Układ dwóch równań liniowych - zadania

Wykresy dwóch funkcji będą przecinały się w punkcie $\left(1, 3\right)$ tylko wtedy, kiedy obie funkcje dla argumentu $1$ będą przyjmowały wartość $3$.

Wykorzystaj fakt, że punkt leżący na osi $X$ ma zawsze drugą współrzędną równą $0$. Wyznacz ze wzoru pierwszej funkcji argument, dla którego przyjmuje ona wartość $0$. W ten sposób otrzymasz współrzędne punktu w którym przecinają się wszystkie funkcje. Wykorzystaj otrzymany punkt do wyznaczenia wzoru drugiej i trzeciej funkcji, a następnie wyciągnij z tych wzorów odpowiednie wnioski.

1. Układ $\left\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -2x+4y=4\end{array}\right.$ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku d).

2. Rozwiązaniem układu $\left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 3x-y=2\end{array}\right.$ jest para $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$. Układ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\ y=3x-2\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku a).

3. Rozwiązaniem układu $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x-y=2\end{array}\right.$ jest para $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$. Układ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=2x-2\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku b).

4. Rozwiązaniem układu $\left\{\begin{array}{l}y+x=1\\ y-2x=4\end{array}\right.$ jest para $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$. Układ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=2x+4\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku c).

Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy, kiedy wykresy funkcji z układu przecinają się w jednym punkcie, ma nieskończenie wiele rozwiązań, kiedy wykresy funkcji z układu się pokrywają, nie ma rozwiązań, kiedy wykresy funkcji z układu nie mają punktów wspólnych.

W obu równaniach układu wyznaczamy $y$

Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach $y=-ax+5$ i $y=3x-\frac{1}{2}c$ są równoległe i różne. A zatem $-a=3$ i $5\ne -\frac{1}{2}c$, skąd $a=-3$ i $c\ne -10.$

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania.

Otrzymana para $\left(x,y\right)$ spełnia warunek $x>0$ i $y>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}>0$ i $-\frac{1}{3}m+\frac{1}{3}>0$. Wynika stąd, że $m>-\frac{1}{2}$ i $m<1$, a zatem $-\frac{1}{2}<m<1$.

Rozwiąż wszystkie układy równań, a następnie porównaj otrzymane wyniki z wykresami funkcji.

Wykorzystaj fakt, że zarówno pierwsza jak i druga funkcja w układzie równań musi dla argumentu $1$ przyjmować wartość $1$.

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań tylko wtedy, kiedy obie funkcje z układu mają pokrywające się wykresy.

• $f\left(x\right)=-4x$, $g\left(x\right)=x+10$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x,$ dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $-4x=x+10$ , które jest równoważne równaniu $-5x=10$. Stąd otrzymujemy, że $x=-2$. Zatem

czyli punkt $\left(-\mathrm{2,8}\right)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=2x-5$, $g\left(x\right)=x-6$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $2x-5=x-6$, które jest równoważne równaniu $x-5=-6$. Stąd otrzymujemy, że $x=-1$. Zatem

czyli punkt $\left(-1,-7\right)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=-x+4$, $g\left(x\right)=3x-8$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $–x+4=3x-8$, które jest równoważne równaniu $-4x=-12$. Stąd otrzymujemy, że $x=3$. Zatem

czyli punkt $\left(3,1\right)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$, $g\left(x\right)=\frac{3}{8}x-\frac{5}{8}$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=\frac{3}{8}x-\frac{5}{8}$, które jest równoważne równaniu $-\frac{x}{24}=\frac{1}{24}$. Stąd otrzymujemy, że $x=-1$. Zatem

czyli punkt $\left(-1,-1\right)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• Para liczb $x=-2$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań:

Z pierwszego równania natychmiast wynika, że $x=-2$, a po wstawieniu do drugiego równania otrzymanej wartości $x$ otrzymujemy

czyli $y=3$. Para liczb $x=-2$ i $y=3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu równań.

Interpretacja geometryczna: z pierwszego równania wyznaczamy $x$, a z drugiego $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $x=-2$, a następnie prostą $y=-\frac{1}{2}x+2$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $\left(-2,3\right)$.

R1WgvhHPuhtnf1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch prostych. Pierwszy wykres to wykres funkcji $y=-\frac{1}{2}x+2$, który przechodzi przez takie punkty jak $\left(-2, 3\right)$ oraz $\left(0, 2\right)$. Drugi wykres to wykres funkcji $x=-2$, który przechodzi przez punkty $\left(-2, 3\right)$ i  $\left(-2, 0\right)$. Obydwie proste przecinają się w jednym punkcie $(-2, 3)$.

• Para liczb $x=3$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań.

Z drugiego równania wynika, że $y=3$, a po wstawieniu do pierwszego równania otrzymanej wartości $y$ otrzymujemy

czyli $x=3$. Para liczb $x=3$ i $y=3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $y=2x-3$, a następnie prostą $y=3$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $\left(3,3\right)$.

R1GJSwEpsupAm1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch prostych. Pierwszy wykres to wykres funkcji $y=2x-3$, który przechodzi przez takie punkty jak $\left(0,-3\right)$ oraz $\left(3, 3\right)$. Drugi wykres to wykres funkcji $y=3$, który przechodzi przez punkty $\left(-2, 3\right)$ i  $\left(3, 3\right)$. Obydwie proste przecinają się w jednym punkcie $\left(3, 3\right)$.

• Para liczb $x=2$ i $y=-5$ jest rozwiązaniem układu równań

ponieważ dla $x=2$ i $y=-5$ otrzymujemy

oraz 

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając $y$ z każdego równania układu równań

Proste o równaniach $y=-x-3$ i  $y=-2x-1$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie. Jest to punkt o współrzędnych $\left(2,-5\right)$.

RSvq0cnBIZJTU1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch prostych. Pierwszy wykres to wykres funkcji $y=-2x-1$, który przechodzi przez takie punkty jak $\left(0,-1\right)$ oraz $\left(2,-5\right)$. Drugi wykres to wykres funkcji $y=-x-3$, który przechodzi przez punkty $\left(0,-3\right)$ i  $\left(2,-5\right)$. Obydwie proste przecinają się w jednym punkcie $\left(2,-5\right)$.

• Para liczb $x=0$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań

ponieważ dla $x=0$ i $y=3$ otrzymujemy

oraz

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając $y$ z każdego równania układu

Proste o równaniach $y=-2x+3$ i  $y=\frac{2}{3}x+3$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie. Jest to punkt o współrzędnych $\left(0,3\right)$.

R146GJ22zvLgt1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch prostych. Pierwszy wykres to wykres funkcji $y=\frac{2}{3}x+3$, który przechodzi przez takie punkty jak $\left(-3, 1\right)$ oraz $\left(0, 3\right)$. Drugi wykres to wykres funkcji $y=-2x+3$, który przechodzi przez punkty $\left(0, 3\right)$ i  $\left(2,-1\right)$. Obydwie proste przecinają się w jednym punkcie $\left(0, 3\right)$.