Twierdzenie Pitagorasa

Analizując treści zawarte w tym materiale, poznasz twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i niektóre zastosowania tych twierdzeń.

Pitagorasa1

Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

a^{2} + b^{2} = c^{2}

R10iVG4Q6A3mY1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej c. Między bokami o długościach a i b zaznaczono kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

RtaeD0oNcIXUL1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przykład 1

Sprawdź, czy trójkąt o bokach $9$ , $12$ i $15$ jest trójkątem prostokątnym.
Jeżeli trójkąt będzie prostokątny, to przeciwprostokątną będzie najdłuższy z boków. Obliczmy kwadraty długości boków.
$9^{2} = 81$ , $12^{2} = 144$ , $15^{2} = 225$ i zauważmy, że

9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 = 15^{2}

Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

Związki miarowe wynikające z twierdzenia Pitagorasa

R1Et7CR5Ib4qe1

Rysunek kwadratu o boku długości a, którego przekątna ma długość a pierwiastek z dwóch. Przekątna podzieliła kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach ostrych równych 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna w kwadracie o boku $a$ ma długość

\sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = a \sqrt{2}

Zatem w trójkącie równoramiennym prostokątnym długości boków pozostają w zależności.

R1OfuRKfrdqIS1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a i przeciwprostokątnej a pierwiastek z dwóch. Kąty przy podstawie mają miarę 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozważmy teraz trójkąt równoboczny o boku $a$ . Jego wysokość liczymy w następujący sposób

h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ jest więc równe

P = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

RqWFE9ljsvKqh1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku długości a i wysokości równej a razy pierwiastek z trzech dzielone przez dwa. Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach 30 stopni,, 60 stopni, 90 stopni, którego przyprostokątne mają długość a dzielone przez dwa i a razy pierwiastek z trzech dzielone przez dwa, przeciwprostokątna ma długość a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ najkrótszy z boków trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary $30 °$ i $60 °$ . Wtedy długości boków tego trójkąta są równe $x$ , $2 x$ , $x \sqrt{3}$ . O takim trójkącie mówi się czasami, że jest to „trójkąt piękny”.

RI5r4zXxGa08J1

Rysunek trójkąta prostokątnego o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. Przyprostokątna długości x leży naprzeciw kąta 30 stopni. Przyprostokątna długości x pierwiastek z trzech leży naprzeciw kąta 60 stopni. Przeciwprostokątna ma długość równą 2x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.