Wielkości odwrotnie proporcjonalne
Materiał zawiera przykłady zastosowania wielkości odwrotnie proporcjonalnych w kontekstach realistycznych. Wykorzystasz zdobytą wiedzę, rozwiązując zawarte w lekcji ćwiczenia.
Zapoznaj się z poniższą animacją, która dotyczy przykładowego wykorzystania wielkości odwrotnie proporcjonalnych w życiu codziennym.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R12QalaRISoEY
Animacja przedstawia sytuację, w której możemy zaobserwować działanie proporcjonalności odwrotnej.
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich pewną ilość razy, druga maleje tyle samo razy.
Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości dodatnich i odwrotnie proporcjonalnych jest stały.
Wstążkę podzielono na części po każda. Gdyby podzielono tę wstążkę na jednakowych części, to jaka by była długość jednej części?
Obliczymy najpierw długość całej wstążki. Jeżeli po pierwszym podziale uzyskano części po , to długość całej wstążki wynosi:
Dzieląc tę wstążkę na jednakowych, części otrzymamy części o długości
Liczba jednakowych części, na które podzielimy wstążkę i długość jednej części są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Długość całej wstążki, bez względu na to, na ile części chcemy ją podzielić, jest zawsze taka sama, równa iloczynowi liczby jednakowych części, na które ją dzielimy i długości jednej z nich. Zatem możemy ułożyć i rozwiązać równanie, w którym niewiadoma oznaczać będzie długość jednej części przy podziale wstążki na jednakowych części.
Przy podziale tej wstążki na jednakowych części każda z nich będzie miała długość .
Mama rozlała przygotowany sok do jednakowych słoików o pojemności . Gdyby pojemność słoika była o większa mama potrzebowałaby o słoików mniej. Obliczymy, do ilu słoików mama rozlała sok oraz ile było soku.
Pojemność słoika oraz liczba słoików, do których możemy rozlać daną ilość soku, to wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Jeżeli jako niewiadomą oznaczymy liczbę słoików, do których mama rozlała sok, to korzystając z faktu, że iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały, otrzymamy równanie
Rozwiązując równanie, otrzymamy
Mama rozlała sok do słoików o pojemności każdy, rozlanego soku było więc
- krawędź sześcianu i jego objętość
- liczba szklanek, do których możemy rozlać mleka i pojemność jednej szklanki
- liczba zakupionych zeszytów i zapłacona za nie kwota przy stałej cenie za zeszyt
- ilość jednakowych części, na jakie podzielimy sera i masa każdej części
- długość dnia i długość nocy w ciągu doby, w różnych porach roku
- liczba osób wykonujących daną pracę i czas jej wykonania (zakładając, że wydajność pracy każdej z osób jest jednakowa)
odcinka drogi, 3. wiek człowieka i jego wzrost, 4. cena długopisu i liczba zakupionych długopisów, jeżeli kwota, jaką możemy na nie wydać jest stała, 5. bok trójkąta równobocznego i jego obwód, 6. długość i szerokość prostokąta o danym polu, 7. bok kwadratu i jego pole
- droga i czas potrzebny na jej pokonanie, jeżeli poruszamy się ze stałą prędkością
-
prędkość, z jaką porusza się samochód i czas potrzebny na pokonanie stałego
odcinka drogi - wiek człowieka i jego wzrost
- cena długopisu i liczba zakupionych długopisów, jeżeli kwota, jaką możemy na nie wydać jest stała
- bok trójkąta równobocznego i jego obwód
- długość i szerokość prostokąta o danym polu
- bok kwadratu i jego pole
- godzin
- godzin
- godzin
- godzin
Odpowiedź: Do rozlania soku potrzeba Tu uzupełnij słoików. Ile razy więcej słoików o pojemności potrzebuje babcia do rozlania soku?
Odpowiedź: Do rozlania soku potrzebuje Tu uzupełnij razy więcej takich słoików. W ilu słoikach o pojemności zmieści się sok, który pozostanie babci po podarowaniu soku sąsiadce?
Odpowiedź: Pozostały sok zmieści się w Tu uzupełnij takich słoikach.
Odpowiedź: Podróż z Paryża do Lyonu pociągiem pośpiesznym trwa 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. godzin.
Odpowiedź: Hania mogła kupić Tu uzupełnij lizaków, a kwota jaką otrzymała wynosi Tu uzupełnij .
Igor miał za zadanie narysować kilka prostokątów o tym samym polu. Jeden z prostokątów narysowanych przez Igora ma długość i szerokość Drugi z prostokątów ma długość zatem jego szerokość wynosi 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. .
Czterech chłopców sadziło krzewy w ogródku przez godziny. Gdyby chłopców było sześciu, to przyjmując, że wydajność pracy każdego z nich jest taka sama, zajęłoby im to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. minut, czyli 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. godziny
Bartek, jadąc motocyklem, pokonuje pewną trasę w ciągu godziny, jadąc z prędkością . Asia, jadąc rowerem z prędkością , potrzebuje na to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. godziny.
Szymon kupił tulipanów po . Marek za tę samą kwotę kupił żonkili po 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. .
Sprawdź, czy przedstawione w kolumnach tabeli pary liczb mogą być długościami i szerokościami prostokątów o tym samym polu. Jeżeli nie, to podaj, które z par spełniają ten warunek.
Pierwsza liczba | Druga liczba |
|---|---|
Zosia przeczytała lekturę w ciągu dni, czytając po stron dziennie.
Odpowiedź: Przepisywanie pracy będzie trwało 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. godziny.
Odpowiedź: Koło roweru mamy wykona Tu uzupełnij obrotów, a koło roweru Zuzi Tu uzupełnij obrotów.
Odpowiedź: Napełnienie zbiornika, gdyby wodę doprowadzałyby obie rury zajęłoby Tu uzupełnij godzin. Napełnienie zbiornika, gdy przez pierwsze dwie godziny wodę doprowadzałyby obie rury, a później tylko jedna zajęłoby Tu uzupełnij godzin.