O równości odcinków stycznych

Pod nazwą „zasadnicze twierdzenie planimetrii” kryje się teza o równości odcinków dwóch stycznych do danego okręgu, poprowadzonych z punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu, wyznaczonych przez ten punkt i punkty styczności $A$ i $B$, jak na rysunku.

RjRLbQFEPOzFM

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie $O$. Poprowadzono dwie styczne do okręgu w punkcie $A$ i $B$. Styczne przecinają się w punkcie $P$. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $AP$, oraz odcinek $PB$.

Mniej oczywista jest równość odcinków $AP$ i $BP$, wyznaczonych na stycznych do dwóch przecinających się okręgów, jak na poniższym rysunku.

Rm28gmN799WBS

Na ilustracji narysowano dwa przecinające się okręgi. Narysowano styczną do okręgu niebieskiego w punkcie $A$, oraz styczną do okręgu granatowego w punkcie $B$. Styczne przecinają się w punkcie $P$. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $AP$, oraz $PB$.

Oczywiście znaczenie ma fakt, że punkt, z którego prowadzone są styczne, leży na siecznej tych okręgów, przechodzącej przez ich punkty wspólne.

Dowód tego faktu i innych mniej lub bardziej oczywistych zależności będzie celem niniejszej lekcji.