Układ dwóch równań liniowych

Rysunek przedstawia wykresy funkcji $f\left(x\right)=3x-1$ i $g\left(x\right)=x+1$.
Z rysunku odczytamy, że wykresy funkcji przecinają się w punkcie $\left(1,2\right)$.

R1A1VFC974lKR1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie współrzędnych zaznaczono dwie funkcje. Kolorem niebieskim zaznaczono funkcję liniową daną wzorem $f\left(x\right)=3x-1$, a kolorem zielonym zaznaczono funkcję daną wzorem $g\left(x\right)=x+1$. Wykresy obu funkcji przecinają się w punkcie (1, 2).

Obliczając wartość każdej z funkcji dla argumentu $1$, stwierdzamy, że

a także

Wykresy funkcji $f$ i $g$ nie są prostymi równoległymi. Punkt $\left(1,2\right)$ jest ich jedynym punktem wspólnym.

Nie zawsze jednak można z rysunku dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji liniowych.

Jest to trudne np. w przypadku wykresów funkcji $f\left(x\right)=4x-9$ i $g\left(x\right)=-3x+2$.

RTUmnYA9lcZlB1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie współrzędnych zaznaczono dwie funkcje. Kolorem niebieskim zaznaczono funkcję liniową daną wzorem $f\left(x\right)=4x-9$, a kolorem zielonym zaznaczono funkcję daną wzorem $g\left(x\right)=-3x+2$. Wykresy obu funkcji przecinają się w punkcie $\left(\frac{11}{7}, \frac{-19}{7}\right)$.

Rozwiążemy układ równań

• $\mathrm{I}$ sposób

Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą $x$

Następnie wykorzystujemy otrzymany związek w pierwszym równaniu, skąd otrzymujemy

Wobec tego

Rozwiązaniem danego układu jest więc para liczb $x=-1$ oraz $y=2$.

• $\mathrm{II}$ sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Wyznaczymy $y$ z każdego równania układu

Proste o równaniach $y=2x+4$ i $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie.

Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

Rytn0J9OxM8Xz1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie współrzędnych zaznaczono dwie proste. Kolorem niebieskim zaznaczono prostą daną wzorem $2x-y=-4$, a kolorem zielonym zaznaczono prostą daną wzorem $x+2y=3$. Obie proste przecinają się w punkcie (-1, 2).

Odczytujemy z rysunku, że te proste przecinają się w punkcie $\left(-1,2\right)$.
Wobec tego układ równań

ma jedno rozwiązanie, parę liczb $x=-1$ oraz $y=2$.

Rozwiążemy układ równań

• $\mathrm{I}$ sposób

Z drugiego równania natychmiast wynika, że $x=-2$. Po wstawieniu otrzymanej wartości $x$ do pierwszego równania otrzymujemy $y=-8+5$, skąd $y=-3$.
Para $x=-2$ i $y=-3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

• $\mathrm{II}$ sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$, ale w drugim równaniu ta niewiadoma nie występuje.

Zapisujemy więc drugie równanie w postaci $x=-2$

Zauważmy, że równanie $x=-2$ opisuje zbiór wszystkich takich punktów, których pierwsza współrzędna jest równa $-2$.

Jest to więc równanie prostej równoległej do osi $Y$, przecinającej oś $X$ w punkcie $\left(0,-2\right)$.

Rysunek przedstawia proste o równaniach $y=4x+5$ i $x=-2$ w układzie współrzędnych.

R1avLMDEtrRP31

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie współrzędnych zaznaczono dwie proste. Kolorem niebieskim zaznaczono pionową prostą daną wzorem $3x=-6$, a kolorem zielonym zaznaczono prostą daną wzorem $4x-y=-5$. Obie proste przecinają się w punkcie (-2,-3).

Odczytujemy z niego, że te proste przecinają się w punkcie $\left(-2,-3\right)$.

Oznacza to, że układ równań

ma jedno rozwiązanie, parę liczb $x=-2$ oraz $y=-3$.

Para $x=1$ i  $y=-1$ jest rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}4x-6y=10\\ -6x+9y=-15\end{array}\right.$ ,
ponieważ dla $x=1$ i $y=-1$ jest

oraz

Nie jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając $y$ z każdego z równań układu

Oba równania opisują tę samą prostą, a zatem układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jest nim każda para liczb rzeczywistych $x$ i $y$, która spełnia równanie $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.

Rysunek przedstawia prostą o równaniu $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.

R8htwBTVHCGXJ1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie zaznaczono prostą y = dwie trzecie x – pięć trzecich przechodzącą przez punkty o współrzędnych (-2, -3), (1,-1), (4, 1), (7, 3).

Pokażemy, że układ

nie ma rozwiązań.

Wyznaczamy $y$ z każdego z równań układu

Proste o równaniach $y=-\frac{2}{5}x+2$ i $y=-\frac{2}{5}x+4$ są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.

Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

Rs2YYiLNBm5Nm1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do dwunastu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie zaznaczono wykresy dwóch prostych równoległych. Na zielono zaznaczono prostą daną wzorem 14x +35y =140, a na niebiesko zaznaczono prostą daną wzorem 6x +15y =30.