Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Zacznij od wyznaczenia współrzędnych wierzchołka i sprawdź, czy znajduje się on wewnątrz badanego przedziału. Wykorzystaj fakt, że wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny.

Wartość największa $4$ dla $x=1$,
wartość najmniejsza $\left(-\frac{49}{8}\right)$ dla $x=-\frac{5}{4}$.

Zacznij od wyznaczenia wzoru tej funkcji i sprawdź, czy jest to funkcja kwadratowa. Do wyznaczenia wartości najmniejszej i największej na podanym przedziale wykorzystaj wiedzę z poprzednich ćwiczeń.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=x^2+x$ dla $x\in ⟨-2,3⟩$.

1. wartość największa $12$ dla $x=3$,

2. wartość najmniejsza $\left(-\frac{1}{4}\right)$ dla $x=-\frac{1}{2}$.

Oznaczmy pierwszą z tych liczb przez $x$, a drugą przez $y$.

Wiadomo, że $x+2y=5$, skąd $x=5-2y$.

Sumę $S=x^2+y^2$ kwadratów tych dwóch liczb zapisujemy w zależności od zmiennej $y$: $S\left(y\right)={\left(5-2y\right)}^2+y^2$.

Funkcja $S$ zapisana w postaci kanonicznej ma wzór: $S\left(y\right)=5{\left(y-2\right)}^2+5$.

Najmniejsza wartość funkcji $S$ jest równa $5$ i jest przyjmowana dla $y=2$.

Oznacza to, że gdy $y=2$ i $x=1$, to suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza i równa $5$.

Oznaczmy pierwszą z tych liczb przez $x$, a drugą przez $y$.

Wiadomo, że $2x+7y=56$, skąd $x=\frac{56-7y}{2}$.

Iloczyn $I=xy$ tych dwóch liczb zapisujemy w zależności od zmiennej $y$: $I\left(y\right)=\frac{56-7y}{2}·y=-\frac{7}{2}·y·\left(y-8\right)$.

Największa wartość funkcji $I$ jest przyjmowana dla $y=4$ i jest równa $I\left(4\right)=-\frac{7}{2}·4·\left(-4\right)=56$.

Oznacza to, że gdy $y=4$ i $x=14$, to iloczyn tych liczb jest największy i równa $56$.

Oznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez $x$, długość krawędzi bocznej przez $y$.

Suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa $12$, więc $8x+4y=12$, skąd $y=3-2x$.

Pole $P=2x^2+4xy$ powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisujemy w zależności od zmiennej $x$

gdzie $x\in \left(0,\frac{3}{2}\right)$.

Największa wartość funkcji $P$ jest przyjmowana dla $x=1$ i jest równa $P\left(1\right)=6$.

Zatem największe pole powierzchni całkowitej ma ten prostopadłościan, którego krawędź podstawy ma długość $1$ (ten prostopadłościan jest wtedy sześcianem, którego pole powierzchni całkowitej jest równe $6$).

Oznaczmy:
przez $x$ – długość boku działki, do którego przylega ścieżka,
przez $y$ – długość drugiego boku.

Obwód ogrodzonej działki ma być równy $98 \mathrm{m}$, czyli $2x+2y=98$, skąd $y=49-x$.

Pole $P=\left(y-1\right)·x$ pole powierzchni klombu zapisujemy w zależności od zmiennej $x$.

$P\left(x\right)=\left(48-x\right)·x$, gdzie $x\in \left(0,48\right)$.

$P\left(x\right)$ przyjmuje wartość największą dla $x=24$ i wynosi $576$.

Oznacza to, że największe możliwe pole powierzchni klombu kwiatowego jest równe $576 {\mathrm{m}}^2$, gdy cała działka będzie miała wymiary: $24 \mathrm{m}$ i $25 \mathrm{m}$, przy czym ścieżka przylega do krótszego boku.

Przyjmijmy, że cenę bochenka chleba obniżano $x$ razy o $5$ groszy. Wtedy cena sprzedaży jednego bochenka to $\left(2-0,05x\right) \mathrm{zł}$, co oznacza, że zysk właściciela sklepu to $\left(0,7-0,05x\right) \mathrm{zł}$.

Z obserwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie dziennie zostanie sprzedanych $\left(60+10x\right)$ bochenków chleba.

Zatem dzienny zysk, w złotych, właściciela sklepu jest równy $\left(0,7-0,05x\right)\left(10x+60\right)$, gdzie $x$ jest dodatnią liczbą całkowitą.

Rozpatrzmy funkcję $f$ określoną wzorem $f\left(x\right)=\left(0,7-0,05x\right)\left(10x+60\right)=-\frac{1}{2}\left(x+6\right)\left(x-14\right)$.

Dla $x=4$ funkcja $f$ osiąga wartość największą, równą $f\left(4\right)=50$.

Dla tej wartości $x$ spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy dzienny zysk równy $50 \mathrm{zł}$, kiedy ustali, że cena sprzedaży jednego bochenka chleba będzie równa $1 \mathrm{zł} 80 \mathrm{gr}$.

Wyznacz zmienną $b$ przy pomocy zmiennej $a$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $a$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $a+b=10$ wyznaczamy $b=10-a$.

Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$:

gdzie $a\in \left(0,10\right)$.

Dla $a=5$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $25$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $a+b=10$, to $ab\le 25$.

Wyznacz zmienną $b$ przy pomocy zmiennej $a$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $a$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $2a+b=6$ wyznaczamy $b=6-2a$.

Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

gdzie $a\in \left(0,3\right)$.

Dla $a=\frac{3}{2}$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $\frac{9}{2}$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $2a+b=6$, to $ab\le \frac{9}{2}$.

Wyznacz zmienną $b$ przy pomocy zmiennej $a$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $a$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $3a+5b=30$ wyznaczamy $b=\frac{30-3a}{5}$.

Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

gdzie $a\in \left(0,10\right)$.

Dla $a=5$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $15$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $3a+5b=30$, to $ab\le 15$.

Wyznacz zmienną $b$ przy pomocy zmiennej $a$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $a$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $a+b=8$ wyznaczamy $b=8-a$.

Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

gdzie $a\in \left(0,8\right)$.

Dla $a=4$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $32$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $a+b=8$, to $a^2+b^2\ge 32$.

Wyznacz zmienną $a$ przy pomocy zmiennej $b$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $b$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $a+3b=20$ wyznaczamy $a=20-3b$.

Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $b$:

gdzie $b\in \left(0,6\frac{2}{3}\right)$.

Dla $b=6$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $40$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $a+3b=20$, to $a^2+b^2\ge 40$.

Wyznacz zmienną $a$ przy pomocy zmiennej $b$, a następnie ułóż funkcję zmiennej $b$ określającą wartość iloczynu liczb $a$ i $b$. W kolejnym kroku zbadaj, jakie wartości może osiągać ta funkcja.

Z zależności $5a+2b=58$ wyznaczamy $a=\frac{58-2b}{5}$.

Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $b$:

gdzie $b\in \left(0,29\right)$.

Dla $b=4$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $116$.

Oznacza to, że jeśli $a>0$ i $b>0$ oraz $5a+2b=58$, to $a^2+b^2\ge 116$.