Wykonywanie obliczeń procentowych w przypadku wielokrotnych podwyżek lub obniżek cen

RMkkWLJiPMxxR

Nazwa procent pochodzi od łacińskiego „pro centrum”, czyli „na sto”. Nie jest wyjaśnione pochodzenie symbolu procentu. W języku polskim słowo procent pojawiło się w pierwszej połowie $XIX$ wieku, zapożyczone z języka niemieckiego „prozent”.

Z obliczeniami procentowymi mamy do czynienia nie tylko w banku, ale na przykład w sklepie, kupując towary w okresie wyprzedaży. Zatem umiejętność wykonywania obliczeń procentowych jest bardzo pomocna w szacowaniu wartości kwoty, którą należy zapłacić.

R14eU0OyNvzVn

Ilustracja przedstawia kolaż złożony ze zdjęć nawiązujących do wyprzedaży. Są na nich czerwone balony z symbolem procenta, kobieta z torbami na zakupy oraz stoiska z ubraniami . — Źródło: Grafiki na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

W tym materiale omówimy, jak można szybko obliczyć kwotę do zapłaty, gdy cena danego towaru została wielokrotnie podwyższona lub obniżona o dany procentprocentprocent.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
AnimacjaAnimacja
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Do osiągnięcia celów lekcji wykorzystasz:

pojęcie procentu,
sposoby obliczania procentu danej liczby,
metody wyznaczania liczby, gdy dany jest jej procent.

Twoje cele

Wykonasz obliczenia procentowe.
Zastosujesz obliczenia procentowe w zadaniach z życia codziennego.
Dobierzesz model matematyczny do rozwiązania problemu z kontekstem realistycznym.

procent

Definicja: procent

Jeden procent danej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości.

Jeden procent oznaczamy $1 %$ .

Ważne!

$p %$ danej wielkości to $\frac{p}{100}$ tej wielkości.

Często w sklepach zauważmy informacje o rabatachrabatrabatach (obniżkach), bądź podwyżkach cen towarów. Wobec tego bardzo przydatna jest umiejętność obliczania ceny towaru po zmianie.

Przykład 1

Komputer kosztował $3600 zł$ . W listopadzie jego cenę obniżono o $10 %$ , a następnie w grudniu jeszcze o $15 %$ . Obliczymy cenę komputera po obniżkach.

RdYRwCL4kvjAj

Ilustracja przedstawia baner reklamowy pewnego laptopa. Znajduje się na nim informacja, że cena tego sprzętu w listopadzie będzie obniżona o 10%, a w grudniu będzie obniżona o 15%. — Źródło: Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:
$I$ sposób:
Obniżka ceny o $10 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 10 % = 90 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $90 %$ liczby $3600$ .
Obliczamy cenę komputera po pierwszej obniżce:
$0, 9 \cdot 3600 zł = 3240 zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $3240$ .
Obliczamy cenę komputera po drugiej obniżce:
$0, 85 \cdot 3240 zł = 2754 zł$
$II$ sposób:
Cena komputera po obniżce jest równa różnicy ceny przed obniżką i kwoty obniżki początkowej ceny.
Obliczamy kwotę pierwszej obniżki:
$0, 1 \cdot 3600 zł = 360 zł$
Obliczamy cenę komputera po pierwszej obniżce:
$3600 zł - 360 zł = 3240 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej obniżki:
$0, 15 \cdot 3240 zł = 486 zł$
Obliczamy cenę komputera po drugiej obniżce:
$3240 zł - 486 zł = 2754 zł$
Zatem komputer po dwóch obniżkach kosztuje $2754 zł$ .

Przykład 2

Cena ulgowego biletu do kina po podwyżce o $12 %$ jest równa $22, 40 zł$ . Obliczymy, o ile różniłaby się cena tego biletu, gdyby podniesiono ją najpierw o $2 %$ , a następnie o $10 %$ .
Rozwiązanie:
Niech $x$ będzie ceną biletu przed podwyżką.
Podwyżka ceny biletu o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 12 % = 112 %$ ceny początkowej.
Do wyznaczenia ceny po podwyżce należy więc obliczyć $112 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę biletu po podwyżce:
$1, 12 \cdot x zł = 1, 12 x zł$
Ponieważ cena biletu ulgowego po podwyżce wynosi $22, 40 zł$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:
$1, 12 x = 22, 40$
Wobec tego $x = 20$ .
Obliczamy kwotę pierwszej podwyżki:
$0, 02 \cdot 20 zł = 0, 40 zł$
Obliczamy cenę biletu po pierwszej podwyżce:
$20 zł + 0, 40 zł = 20, 40 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej podwyżki:
$0, 10 \cdot 20, 40 zł = 2, 04 zł$
Obliczamy cenę biletu po drugiej podwyżce:
$20, 40 zł + 2, 04 zł = 22, 44 zł$
Obliczamy różnicę cen biletów:
$22, 44 zł - 22, 40 zł = 0, 04 zł$
Zatem przy dwukrotnej podwyżce bilet ulgowy do kina byłby droższy o $0, 04 zł$ .

Przykład 3

Cenę towaru wynoszącą $450 zł$ obniżono o $20 %$ , a następnie podwyższono o $20 %$ . Obliczymy, o ile procent nowa cena różni się od ceny początkowej.

Rozwiązanie:

$I$ . Obniżka ceny towaru o $20 %$ .
Obliczamy kwotę obniżki:
$0, 20 \cdot 450 zł = 90 zł$
Obliczamy cenę towaru po obniżce:
$450 zł - 90 zł = 360 zł$

$II$ Podwyżka ceny towaru o $20 %$ .
Obliczamy kwotę podwyżki:
$0, 20 \cdot 360 zł = 72 zł$
Obliczamy cenę towaru po podwyżce:
$360 zł + 72 zł = 432 zł$
Obliczamy różnicę ceny początkowej i ceny końcowej:
$450 zł - 432 zł = 18 zł$
Obliczamy, o ile procent zmieniła się cena w stosunku do ceny początkowej:
$\frac{18}{450} \cdot 100 % = 4 %$
Zatem nowa cena jest niższa od ceny początkowej o $4 %$ .

Wykonywanie złożonych obliczeń procentowych możemy też wykorzystać do wyznaczania wartości kapitału złożonego na lokatę bankową na dłuższy okres.

Przykład 4

Pan Adam wpłacił do banku kwotę $50000 zł$ na lokatę z oprocentowaniem $3 %$ w skali roku, przy rocznej kapitalizacjikapitalizacja odsetekkapitalizacji odsetek. Obliczymy, jaką kwotę otrzymał pan Adam, jeżeli czas trwania lokaty wynosił $2$ lata.

R18FCIpi7GuRi

Na ilustracji znajdują się dwa stuzłotowe banknoty. — Źródło: Grafika na podstawie: Pixabay.com, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:
Oprocentowanie lokaty $3 %$ w skali roku oznacza, że po roku otrzymamy $100 % + 3 % = 103 %$ wpłaconego kapitału.
Należy więc obliczyć $103 %$ liczby $50000$ .
Obliczamy wysokość kapitału po pierwszym roku:
$1, 03 \cdot 50000 zł = 51500 zł$
Następnie złożenie kapitału na $3 %$ w skali roku oznacza, że po tym roku otrzymamy $100 % + 3 % = 103 %$ poprzedniego kapitału.
Należy więc obliczyć $103 %$ liczby $51500$ .
Obliczamy wysokość kapitału po drugim roku:
$1, 03 \cdot 51500 zł = 53045 zł$
Zatem po dwóch latach trwania lokaty pan Adam otrzyma $53045 zł$ .

Przykład 5

Po dwukrotnej podwyżce, najpierw o $5 %$ , a następnie o $6 %$ pani Magdalena zarabia $4674, 60 zł$ . Obliczymy, ile zarabiała przed podwyżkami.
Rozwiązanie:
Niech $x$ (w $zł$ ) będzie wysokością pensji pani Magdaleny przed podwyżkami.
Podwyżka pensji o $5 %$ oznacza, że nowa płaca stanowi $100 % + 5 % = 105 %$ początkowej płacy.
Należy więc obliczyć $105 %$ liczby $x$ .
Obliczamy wysokość pensji po pierwszej podwyżce:
$1, 05 \cdot x zł = 1, 05 x zł$
Następnie podwyżka pensji o $6 %$ oznacza, że nowa płaca stanowi $100 % + 6 % = 106 %$ poprzedniej płacy.
Należy więc obliczyć $106 %$ liczby $1, 05 x$ .
Obliczamy wysokość pensji po drugiej podwyżce:
$1, 06 \cdot 1, 05 x zł = 1, 113 x zł$
Otrzymana płaca jest równa $4674, 60 zł$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:
$1, 113 x = 4674, 60$
Po podzieleniu obu stron tego równania przez $1, 113$ otrzymujemy, że $x = 4200$ .
Wobec tego pani Magdalena przed podwyżkami zarabiała $4200 zł$ .

Przykład 6

Sprawdzimy, czy dwukrotna obniżka ceny pewnego towaru o $15 %$ a następnie podwyżka otrzymanej ceny o $30 %$ powoduje, że otrzymujemy cenę początkową.
Rozwiązanie:
Niech $x$ będzie ceną początkową towaru w $zł$ .

Obniżka ceny towaru o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę towaru po pierwszej obniżce:
$0, 85 \cdot x zł = 0, 85 x zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $0, 85 x$ .
Obliczamy cenę towaru po drugiej obniżce:
$0, 85 \cdot 0, 85 x zł = 0, 7225 x zł$
Następnie podwyżka ceny o $30 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 30 % = 130 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $130 %$ liczby $0, 7225 x$ .
Obliczamy cenę towaru po podwyżce:
$1, 3 \cdot 0, 7225 x zł = 0, 93925 x zł$
Zauważmy, że otrzymana cena nie jest równa cenie początkowej $x zł$ , zatem w wyniku dwukrotnej obniżki, a następnie podwyżki nie otrzymamy ceny, która była na początku.

Notatki

R1K2J4ONt4b9B

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

R1achGC4N2gm3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Cenę towaru najpierw obniżono o $20 %$ , a następnie nową cenę podwyższono o
$20 %$ . Czy teraz cena towaru jest równa cenie początkowej? Dlaczego?

ROvxcxdrM5lrr

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że po obniżce ceny początkowej o $20 %$ , cena towaru stanowi $100 % - 20 % = 80 %$ ceny początkowej. Po podwyżce nowej ceny o $20 %$ , cena towaru stanowi $80 % + 20 % \cdot 80 % = 80 % + 16 % = 96 %$ ceny początkowej.
Odpowiedź: Nowa cena towaru nie jest równa cenie początkowej towaru.

Polecenie 2

Cena wycieczki do Egiptu wynosi $2500 zł$ . Sprawdź, która oferta zakupu wycieczki jest bardziej korzystna:

$I$ . Podwyżka ceny o $20 %$ , a następnie obniżka o $12 %$ .

$II$ . Obniżka ceny o $12 %$ , a następnie podwyżka o $20 %$ .

RJBszBGuiEEvh

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z Przykładu $4$ zawartego w animacji.

$I$ . Podwyżka ceny o $20 %$ , a następnie obniżka o $12 %$ .
Podwyżka ceny o $20 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 20 % = 120 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $120 %$ liczby $2500$ .
Obliczamy cenę wycieczki po podwyżce:
$1, 2 \cdot 2500 zł = 3000 zł$
Następnie obniżka ceny o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 12 % = 88 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $88 %$ liczby $3000$ .
Obliczamy cenę wycieczki po obniżce:
$0, 88 \cdot 3000 zł = 2640 zł$
$II$ . Obniżka ceny o $12 %$ , a następnie podwyżka o $20 %$ .
Obniżka ceny o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 12 % = 88 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $88 %$ liczby $2500$ .
Obliczamy cenę wycieczki po obniżce:
$0, 88 \cdot 2500 zł = 2200 zł$
Następnie podwyżka ceny o $20 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 20 % = 120 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $120 %$ liczby $2200$ .
Obliczamy cenę wycieczki po podwyżce:
$1, 2 \cdot 2200 zł = 2640 zł$
Zatem obie oferty są jednakowo korzystne.

Polecenie 3

Cena laptopa wynosi $1800 zł$ . Oblicz cenę tego laptopa jeżeli:

jego cenę podwyższono o $35 %$ , a następnie obniżono o $15 %$
jego cenę obniżono o $35 %$ , a następnie podwyższono o $15 %$

R1NnAbQMLMRNw

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z Przykładu $5$ zawartego w animacji.

Podwyżka ceny o $35 %$ , a następnie obniżka o $15 %$ .
Podwyżka ceny o $35 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 35 % = 135 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $135 %$ liczby $1800$ .
Obliczamy cenę laptopa po podwyżce:
$1, 35 \cdot 1800 zł = 2430 zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $2430$ .
Obliczamy cenę laptopa po obniżce:
$0, 85 \cdot 2430 zł = 2065, 50 zł$
Obniżka ceny o $35 %$ , a następnie podwyżka o $15 %$ .
Obniżka ceny o $35 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 35 % = 65 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $65 %$ liczby $1800$ .
Obliczamy cenę laptopa po obniżce:
$0, 65 \cdot 1800 zł = 1170 zł$
Następnie podwyżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 15 % = 115 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $115 %$ liczby $1170$ .
Obliczamy cenę laptopa po podwyżce:
$1, 15 \cdot 1170 zł = 1345, 50 zł$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Rzts26bJFO1OP

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1R9zBhH8XVrd

Ćwiczenie 2

Połącz w pary. Niech

p

oznacza procent, o jaki obniżono cenę pewnego towaru, zaś

k

procent, o jaki należy podnieść obniżoną cenę, aby otrzymać cenę początkową.

p = 20 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 50 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 60 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 80 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1LSdL90cEoGd

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1C8kbSVk1fxs

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Jeżeli cena biletu do teatru po dwukrotnej obniżce o

10 %

wynosi

48, 60 zł

, to cena przed obniżkami była równa Tu uzupełnij

zł

. Jeżeli cenę spodni wynoszącą

300 zł

obniżono dwukrotnie o

20 %

, to cena po obniżkach wynosi Tu uzupełnij

zł

. Jeżeli cenę drukarki wynoszącą

400 zł

podniesiono dwukrotnie o

20 %

, to cena po podwyżkach wynosi Tu uzupełnij

zł

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Rlo6UAjo4JTVe

Ćwiczenie 5

Przeprowadzono badania dotyczące zmiany cen paliw na początku i na koniec dnia. Pogrupuj elementy zgodnie z podanym opisem. Cena końcowa paliwa jest wyższa od ceny początkowej, gdy zostanie: Możliwe odpowiedzi: 1. obniżona o

8 %

, a następnie podwyższona o

8 %

, 2. podwyższona o

20 %

, a następnie obniżona o

21 %

, 3. podwyższona o

3 %

, a następnie obniżona o

3 %

, 4. podwyższona o

25 %

, a następnie obniżona o

19 %

, 5. obniżona o

4 %

, a następnie podwyższona o

5 %

, 6. obniżona o

20 %

, a następnie podwyższona o

26 %

Cena końcowa paliwa jest niższa od ceny początkowej, gdy zostanie: Możliwe odpowiedzi: 1. obniżona o

8 %

, a następnie podwyższona o

8 %

, 2. podwyższona o

20 %

, a następnie obniżona o

21 %

, 3. podwyższona o

3 %

, a następnie obniżona o

3 %

, 4. podwyższona o

25 %

, a następnie obniżona o

19 %

, 5. obniżona o

4 %

, a następnie podwyższona o

5 %

, 6. obniżona o

20 %

, a następnie podwyższona o

26 %

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 6

Szkoła językowa $A B C$ podniosła cenę kursu języka angielskiego najpierw o $10 %$ , a następnie o $6 %$ , zaś szkoła językowa $S P E A K$ wprowadziła jednorazową podwyżkę w wysokości $16 %$ . Oblicz, w której szkole kurs językowy jest teraz tańszy, jeżeli przed podwyżką w każdej z nich kosztował $1400 zł$ .

RJBszBGuiEEvh

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy koszt kursu języka angielskiego po dwukrotnej podwyżce dla szkoły językowej $A B C$ .
Obliczamy kwotę pierwszej podwyżki:
$0, 1 \cdot 1400 zł = 140 zł$
Obliczamy cenę kursu po pierwszej podwyżce:
$1400 zł + 140 zł = 1540 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej podwyżki:
$0, 06 \cdot 1540 zł = 92, 40 zł$
Obliczamy cenę kursu po drugiej podwyżce:
$1540 zł + 92, 40 zł = 1632, 40 zł$
Obliczamy koszt kursu języka angielskiego po podwyżce dla szkoły językowej $S P E A K$ .
Obliczamy kwotę podwyżki:
$0, 16 \cdot 1400 zł = 224 zł$
Obliczamy cenę kursu po podwyżce:
$1400 zł + 224 zł = 1624 zł$
Wobec tego, w szkole językowej $S P E A K$ kurs jest tańszy po podwyżce.

RnGnAf0TzFr69

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o. Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz, o ile procent cena pewnego towaru jest niższa od ceny początkowej, jeżeli obniżono tę cenę najpierw o $5 %$ , a następnie o $8 %$ .

RJBszBGuiEEvh

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznacz przez $x$ cenę początkową towaru w $zł$ , a następnie ustal, jaka jest cena towaru po pierwszej obniżce.

Niech $x$ będzie ceną początkową towaru w $zł$ .
Obniżka ceny towaru o $5 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 5 % = 95 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $95 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę towaru po pierwszej obniżce:
$0, 95 \cdot x zł = 0, 95 x zł$
Następnie obniżka ceny o $8 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 8 % = 92 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $92 %$ liczby $0, 95 x$ .
Obliczamy cenę towaru po drugiej obniżce:
$0, 92 \cdot 0, 95 x zł = 0, 874 x zł$
Wobec tego cena po dwóch obniżkach stanowi $87, 4 %$ ceny początkowej.
Zatem nowa cena jest niższa od ceny początkowej o
$100 % - 87, 4 % = 12, 6 %$

Słownik

procent

procent danej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości

rabat

to kwotowa lub procentowa zniżka od ceny danego towaru; udzielana jest najczęściej klientom płacącym gotówką, kupującym duże ilości towaru

kapitalizacja odsetek

dodanie odsetek, które do końca danego okresu wypracował złożony kapitał

Bibliografia

Stewart I., (2022), Po co nam matematyka, Warszawa: Prószyński i S‑ka.