilka ćwiczeń ze zbioru zadań, strony 190‑192.
7. Czas trwania lekcji
2 godziny lekcyjne
8. Uwagi do scenariusza
brak