Własności dwusiecznej kąta

Narysujemy dwa kąty wierzchołkowe, a następnie zaznaczymy dwusieczne tych kątów.

RnL4I1n6X6UEN

Ilustracja przedstawia kąty wierzchołkowe. Narysowano prostą p, stanowiącą dwusieczne tych kątów.

Zauważmy, że dwusieczne kątów wierzchołkowych tworzą prostą.

Określimy, jaki kąt tworzą dwusieczne kątów przyległych $ABE$ i $CBE$.
Narysujemy te kąty i ich dwusieczne - odpowiednio $BF$ i $BD$ (patrz rysunek).

RPpcl8FEHg1fq

Na ilustracji przedstawiono kąty przyległe A B E oraz C B E, których wspólny wierzchołek stanowi punkt B. Narysowano dwusieczną kąta A B E, na której zaznaczono punkt F oraz dwusieczną kąta C B E, na której zaznaczono punkt D.

Oznaczmy:
$2\alpha$ – miara kąta $ABE$,
$2\beta$ – miara kąta $CBE$.
Dwusieczna dzieli każdy z kątów na połowy.

RvHNiBfPh3q2r

Na ilustracji przedstawiono kąty przyległe A B E oraz C B E. Narysowano dwusieczne tych kątów, na których zaznaczono punkty F i D. Oznaczono miary kątów. Miara kąta A B F oraz F E B wynosi alfa, natomiast kąta E B D oraz D B C wynosi beta.

Miara kąta $FBD$ między dwusiecznymi jest równa $\alpha +\beta$.
Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$, zatem:
$2\alpha +2\beta =180°$.
Czyli:

Punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $ABC$. Miara kąta $CPB$ jest równa $70°$. Obliczymy miary kątów czworokąta $BCPA$.

R1Z2KgTEUMHBv

Na ilustracji przedstawiono kąt ostry A B C. Zaznaczono jego dwusieczną, przechodzącą przez punkt P. Zaznaczono także kąty proste B C P oraz B A P.

Rozważmy najpierw trójkąt $BCP$. Jest to trójkąt prostokątny, w którym kąt ostry $CPB$ ma miarę $70°$. Zatem

Półprosta $BP$ jest dwusieczną kątadwusieczna kątadwusieczną kąta $ABC$, więc

Kąt $CBA$ jest sumą kątów $CBP$ i $ABP$, zatem

Trókąt $PBA$ jest prostokątny i jeden z jego kątów ostrych ma miarę $20°$.
Drugi z kątów tego trójkąta jest więc równy:

Możemy już obliczyć miarę kąta $APC$.

Kąty czworokąta $BCPA$ są równe: $40°$, $90°$, $90°$, $140°$.
Uwaga – miary kątów czworokąta $BCPA$ można też obliczyć, korzystając z przystawania trójkątów $ABP$ i $BCP$.

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$, poprowadzono dwusieczną $CD$. Wykażemy, że ta dwusieczna jest środkową i zarazem wysokością tego trójkąta.

R1F5ZGnhnLjHp1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny A B C. Narysowano odcinek łączący wierzchołek C z punktem D, leżącym na podstawie A B. Zaznaczono kąt prosty B D C.

Zauważmy najpierw, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są przystające, bowiem:

• $\left|AC\right|=\left|BC\right|$ – ramiona trójkąta równoramiennego

• $CD$ – bok wspólny trójkątów

• $\left|\sphericalangle ACD\right|=\sphericalangle \left|BCD\right|$ – kąty utworzone przez dwusieczną
  Na mocy cech przystawania trójkątów $bkb$ trójkąty $ACD$ i $BCD$ są przystające.
  Z przystawania tych trójkątów wynika, że $\left|AD\right|=\left|DB\right|$, czyli $CD$ to środkowa trójkąta $ABC$.
  Punkt $D$ leży na prostej $AB$, więc $\left|\sphericalangle ADB\right|=180°$.
  Stąd:

  $$\left|\sphericalangle ADC\right|+\left|\sphericalangle CDB\right|=\left|ADB\right|=180°$$

  Z przystawania trójkątów $ACD$ i $BCD$ wynika, że

  $$\left|\sphericalangle ADC\right|=\left|\sphericalangle CDB\right|$$

  Zatem

  $$\left|\sphericalangle ADC\right|+\left|\sphericalangle CDB\right|=2\left|\sphericalangle ADC\right|=180°$$
  $$\left|\sphericalangle ADC\right|=90°$$

  Czyli dwusieczna $CD$ jest też wysokością trójkąta $ABC$, co należało wykazać.

Bok trójkąta równobocznego $ABC$ jest równy $6 \mathrm{cm}$. Dwusieczna kątadwusieczna kątaDwusieczna kąta $BCA$ przecina bok $AB$ w punkcie $P$. Obliczymy długość odcinka $CP$.
W trójkącie równobocznym dwusieczna jest zarazem wysokością. Skorzystamy więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.

RIlru7VcOBDCP

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny A B C, o długości boku sześć centymetrów. Z wierzchołka C opuszczono wysokość trójkąta do punktu P, leżącego na podstawie A B trójkąta.

$\left|CP\right|=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
Długość odcinka $CP$ jest równa $3\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $CAB$ i $ABC$. Dwusieczne te przecięły się w punkcie $E$. Przez punkt $E$ poprowadzono prostą równoległą do boku $AB$, która przecięła bok $AC$ w punkcie $D$, natomiast bok $BC$ w punkcie $F$.
Wykażemy, że $\left|DF\right|=\left|AD\right|+\left|BF\right|$

RoVndgzwYMgeu

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Zaznaczono dwusieczne kątów C A B oraz A B C, które przecinają się w punkcie E. Zaznaczono prostą równoległą do podstawy A B, przechodzącą przez punkt E oraz przecinającą bok B C w punkcie F, oraz bok A C w punkcie D.

Proste $AB$ i $DF$ są równoległe, kąty $BAE$ i $DEA$ są więc kątami naprzemianległymi, zatem

RwVg5tlDa9rcj

W trójkącie A B C, różowym łukiem zaznaczono kąt A E D oraz zielonym łukiem zaznaczono kąt B A E.

Prosta $AE$ jest dwusieczną kątadwusieczna kątadwusieczną kąta $BAC$, więc $\left|\sphericalangle BAE\right|=\left|\sphericalangle EAD\right|$.

R16hglVYuWnBM

W trójkącie A B C, różowym łukiem zaznaczono kąt A E D oraz zielonym łukiem zaznaczono kąt B A C.

Wynika stąd, że trójkąt $AED$ jest równoramienny (ma dwa równe kąty).
Zatem $\left|AD\right|=\left|DE\right|$.
W podobny sposób możemy wykazać, że trójkąt $BEF$ jest równoramienny i $\left|BF\right|=\left|EF\right|$.
Stąd:
$\left|DF\right|=\left|DE\right|+\left|EF\right|=\left|AD\right|+\left|BF\right|$,
co należało wykazać.

półprosta o początku w wierzchołku tego kąta, dzielącą kąt na dwa kąty równe.