Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa Jednym z ważniejszych twierdzeń w matematyce jest twierdzenie zwane dzisiaj twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie to prawdopodobnie znali już starożytni Egipcjanie, Chińczycy i Hindusi. Starożytni Grecy jego odkrycie i dowód przypisywali greckiemu matematykowi Pitagorasowi .
Ciekawostka
Pitagoras to grecki filozof i matematyk, urodzony około r. p.n.e. Założył szkołę filozoficzną, która przekształciła się w związek pitagorejski. Pitagoras i jego uczniowie zajmowali się wieloma dziedzinami wiedzy. Dokonali też wielu odkryć matematycznych, np. udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu. Jako pierwsi wyodrębnili liczby parzyste i nieparzyste, odkryli liczby niewymierne, wprowadzili pojęcie podobieństwa figur. Sformułowali zasady budowy wielościanów foremnych.
Przykład 1
REH7Y5VzfEg6Z1
Na podstawie wykonanego ćwiczenia możemy stwierdzić, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Odkryta przez nas własność nosi nazwę twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie to można sformułować też inaczej, wykorzystując zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie: Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli i są długościami przyprostokątnych, zaś długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, to zachodzi związek
RC5nyXiDt9Yl51
O dowodach twierdzenia Pitagorasa Znanych jest wiele dowodów twierdzenia Pitagorasa, zarówno geometrycznych, jak i algebraicznych. Oryginalne dowody tego twierdzenia podało wiele znanych postaci historycznych, niezwiązanych bezpośrednio z matematyką, np. jeden z prezydentów Stanów Zjednoczonych, Leonardo da Vinci, francuski pisarz Ernest Renan.
A
Ćwiczenie 1
Przekształć kwadraty zbudowane na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego w równoległoboki. Zauważ, że pola tych równoległoboków są takie same jak pola kwadratów, z których powstały. Otrzymane równoległoboki przekształć w prostokąty. Przesuń prostokąty, tak aby pokryły w całości kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Sformułuj wniosek.
REWvtDjVTeAqA1
ioVHB3V81J_d5e212
A
Ćwiczenie 2
Sprawdź, że dla trójkąta ostrokątnego teza twierdzenia Pitagorasa nie zachodzi. Elementy kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta ostrokątnego nie mieszczą się w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku.
RKD1BIosu5YB41
Można udowodnić, że suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Dla trójkątów ostrokątnych oraz trójkątów rozwartokątnych równość ta nie zachodzi.
RUbnLZOKCHucj1
Przykład 2
Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano prostokąty. Zmieniaj wielkość tych prostokątów. Porównuj w każdym przypadku sumę pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych z polem prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Co zauważasz? W przypadku odpowiednich prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego również spełniony jest związek wynikający z twierdzenia Pitagorasa. Okazuje się, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy dowolne wielokąty podobne (czyli takie, że jeden z nich jest obrazem drugiego w pewnej skali), to suma tych pól, które są zbudowane na przyprostokątnych, jest równa polu tego wielokąta, który jest zbudowany na przeciwprostokątnej.
RDHY8V73hTNlX1
A
Ćwiczenie 3
Zmieniaj odpowiednio kształt i wielkość wielokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Sprawdź, że dla pól tych wielokątów spełniony jest związek między polami wielokątów, wynikający z twierdzenia Pitagorasa.