Wirtualne laboratorium WL‑I
Czy okres drgań wahadła matematycznego jest zależny od długości wahadła?
Wykonaj pomiary, dzięki którym zweryfikujesz wzór
opisujący czas jednego drgania wahadła matematycznego w zależności od jego długości W powyższym wzorze stała to wartość przyspieszenia ziemskiego.
Analiza wyników rzeczywistego doświadczenia
Zanim rozpoczniesz pracę w laboratorium wirtualnym, proponujemy Ci obejrzenie filmu nagranego podczas pomiarów w pracowni. Nauczyciel fizyki mierzy czas trwania jednego okresu drgań dla różnych długości wahadła. Pomiary są wykonywane przy pomocy specjalnie przygotowanego zestawu pomiarowego. Pozwala on regulować długość wahadła. Zawiera także odpowiednik fotokomórki, która reaguje na kolejne przejścia nici przez położenie równowagi. Pomiar jest automatyczne uruchamiany, a następnie zatrzymywany. Dzięki temu niepewność pomiaru okresu, , jest rzędu milisekundy i może być pominięta przy graficznej analizie wyników. Jak się przekonasz, w Wirtualnym laboratorium jest inaczej.
Zauważ, że nauczyciel podaje długość nici, , na której zawieszony jest ciężarek. Aby uzyskać długość wahadła , do należy dodać promień kulki, pełniącej rolę ciężarka. Średnica kulki została zmierzona suwmiarką poza kadrem. Uzyskano wynik , a rozdzielczość suwmiarki to .
Oglądając film, sporządź tabelkę wyników przeprowadzonych w nim pomiarów. Zaokrąglij odpowiednio wynik pomiaru średnicy kulki. Wyniki pomiaru okresu drgań zaokrąglij do czterech cyfr znaczących.
Uzasadnij, że dla uzyskania długości wahadła należy do dodać , a nie .
Przygotuj, na podstawie tabeli, wykres zależności okresu drgań od długości wahadła zgodny z wyrażeniem (1). Wykorzystaj do tego arkusz kalkulacyjny. Ustal dziedzinę długości od zera do co najmniej jednego metra. W ten sposób obejmiesz wszystkie pomiary z filmu.
Oglądając film, sporządź tabelkę wyników prowadzonych w nim pomiarów.
Wykorzystaj te pomiary i nanieś ich wyniki na przygotowany wykres.
Podaj argumenty przemawiające za tym, iż:
a) okres drgań wahadła zależy od jego długości ;
b) zależność jest rosnąca;
c) wyniki pomiarów są zgodne z wyrażeniem (1).
Skorzystaj z wirtualnego laboratorium, by sprawdzić, w jaki sposób czas trwania pojedynczego okresu wahadła matematycznego zależy od jego długości. Postępuj zgodnie z instrukcją dołączoną do laboratorium.
Zacznij od przeprowadzenia analizy graficznej, proponowanej Doświadczeniu 1. Następnie rozważ zwiększenie liczby pomiarów i przeprowadź analizę numeryczną wyników, opisaną w Doświadczeniu 2.
Graficzna analiza wyników
Celem eksperymentu jest zebranie danych i na ich podstawie graficzne zbadanie zależności kwadratu okresu drgań wahadła matematycznego od jego długości .
Zależność ma postać funkcji liniowej.
Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.
Porównaj wyposażenie laboratorium wirtualnego z wyposażeniem stanowiska pomiarowego laboratorium pokazanego w filmie.
Omów pokrótce wpływ stwierdzonych różnic w wyposażeniu na rozstrzygnięcie hipotezy. Zapisz swoją wypowiedź w Dzienniku pomiarów.
Postępuj zgodnie z instrukcją zaproponowaną w Laboratorium.
Wybierz wartość - liczby pełnych okresów drgań wahadła, po których zatrzymasz stoper i odczytasz czas .
Przeprowadź pomiar okresu drgań dla co najmniej siedmiu różnych długości wahadła , możliwie równomiernie rozłożonych w przedziale dostępnym w Wirtualnym laboratorium.
Wyniki wpisz do Tabeli pomiarów.
a) Niepewność
Zastosuj podane w instrukcji Wirtualnego laboratorium postępowanie prowadzące do wyznaczenia niepewności pomiaru długości wahadła . Wyniki wpisz w odpowiednią kolumnę Tabeli.
b) Niepewność
Przeanalizuj zaproponowaną w instrukcji propozycję określenia niepewności standardowej pomiaru czasu trwania okresów drgań wahadła. Jeśli zgadzasz się z przedstawioną tam oceną, uzupełnij kolumny oraz w Tabeli zgodnie z tą propozycją.
W przeciwnym razie oszacuj tę niepewność zgodnie z własną wiedzą i doświadczeniem, a odpowiednie kolumny uzupełnij zgodnie z dokonaną oceną. Swoje rozumowanie przedstaw w Dzienniku pomiarów.
c) Kwadrat okresu drgań i jego niepewność
Kwadrat okresu jest wielkością mierzoną pośrednio. Jest to kwadrat wielkości mierzonej bezpośrednio - okresu drgań . Niepewności pomiaru wszystkich okresów są jednakowe.
Wyznacz niepewność pomiaru dla każdego okresu zgodnie z zasadami opisanymi w e‑materiale „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”. Zwróć uwagę na sekcję „Dla zainteresowanych” na końcu części „Przeczytaj”. W punkcie drugim podano gotowe wyrażenie, które możesz bezpośrednio zastosować:
Wpisz do Tabeli wartości oraz .
d) Punkty pomiarowe na wykresie
Sporządź wykres zależności i w tych samych współrzędnych umieść punkty pomiarowe.
Rozważ celowość naniesienia, dla każdego punktu, odcinków niepewności pomiaru długości wahadła oraz, niezależnie, odcinków niepewności pomiaru kwadratu okresu. Zapisz swoją decyzję wraz z krótkim uzasadnieniem w Dzienniku pomiarów.
e) Prosta najlepiej dopasowana
Na sporządzony wykres nanieś linię prostą, którą uznajesz za najlepiej pasującą do punktów pomiarowych. W razie potrzeby przypomnij sobie tę problematykę, przedstawioną w e‑materiałach „Jak dopasować prostą do wyników pomiarów?” i „W jakim celu dopasowuje się prostą do wyników pomiarów i jakie informacje można w ten sposób uzyskać?”.
f) Analiza i wnioski
Na podstawie analizy przebiegu wykresu rozstrzygnij hipotezę badawczą. Swoją argumentację zapisz w Dzienniku pomiarów.
Dla zainteresowanych
Numeryczna analiza wyników
Celem eksperymentu jest pomiar okresu drgań wahadła matematycznego dla różnych jego długości i poddanie analizie wartości ilorazów .
Wartości ilorazów są na tyle zbliżone, że można je uznać za jednakowe.
Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.
Możesz wykorzystać wyniki pomiarów przeprowadzonych w Doświadczeniu 1. Przydatne byłoby jednak uzyskanie większej liczby wyników - rzędu 20‑30. Możesz przeprowadzić dodatkowe pomiary we własnym zakresie. Lepszym pomysłem będzie zmotywowanie grupy koleżanek lub kolegów do wspólnego opracowania pomiarów, wykonanych oddzielnie przez każdego członka grupy. W tym ostatnim przypadku:
- Niech każdy uczestnik zmierzy kilkakrotnie okres drgań wahadła w całym zakresie dostępnych długości; zestawy długości przydzielonych poszczególnym uczestnikom powinny się nieco różnić.
- Wybierzcie jednakową dla wszystkich wartość - liczby pełnych okresów drgań wahadła, po których mierzący zatrzymuje stoper i odczytuje czas . Wymóg ten nie jest jednak bezwzględny.
- Zastosujcie wszyscy podane w instrukcji Wirtualnego Laboratorium postępowanie prowadzące do wyznaczenia niepewności pomiaru długości wahadła .
- Przedyskutujcie problem ustalania niepewności pomiaru okresu i przyjmijcie jednakowe zasady postępowania.
Każdy oblicza, dla każdego swojego pomiaru, wartość wielkości będącej ilorazem kwadratu okresu drgań i długości wahadła:
Dla każdej wartości należy obliczyć niepewność , uwzględniając, że jest wielkością mierzoną pośrednio. Pomocne może być przypomnienie sobie e‑materiału „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”. Podczas obliczeń zwróćcie uwagę, czy udziały obu zmiennych, i , w niepewności , są porównywalne, czy też któraś z nich ma udział dominujący. Tę informację wykorzystacie w Podsumowaniu.
Każdy uczestnik przygotowuje i wpisuje własny zbiór danych do wspólnej Tabeli wyników.
Obliczcie - średnią ważoną wartości ilorazów .
Co to jest średnia ważona? Jest to procedura uśredniania, która pozwala uwzględnić, że zmierzone wartości wpływają na wartość średnią w różnym stopniu. W przypadku, z którym macie do czynienia, nie należy obliczać średniej arytmetycznej wyników, lecz właśnie ich średnią ważoną.
Jaki jest tego powód? Poszczególne wartości nie są jednakowo wiarygodne ze względu na różne niepewności ich pomiaru. Te wartości, których niepewność jest mniejsza są bardziej wiarygodne od tych o niepewności większej.
Jak uzyskać takie zróżnicowanie wpływu na średnią? Przyjrzyjmy się znanemu wyrażeniu na średnią arytmetyczną i rozbudujmy nieco jego zapis.
Symbolem oznaczamy łączną liczbę pomiarów wykonanych przez uczestników. To wyrażenie oznaczałoby, że każdemu wynikowi przypisujemy jednakowy wpływ na wartość średnią, czyli jednakowe wagi . Jeżeli chcemy, by wagi były różne, wystarczy użyć do obliczeń współczynników różnych od 1, ale nieujemnych:
Jak wyrazić wagi dla poszczególnych pomiarów? Typowe postępowanie polega na przypisaniu poszczególnym uśrednianym wartościom wag , tj. odwrotnie proporcjonalnych do niepewności pomiaru danej wartości.
Jaka jest ostateczna postać wyrażenia? Średnia ważona jest dana wyrażeniem
Tak obliczoną wartość wpiszcie do Tabeli wyników.
Dla każdej wartości obliczcie jej odchylenie od wartości i wpiszcie do ostatniej kolumny Tabeli.
Porównajcie to odchylenie z niepewnością pomiaru tej wartości. Podzielcie wyniki na trzy kategorie o roboczych nazwach:
wyniki „bliskie” średniej, gdy ;
wyniki „niezbyt odległe” od średniej, gdy ;
wyniki „dalekie” od średniej, gdy .
Na podstawie liczebności tych kategorii oceńcie, w sposób jakościowy, na ile wiarygodna jest postawiona hipoteza. Zapiszcie swoje rozumowanie i wnioski w Dzienniku pomiarów, w przygotowanym polu. Zapiszcie tam także ewentualne zdania odrębne, wraz z ich krótkim uzasadnieniem.
Nie ulega wątpliwości, że potwierdzenie hipotezy jest tym bardziej wiarygodne, im mniejsza niepewność pomiaru . Porównajcie udziały w tej niepewności, oraz , pochodzące od każdej z bezpośrednio mierzonych wielkości. Zaproponujcie i opiszcie, w przygotowanym do tego polu Dziennika pomiarów, alternatywne wyposażenie Wirtualnego laboratorium, które pozwoliłoby zmniejszyć przyczynek do niepewności od tej zmiennej, dla której jest on dominujący.
Ula i Witek chodzą razem do szkoły średniej. Na lekcji poprzedzającej zagadnienie „Ruch wahadła matematycznego” wyświetlony został film pokazujący eksperyment wykonany w pracowni fizycznej oraz zademonstrowane zostało wirtualne laboratorium poświęcone tej tematyce.
W każdym z tych mediów mierzony był okres drgań wahadła, którego długość zmieniano od pomiaru do pomiaru. Uczniowie mieli możliwość zapisania wyników uzyskanych w filmie oraz w wirtualnym laboratorium. W ramach zadanej pracy domowej, do wykonania w dwuosobowych grupach, mieli odpowiedzieć na tytułowe pytanie (Czy okres drgań wahadła matematycznego zależy od długości wahadła?) oraz uzasadnić tę odpowiedź na podstawie wyników pomiarów. Dodatkowo, dla grup zainteresowanych, zaproponowane zostało dokonanie wstępnego rozpoznania charakteru zależności okresu drgań od długości wahadła, jeśli grupa stwierdzi, że opisana zależność istnieje.
Pomiary sfilmowane w pracowni fizycznej
Wyniki przeprowadzonych na filmie pomiarów zależności okresu drgania od długości wahadła przedstawione są w tabeli 1. Uwzględniono w niej, że bezpośrednio mierzona była długość samej nici. By uzyskać długość wahadła , do każdej zmierzonej długości nici dodano promień kulki, zmierzony na filmie, zaokrąglony do wartości
Lp. | |||
---|---|---|---|
1 | 0,405 | 1,2772 | ~ |
2 | 0,495 | 1,4049 | 1,419 |
3 | 0,550 | 1,4890 | 1,529 |
4 | 0,600 | 1,5542 | 1,304 |
5 | 0,670 | 1,6454 | 1,303 |
6 | 0,755 | 1,7496 | 1,226 |
7 | 0,845 | 1,8449 | 1,059 |
8 | 0,900 | 1,9033 | 1,062 |
Ostatnia kolumna tabeli pokazuje średnią zmianę okresu drgań odniesioną do zmiany długości wahadła. Ta względna zmiana została oznaczony symbolem i jest dana wyrażeniem
Długość oraz okres to wartości uzyskane w pomiarze bieżącym, zaś wartości oraz zostały uzyskane w pomiarze poprzednim.
Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań
Analizę wyników z tabeli nasi badacze rozpoczęli od określenia niepewności pomiaru okresu drgań. Zastosowali regułę opisaną w e‑materiale „Niepewność całkowita”. Ponieważ dla każdej długości wahadła dokonywany był jeden pomiar okresu drgań to najmniejsza wartość niepewności granicznej jest powiązana z rozdzielczością użytego przyrządu. W tym przypadku jest to jedna dziesiąta milisekundy. W filmie nie podano żadnej innej informacji o dokładności przyrządu ani o jego działaniu.
Ula i Witek uznali więc, że , gdyż pomiar polega na uruchomieniu stopera i na jego zatrzymaniu.
Takie rozumowanie jest wtedy uprawnione, gdy człowiek nie bierze bezpośredniego udziału w pomiarze czasu. Uwzględnia się więc jedynie coś w rodzaju „refleksu aparatury”.
Dla zainteresowanych
Okres drgań rośnie wraz z długością wahadła, ale czy jest to wzrost liniowy?
Ula i Witek to dociekliwi uczniowie. Postanowili zatem zbadać charakter rosnącej zależności okresu drgań od długości wahadła. Zaczęli od hipotezy, że wzrost okresu ma charakter jednostajny, czyli że jednakowym przyrostom długości odpowiadają jednakowe przyrosty okresu. Dlatego właśnie wprowadzili do tabeli dodatkową kolumnę, z wielkością mierzącą stosunek przyrostu okresu do zmiany długości wahadła. Czy wielkość ta jest stała? Jak wyglądałby wykres zależności
Pomiary w Wirtualnym laboratorium
Ula i Witek postawili sobie dwa cele, odnosząc je do wyników uzyskanych w laboratorium sfilmowanym:
(a) potwierdzenie istnienia rosnącej zależności pomiędzy okresem a długością wahadła
(b) zweryfikowanie, w ramach zadania dla zainteresowanych, czy charakter tej zależności odpowiada funkcji typu Tę ostatnią hipotezę badacze sformułowali na podstawie związku podanego w części „Przeczytaj”:
Opis wirtualnego laboratorium
Na ekranie widoczna jest sala ze stołem laboratoryjnym. Na stole z ciemnoniebieskim blatem leży postawiona pionowo szpula, na którą nawinięta jest granatowa nitka. Koniec nici rozwinięty ze szpuli biegnie w prawo i w górę do haku przymocowanego do sufitu. Nić jest przewieszona przez ten hak, ostatni jej odcinek zwisa pionowo, a na końcu nitki umocowany jest szary cylindryczny ciężarek. Całość jest wahadłem, które można złapać myszką za ciężarek, odchylić od położenia równowagi o maksymalny kąt około trzydziestu stopni i puścić. Wahadło wykonuje wtedy drgania. Obok wahadła widoczna jest niebieska linijka, ustawiona pionowo, z zerem u góry. Jest ona wyskalowana od zera do dwóch metrów z podziałką drobną co pięć centymetrów. Dłuższe znaczniki, co jedna druga metra, są opisane. Linijkę można przesuwać po laboratorium, przy pomocy myszki, zarówno w prawo i lewo jak w górę i dół. Ciągnąc myszką za pochyłą część nici można rozwijać lub nawijać ją na szpulę, co skutkuje zmianą długości wahadła. Zakres tych zmian obejmuje długości od jednej drugiej metra do dwóch metrów, co można zmierzyć za pomocą linijki po odpowiednim jej ustawieniu. Blisko prawego brzegu stołu stoi elektroniczny stoper z dwoma guzikami sterującymi i widoczną sześciocyfrową skalą. Dwie pierwsze cyfry służą do wyświetlania minut, dwie kolejne do wyświetlania sekund a dwie ostatnie do wyświetlania setnych części sekundy. Lewy, zielony guzik włącza lub wyłącza stoper; prawy czerwony guzik zeruje jego wskazania. Przycisk opisany symbolem znaku zapytania w lewym górnym rogu ekranu wyświetla instrukcję postępowania; przycisk „RESET” w lewym dolnym rogu ekranu przywraca stan wyjściowy Wirtualnego laboratorium.
Plan pracy w Wirtualnym laboratorium
Nasi eksperymentatorzy ustalili, że w Wirtualnym laboratorium nastawią osiem różnych długości wahadła, różniących się o dwie dziesiąte metra. Wiedzieli, że jeśli zmierzą czas trwania jednego wahnięcia, to nie osiągną tak małej niepewności granicznej , rzędu ułamka milisekundy, jak w przypadku pomiaru zautomatyzowanego przeprowadzonego na filmie. Zdawali sobie bowiem sprawę, że refleks człowieka jest znacznie słabszy niż „refleks aparatury”. Zapoznali się więc z fragmentem instrukcji Wirtualnego laboratorium, dotyczącym niepewności pomiaru okresu drgań. Zawarte tam zalecenia ujęli w postaci reguły.
Niepewność pomiaru czasu za pomocą obsługiwanego ręcznie stopera lub podobnego urządzenia jest przede wszystkim związana z czasem reakcji osoby wykonującej pomiar czasu podczas włączania i wyłączania stopera. Czas ten szacuje się na ok. dwie dziesiąte sekundy na każde kliknięcie stopera. Każdemu pomiarowi odpowiada dwukrotne użycie stopera, zatem niepewność graniczna pomiaru tego czasu Zwróć uwagę, że jest ona niezależna od czasu Jeśli więc czas odpowiada jednemu okresowi drgań to Jeśli jednak czas odpowiada okresom drgań to Niepewność graniczna pomiaru pojedynczego okresu jest wtedy razy mniejsza. Niepewność standardowa jest także tym mniejsza, im większe jest
Młodzi badacze postanowili, że dla każdej długości wahadła zmierzą czas trwania dziesięciu jego wahnięć.
Wyniki oraz ich analiza i interpretacja
Tabela 2. zawiera wyniki pomiarów zależności okresu drgań wahadła od jego długości. Dla lepszej czytelności zrezygnowano z umieszczania kolumny zmierzonych czasów dziesięciu wahnięć i podano od razu wartość okresu
W czwartej kolumnie tabeli podano wartość okresu drgań wahadła o zadanej długości, obliczonego na podstawie wzoru (1), w którym przyspieszenie ziemskie wyrażone zostało z dokładnością do czterech cyfr znaczących. Wartości stanowią wzorzec dla mierzonego okresu drgań. W kolumnie piątej podano różnicę pomiędzy dwiema wartościami okresu drgań - zmierzoną oraz wzorcową.
Lp. | ||||
---|---|---|---|---|
1 | 0,6 | 1,573 | 1,554 | 0,019 |
2 | 0,8 | 1,782 | 1,795 | -0,013 |
3 | 1,0 | 2,016 | 2,006 | 0,010 |
4 | 1,2 | 2,198 | 2,198 | 0,000 |
5 | 1,4 | 2,366 | 2,374 | -0,008 |
6 | 1,6 | 2,524 | 2,538 | -0,014 |
7 | 1,8 | 2,706 | 2,692 | 0,014 |
8 | 2,0 | 2,837 | 2,838 | -0,001 |
Ula i Witek szybko uzgodnili, że wyniki z drugiej i trzeciej kolumny tabeli 2. uzasadniają przyjęcie takiego samego rozstrzygnięcia, jak w doświadczeniu sfilmowanym:
Okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz z jego długością.
Świadczą o tym różnice pomiędzy zmierzonymi wartościami Różnice te są rzędu jednej‑dwóch dziesiątych sekundy, podczas gdy niepewność graniczna pomiaru okresu to cztery setne sekundy. Tym samym badacze uznali, że cel (a) został osiągnięty.
Dla zainteresowanych
Okres drgań rośnie nieliniowo wraz z długością wahadła, ale czy jest to wzrost opisywany funkcją typu
Ula i Witek - dociekliwi uczniowie - postanowili bliżej zbadać nieliniowo rosnącą zależność okresu drgań od długości wahadła. Bazując na wiedzy teoretycznej oraz wynikach eksperymentu sfilmowanego w pracowni postawili hipotezę, że wzrost okresu ma charakter funkcji typu Dlatego właśnie wprowadzili do tabeli dodatkowe dwie kolumny. Jedna z okresem będącym wzorcową wartością dla okresu mierzonego . Ta wzorcowa wartość jest obliczona zgodnie z zależnością (1). Ostatnia kolumna zawiera różnice