Wielkości wprost proporcjonalne

Dane są dwie dodatnie wielkości. Mówimy, że te wielkości są wprost proporcjonalne, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

Sprawdzimy, czy wielkości $a$ i $b$ podane w tabeli są wprost proporcjonalne.

Rozwiązanie:
Obliczymy ilorazy danych wielkości i sprawdzimy, czy są one równe. Otrzymujemy zatem:
$\frac{18}{4}=4,5$,
$\frac{2,25}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=2,25·2=4,5$,
$\frac{27}{6}=4,5$.
Ponieważ ilorazy odpowiadających sobie wartości wielkości $a$ i $b$ są równe, zatem wielkości te są wprost proporcjonalne.

W tabeli przedstawiono wielkości $a$ i $b$, które są wprost proporcjonalne. Wyznaczymy wartości liczb $k$ i $l$.

Rozwiązanie:
Ponieważ wielkości $a$ i $b$ są wprost proporcjonalne, zatem:
$\frac{5}{8}=\frac{k}{17,6}$, czyli
$5·17,6=8·k$
$8k=88$
$k=11$
$\frac{5}{8}=\frac{3,2}{l}$
$5·l=8·3,2$
$5l=25,6$
$l=5,12$

Słoń porusza się z prędkością $15 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Obliczymy:

1. jaką drogę przebędzie słoń w czasie $18 \mathrm{s}$,

2. po jakim czasie słoń przebędzie drogę długości $180 \mathrm{m}$.

Rozwiązanie:
Zauważmy, że długość drogi, jaką pokonuje słoń jest wprost proporcjonalna do upływającego czasu.
Prędkość $15 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ oznacza, że słoń w ciągu $1 \mathrm{s}$ pokonuje drogę długości $15 \mathrm{m}$.

1. Niech $s$ będzie długością drogi (wyrażoną w metrach), jaką przebędzie słoń w czasie $18 \mathrm{s}$.
   Zatem:
   $\frac{15}{1}=\frac{s}{18}$
   Wobec tego:
   $s=15·18=270$
   W ciągu $18 \mathrm{s}$ słoń przebędzie drogę długości $270 \mathrm{m}$.

2. Niech $t$ będzie czasem (wyrażonym w sekundach), po jakim słoń przebędzie drogę długości $180 \mathrm{m}$.
   Zatem:
   $\frac{15}{1}=\frac{180}{t}$
   Wobec tego:
   $15·t=180$
   $t=12$
   Słoń przebędzie drogę długości $180 \mathrm{m}$ w ciągu $12 \mathrm{s}$.

Zauważmy, że jeśli dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, to zachodzi następująca zależność:
$y=a·x$, gdzie $a$ jest pewną stałą.
Wykażemy, że zachodzą następujące zależności: $a=\frac{y}{x}$ oraz $x=\frac{y}{a}$.

Rozwiązanie:
Ponieważ pomiędzy wielkościami wprost proporcjonalnymi zachodzi zależność:
$y=a·x$, zatem:

• po podzieleniu obu stron tej równości przez liczbę $x$ otrzymujemy, że $a=\frac{y}{x}$,

• po podzieleniu obu stron tej równości przez liczbę $a$ otrzymujemy, że $x=\frac{y}{a}$.

W sklepie spożywczym można zakupić różne produkty w promocji.

Rix0jeHlSLNdL

Ilustracja przedstawia baner promocyjny w pewnym sklepie. Przedstawiony jest na nim krążek żółtego sera, a ze znajdującego się obok tekstu możemy się dowiedzieć, że 20 dekagramów tego sera możemy kupić w promocyjnej cenie 3,20 zł.

Obliczymy, ile trzeba zapłacić za $1,5 \mathrm{kg}$ sera żółtego.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że $1,5 \mathrm{kg}=150 \mathrm{dag}$.

Przedstawmy dane z zadania w tabeli:

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{20}{3,20}=\frac{150}{x}$

Zatem $20·x=3,2·150$, czyli
$x=\frac{3,2·150}{20}=\frac{48}{2}=24$

Zatem za $1,5 \mathrm{kg}$ sera żółtego trzeba zapłacić $24 \mathrm{zł}$.

Sznurek rozcięto na dwa mniejsze kawałki, których stosunek długości wynosi $3:7$. Wyznaczymy, jaka jest długość każdej części, jeżeli mniejsza część jest o $16$ krótsza od większej części.

Rozwiązanie:
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$x$ – długość krótszej części sznurka
$x+16$ – długość dłuższej części sznurka
Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:
$\frac{3}{7}=\frac{x}{x+16}$, zatem  $7·x=3·\left(x+16\right)$
$7x=3x+48$
$4x=48$
$x=12$
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy, że $x=12$, zatem krótsza część sznurka ma długość $12$, a dłuższa $28$.

równość dwóch ilorazów liczb.