Układanie i rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą

Układanie i rozwiązywanie równań, nierówności, wykonywanie działań na wyrażeniach algebraicznych to główne elementy dziedziny matematyki zwanej algebrą.
Algebra powstała w starożytności, obok arytmetyki i geometrii. Podstawowe jej pojęcia zostały wykształcone przez starożytnych Greków i Sumerów.
W odróżnieniu od arytmetyki – nauki o liczbach i działaniach wykonywanych na liczbach, algebra zajmuje się obiektami bardziej abstrakcyjnymi niż liczby.

R19v6tTcZLVi01
Mapa myśli. Lista elementów:
  • Nazwa kategorii: ALGEBRA
      • Elementy należące do kategorii ALGEBRA
    • Nazwa kategorii: WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
        • Elementy należące do kategorii WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
      • Nazwa kategorii: Porządkowanie jednomianów
          • Elementy należące do kategorii Porządkowanie jednomianów
        • Nazwa kategorii: Uporządkujemy jednomian (-2) indeks górny 3 koniec indeksu górnego ·x·x indeks górny 2 koniec indeksu górnego ·(-2)·x·y indeks górny 2 koniec indeksu górnego . (-2) indeks górny 3 koniec indeksu górnego ·x·x indeks górny 2 koniec indeksu górnego ·(-2)·x·y indeks górny 2 koniec indeksu górnego =16x indeks górny 4 koniec indeksu górnego y indeks górny 2 koniec indeksu górnego
          • Koniec elementów należących do kategorii Porządkowanie jednomianów
      • Nazwa kategorii: Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
          • Elementy należące do kategorii Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
        • Nazwa kategorii: Wykonamy redukcję wyrazów podobnych. -3xy+2y-x-4xy+5x=-7xy+4x+2y
          • Koniec elementów należących do kategorii Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
      • Nazwa kategorii: Zapisywanie zależności przedstawionych w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych
          • Elementy należące do kategorii Zapisywanie zależności przedstawionych w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych
        • Nazwa kategorii: Zapiszemy liczbę dwucyfrową, której cyfrą jedności jest y, a cyfrą dziesiątek jest x. Szukana liczba, to 10x+y.
          • Koniec elementów należących do kategorii Zapisywanie zależności przedstawionych w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych
        Koniec elementów należących do kategorii WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
    • Nazwa kategorii: RÓWNANIA
        • Elementy należące do kategorii RÓWNANIA
      • Nazwa kategorii: Sprawdzenie, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.
          • Elementy należące do kategorii Sprawdzenie, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.
        • Nazwa kategorii: Sprawdzimy, czy liczba (-5) spełnia równanie 2x+1=x-4 2(-5)+1=-5-4 -10+1=-9 -9=-9 Zatem liczba (-5) spełnia równanie.
          • Koniec elementów należących do kategorii Sprawdzenie, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.
      • Nazwa kategorii: Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych.
          • Elementy należące do kategorii Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych.
        • Nazwa kategorii: Rozwiążemy równanie 2x+1=x-4 2x-x=-4-1 x=-5 Rozwiązaniem równania jest x=-5.
          • Koniec elementów należących do kategorii Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych.
      • Nazwa kategorii: Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równania.
          • Elementy należące do kategorii Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równania.
        • Nazwa kategorii: Za dwa zeszyty i trzy długopisy Kuba zapłacił 21 zł. Ile kosztował długopis, jeżeli wiadomo, że zeszyt jest dwa razy droższy od długopisu. Niech: x - cena długopisu, 2x - cena zeszytu. 2·2x+3x=21 4x+3x=21 7x=21 x=3 Długopis kosztuje 3 zł.
          • Koniec elementów należących do kategorii Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równania.
      • Nazwa kategorii: Przekształcanie wzorów
          • Elementy należące do kategorii Przekształcanie wzorów
        • Nazwa kategorii: Ze wzoru 4(v+3)=3v+k wyznaczymy v. 4v+12=3v+k 4v-3v=k-12 v=k-12
          • Koniec elementów należących do kategorii Przekształcanie wzorów
        Koniec elementów należących do kategorii RÓWNANIA
      Koniec elementów należących do kategorii ALGEBRA
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż poniższy test, aby przypomnieć i powtórzyć sobie kiedy wykorzystujemy wyrażenia algebraiczne oraz jak używamy równań w rozwiązywaniu zadań.

Wyrażenia algebraiczne121880Brawo! To jest poprawne rozwiązanie!Niestety, to nie jest prawidłowe rozwiązanie. Zastanów się i odpowiedz jeszcze raz.
Test

Wyrażenia algebraiczne

Liczba pytań:
12
Limit czasu:
18 min
Twój ostatni wynik:
-
1
Ćwiczenie 1
R1dpmYuL8JUud1
Przeciągnij i upuść poprawne wyrażenie we właściwe miejsce. Zeszyt kosztuje x złotych, a długopis y złotych. Ile złotych trzeba zapłacić za:
a) zeszyt i długopis 1. x+y, 2. xy, 3. 5x+3y, 4. 8(x+y)
b) 5 zeszytów i 3 długopisy 1. x+y, 2. xy, 3. 5x+3y, 4. 8(x+y)

Przeciągnij i upuść.

xy, 5x+3y, 8(x+y), x+y

Zeszyt kosztuje x złotych, a długopis y złotych. Ile złotych trzeba zapłacić za:
a) zeszyt i długopis ............
b) 5 zeszytów i 3 długopisy ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoYGe1rmWFwxE1
Ćwiczenie 2
W trapezie prostokątnym górna podstawa ma długość a i jest o 4 krótsza od dolnej. Wysokość trapezu wynosi h i jest o 2 krótsza od ramienia. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz prawidłową odpowiedz. Możliwe odpowiedzi: 1. Obwód trapezu to 2a+2h+6, 2. Pole trapezu to h·a+4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3
RySwtYCEsVEgv
Na rysunku widać dwie figury: równoległobok i trójkąt prostokątny. Równoległobok ma podstawę długości 8 i wysokość opuszczoną na tę podstawę długości iks. Pole tego równoległoboku wynosi 120 cm2. Trójkąt ma przeciwprostokątną długości 10 oraz przyprostokątne długości 6 i iks. Obwód tego trójkąta wynosi 24 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R20RvQ3Ft1oYs
Na podstawie powyższych rysunków przeciągnij i upuść równanie pozwalające obliczyć, ile wynosi x a) w równoległoboku 1. x+16=24, 2. 8x=120, 3. 6x2=24, 4. x=120·8
b) w trójkącie 1. x+16=24, 2. 8x=120, 3. 6x2=24, 4. x=120·8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKKna6b1oVIRf1
Ćwiczenie 4
Jeden bok prostokąta jest o 6 dłuższy od drugiego. Pole tego prostokąta jest równe 30. Przyjmij, że x oznacza długość krótszego boku prostokąta.
 Zaznacz prawidłowe równania. Możliwe odpowiedzi: 1. xx+6=30, 2. x+6x=30, 3. x-6x=30, 4. xx-30=6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19QwUOmWGLwL2
Ćwiczenie 5
Rozwiąż równanie 4x+7=15.
Wpisz w wyznaczone miejsce odpowiednią liczbę. Rozwiązaniem równania jest Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1xO6D8VRZ8zC2
Ćwiczenie 6
Która z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania 2x-10=-4?
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 3, 2. 6, 3. -7, 4. -3

  • 3
  • 6
  • -7
  • -3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlEGaPZDsWEJU2
Ćwiczenie 7
Rozwiąż równanie 0,25x+19=44.
Wpisz w wyznaczone miejsce odpowiednią liczbę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3mkumQKE6Lgz2
Ćwiczenie 8
Jaką liczbą jest liczba x w równaniu 714-x=21112?
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. liczbą naturalną, 2. o 79 większą od liczby 359, 3. równą 1016, 4. o 49 mniejszą od liczby 619

  • liczbą naturalną
  • o 79 większą od liczby 359
  • równą 1016
  • o 49 mniejszą od liczby 619
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8CR8wIXxKYFr2
Ćwiczenie 9
Za 15 jednakowych książek i jeden notatnik zapłacono 432 zł. Notatnik kosztował 12 zł. Ile kosztowała książka? Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz prawidłową Możliwe odpowiedzi: 1. Zadanie można rozwiązać za pomocą równania 15x-12=432., 2. Książka kosztowała 28 zł.

  • Zadanie można rozwiązać za pomocą równania 15x – 12 = 432.
  • Książka kosztowała 28 zł.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MPdGhTxQ8Ad2
Ćwiczenie 10
Długość prostokąta jest równa 18 cm, a jego obwód wynosi 60 cm.
Zaznacz prawidłową odpowiedż.
Szerokość tego prostokąta wynosi: Możliwe odpowiedzi: 1. 12 cm, 2. 21 cm, 3. 24 cm, 4. 42 cm

  • 12 cm
  • 21 cm
  • 24 cm
  • 42 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
R2ZNlZzaM8XVN
Mama kupiła pewną liczbę mandarynek. Podzieliła je w następujący sposób: 8 dała mężowi, a 23 pozostałych mandarynek córce. Mamie zostało wówczas 5 mandarynek. Ile mandarynek kupiła mama?
Rozwiąż to zadanie oznaczając przez x łączną liczbę mandarynek mamy i córki.
Wstaw w puste pole prawidłowy wynik. Mama kupiła Tu uzupełnij mandarynki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16Jirh5KQiyP2
Ćwiczenie 12
Liczbę przekątnych wielokąta o n wierzchołkah można obliczyć ze wzoru L=n(n-3)2. Czy liczba przekątnych dziesięciokąta wynosi 35?
Wybierz z listy poprawną odpowiedź oraz jej uzasadnienie i wstaw w puste pole. 1. Nie, 2. dla n=20 L=35, 3. Tak, 4. dla n=10 L=35 ponieważ 1. Nie, 2. dla n=20 L=35, 3. Tak, 4. dla n=10 L=35

Liczbę przekątnych wielokąta o n wierzchołkach można obliczyć ze wzoru L=n(n-3)2. Czy liczba przekątnych dziesięciokąta wynosi 35 ?
Wybierz z listy poprawną odpowiedź oraz jej uzasadnienie.

Tak, dla n=20 L=35, dla n=10 L=35, Nie

.......................... ponieważ ..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1de9mqlR2MZ32
Ćwiczenie 13
Wzór C=5·F-32°:9 stosuje się do obliczania temperatury w stopniach Celsjusza, gdy dana jest temperatura w stopniach Fahrenheita. Oblicz, jakiej temperaturze w stopniach Celsjusza odpowiada 59° Fahrenheita. 59° Fahrenheita odpowiada Tu uzupełnij° Celsjusza.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1CDqe6CCjkbf2
Ćwiczenie 14
Które równanie spełnia liczba -4?
Zaznacz poprawne puste pole. Możliwe odpowiedzi: 1. 5x+112=18,5, 2. 3-2x=-5, 3. 3x-1=-15, 4. 3x-7=x+23

  • 5x+112=18,5
  • 3-2x=-5
  • 3x-1=-15
  • 3x-7=x+23
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWtUgkokwblfg3
Ćwiczenie 15
Obwód trójkąta wynosi 40 cm. Jeden z boków jest o 3 cm krótszy od drugiego i o 2 cm dłuższy od trzeciego. Oblicz długość tego trójkąta.
Wpisz odpowiednio liczby w kolejności rosnącej. Długość boków tego trójkąt wynosi odpowiednio: Tu uzupełnij cm, Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1B1NK7phumXX3
Ćwiczenie 16
Połącz w pary równanie z rozwiązaniem równania. 134+5x=314 Możliwe odpowiedzi: 1. 19,5, 2. -1, 3. 0,3 29x-189=249 Możliwe odpowiedzi: 1. 19,5, 2. -1, 3. 0,3 12x+4=112 Możliwe odpowiedzi: 1. 19,5, 2. -1, 3. 0,3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSTK2846QVdnL3
Ćwiczenie 17
Różnica dwóch liczb wynosi 22,4. Jednoa jest pięć razy mniejsza od drugiej. Jakie to liczby.
Przeciągnij i upuść poprawną liczbę we właściwe miejsce. Są to liczby 1. 535, 2. 413, 3. 28, 4. 24 i 1. 535, 2. 413, 3. 28, 4. 24.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jako podsumowanie materiału rozwiąż test zawierający zadania typu egzaminacyjnego z wyrażeń algebraicznych i równań.

Wyrażenia algebraiczne121880Brawo! To jest poprawne rozwiązanie!Niestety, to nie jest prawidłowe rozwiązanie. Zastanów się i odpowiedz jeszcze raz.
Test

Wyrażenia algebraiczne

Liczba pytań:
12
Limit czasu:
18 min
Twój ostatni wynik:
-