Wielokąty i ich własności

1. Cele lekcji

Wiadomości

Utrwalenie pojęć: wielokąt; czworokąt – rodzaje i własności, trójkąt – rodzaje i własności, inne wielokąty.

b. Umiejętności

Po zajęciach uczniowie:

• potrafią narysować wielokąty o określonych wymiarach,

• potrafią skonstruować wielokąty za pomocą cyrkla i linijki (w tym foremne),

• potrafią pracować w grupie i współpracować przy ustalaniu sposobu rozwiązania zadania,

• potrafią formułować wypowiedzi i uzasadniać je,

• potrafią rozwiązać zadania o podwyższonym stopniu trudności.

1. • praca zbiorowa – dyskusja i wnioski

   • praca w grupach – rozwiązywanie zadań, układanie kart

1. plansza – Własności czworokątów

2. plansza – Trójkąty

3. plansza – Wielokąty foremne

4. plansza – krzyżówka – Wielokąty i nie tylko...

Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach. W grupach czteroosobowych rozwiązują krzyżówkę.

Krzyżówka: Wielokąty i nie tylko

POZIOMO

3e – Ma 4 kąty proste i wszystkie boki równe

3N – Nie ma początku ani końca

5A – Służy do konstrukcji figur geometrycznych

5L – Ma 4 boki, ale tylko dwa boki równoległe

6W – Część okręgu

7H – Figura, która ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równej miary

8R – Zdobywasz ją m.in. Na lekcjach matematyki

10E – Odcinek łączący dwa sąsiednie wierzchołki figury

10L – Za jej pomocą narysujesz odcinek

12C – Łączy dwa nie sąsiednie wierzchołki figury

12p – Punkt równoodległy od każdego punktu na okręgu

14M – Bok trójkąta równoramiennego ale nie ramię

15F – Musisz je wypisać na początku – rozwiązując zadanie

17L – Najdłuższy odcinek łączący dwa punkty na okręgu

PIONOWO

B4 – Pomaga Ci rozwiązać zadanie z geometrii

D4 – Występuje podczas zmniejszania lub powiększania figur

F3 – Trójkąt ma ich trzy – łączy dwa boki

I2 – Ma wszystkie kąty proste a boki parami równe

I12 – Filozof i matematyk, zajmował się m.in. odcinkami proporcjonalnymi na ramionach kąta

L16 – np. ..... symetrii

M5 – Ma prostopadłe przekątne, ale nierównej długości, boki równe

N12 – Odcinek łączący środek okręgu z punktem na jego obwodzie

O5 – Figury mieszczące się na płaszczyźnie

P2 – Miara powierzchni figury

P14 – np. ........... równowagi lub w fizyce

S7 – Filozof i matematyk, zajmował się m.in. trójkątami prostokątnymi

T2 – Jeden z dwóch równych odcinków w trójkącie równoramiennym

U12 – Występują przy rozwiązywaniu dłuższego zadania (kolejne kroki )

X4 – Wielkości, które w zadaniu obliczasz

Na koniec tej części zajęć nauczyciel daje uczniom do przeglądania i analizy plansze:

• Wielokąty foremne

• Własności czworokątów

• Własności trójkątów

Faza realizacyjna

1. W parach – uczniowie rozwiązują zadania o podwyższonym stopniu trudności. Za rozwiązanie każdego zadania uczniowie otrzymują punkty 0‑5 pkt. Każda para losuje sobie 4 zadania. Po ich rozwiązaniu przedstawia rozwiązania nauczycielowi do sprawdzenia, nauczyciel koryguje ewentualne błędy lub poleca uzupełnić zapis zadania. Jeżeli wszystkie pary rozwiążą co najmniej po 4 zadania, każda para prezentuje rozwiązanie pozostałym uczniom, wszyscy zapisują je sobie w zeszycie. Jeśli zostały jakieś zadania, których nikt nie wylosował, zostaną jako zadanie domowe dla chętnych uczniów.

Treści zadań:

Zadanie 1

Uczeń rysował kwadrat. Zaznaczył położenie dwóch jego wierzchołków. Znajdź pozostałe wierzchołki tego kwadratu za pomocą cyrkla i linijki. Uwzględnij różne sytuacje.

Zadanie 2

Napisz równanie osi symetrii odcinka AB, A = (–1;5) B = (3;5)

Zadanie 3

Środkiem symetrii rombu jest punkt (0;0) Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2;2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 4.

Zadanie 4

W trójkącie ABC dane są: |AB| = 40 cm, |BC| = 23 cm. Wyznacz |AC|, jeśli wiadomo, że długość odcinka AC jest sześcianem pewnej liczby naturalnej.

Zadanie 5

Długości boków trójkąta wynoszą 5 cm, 12 cm, 13 cm. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 6

Narysować kwadrat, którego pole jest równe 8. Czy można to zrobić tylko na jeden sposób?

Zadanie 7

Boki czworokąta niewypukłego są parami równe. Dwa kąty tego trójkąta mają równe 60Indeks górny 0⁰ i 270Indeks górny 0⁰. Krótszy bok ma długość 2 cm. Oblicz pole tego czworokąta.

Zadanie 8

Kwadrat podzielono na dwa prostokąty, których stosunek obwodów wynosi 5:4. Jaki jest stosunek pól tych prostokątów?

Zadanie 9

Narysuj jakikolwiek czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Uzasadnij, że pole powierzchni tego czworokąta jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

Zadanie 10

Punkt P jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz trójkąta równobocznego. Wykaż, że suma odległości punktu P od boków trójkąta jest równa długości wysokości tego trójkąta.

Zadanie 11

Udowodnij, że przekątne trapezu o bokach a, b, b, b są dwusiecznymi kątów przy boku a. Wykonaj rysunek.

Zadanie 12

W okręgu o średnicy 10 cm poprowadzono cięciwę o długości 8 cm. Oblicz odległość cięciwy od środka okręgu.

Zadanie 13

Z jednego wierzchołka rombu o długości boku a zakreślono okrąg przechodzący przez 3 pozostałe wierzchołki. Znajdź pole i kąty tego rombu.

2. Uczniowie wykonują zadania konstrukcyjne: na tablicy i na swoich kartkach – wspólnie ustalamy opis wykonania każdej konstrukcji (pisemnie).

Skonstruuj:

1. kwadrat o boku 3√2 cm.

2. kwadrat o przekątnej 8 cm

3. prostokąt, w którym przekątna ma 7 cm, a jeden z boków 5 cm.

4. trójkąt równoboczny o wysokości 6 cm.

5. równoległobok o bokach 4 cm i 6 cm oraz przekątnej 5 cm

6. trapez o podstawach 8 cm i 4 cm oraz ramionach: 5 cm i 3 cm

7. sześciokąt foremny o boku 4 cm

8. trójkąt równoramienny o podstawie 4√8 cm i kącie między ramionami 120Indeks górny 0⁰

9. inne figury foremne wpisane w okrąg:

   • pięciokąt foremny

   • dziesięciokąt foremny

   • dwunastokąt foremny

   • ośmiokąt foremny

Spróbuj opisać własności każdej z tych figur (miara kąta wewnętrznego, suma kątów, liczba boków i przekątnych, liczba osi symetrii, środek symetrii).

Faza podsumowująca

Na zakończenie dokonujemy oceny uczestników i oceny zajęć według schematu. Przy ocenie uczestników biorą zawsze udział uczniowie. Ocena jest zwykle punktowa (1‑3 punktów za zadanie). Ale za szczególną samodzielność i aktywność uczeń może otrzymać ocenę. Jeżeli uczeń uzbiera 15 punktów może uzyskać ocenę celującą. Punkty przyznaje się tylko wtedy, jeżeli uczeń w pełni samodzielnie rozwiązywał zadania. Jeżeli praca była mniej samodzielna, wtedy z oceny aktywności uczeń może otrzymać tylko ocenę bardzo dobrą.

4. 5. B i S. Biernat, M. Bierówka, I. Rutkowska, Testy sprawdzające wielostopniowe z matematyki dla gimnazjum, wyd. Nowik, Opole, 2001;

   6. K. Dworecka, Z. Kochanowski, Konkursy matematyczne wybór zadań, WSiP, Warszawa, 1993;

   7. P. Nodzyński, Z. Bobiński, Liga zadaniowa, wyd. Czarny Kruk, Bydgoszcz, 1996.