Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

W tym materiale zajmiemy się funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna, czyli fx=ax, ale określonymi dla dowolnej liczby x0. Przyjmiemy, że współczynnik a0.

Zastanówmy się, jak wygląda wykres tej funkcji.

1
Przykład 1

Odczytaj z wykresu lub oblicz na podstawie wzoru jakie wartości przyjmuje funkcja y=1x dla podanych argumentów. Aby sprawdzić swoją odpowiedź, wpisz w puste pole wyznaczoną wartość funkcji oraz naciśnij przycisk.

R6gce5dg1fFKN1
Aplet prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wykres znajdujący się w powyższym przykładzie nazywamy hiperbolą. Ta hiperbola składa się z dwóch ramion położonych symetrycznie względem punktu 0,0. Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani osi X, ani Y.

Przyjrzymy się innym własnościom funkcji fx=1x.

Przykład 2

Odczytaj z wykresu własności funkcji fx=1x.

RTQnx0ylhonWi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Ramiona hiperboli leżą w IIII ćwiartce układu współrzędnych.

  • Funkcja f jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina
    osi Y).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja f nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią X).

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 0,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -,0.

1
Przykład 3

Korzystając z wykresu funkcji fx=1x, narysuj wykres funkcji gx=-1x.

Rz0reeSHzyqT11
Aplet przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce. Wykres funkcji g w drugiej ćwiartce układu rośnie i przechodzi przez punkt (-1, 1), a w czwartej ćwiartce układu również rośnie i przechodzi przez punkt (1, -1).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1bln819Km8JX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytamy z wykresu własności funkcji gx=-1x.

  • Ramiona hiperboli leżą w IIIV ćwiartce układu współrzędnych.

  • Funkcja g jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina osi Y).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja g nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią X).

  • Funkcja g jest rosnąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja g przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału -,0 oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału 0,+.

1
Przykład 4

Wykorzystując poniższy aplet sprawdź:

  • w jaki sposób wartość współczynnika a wpływa na położenie wykresu,

  • jaki związek zachodzi pomiędzy polem prostokąta wyznaczonego przez punkt wykresu a współczynnikiem a.

Analizując opis poniższego apletu, dowiesz się:

  • w jaki sposób wartość współczynnika a wpływa na położenie wykresu,

  • jaki związek zachodzi pomiędzy polem prostokąta wyznaczonego przez punkt wykresu a współczynnikiem a.

RStyFtLuXmERd1
Aplet prezentuje wykres funkcji y = a dzielone przez x w zależności od współczynnika a. Dla a >0 hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dla a <0 hiperbola leży w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Następnie zmieniając wartość współczynnika a tworzymy prostokąty w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, że dwa boki pokrywają się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą hiperbolę. Zauważamy, że pole każdego prostokąta jest równe danej wartości współczynnika a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Odpowiedź:

  • Dla dodatniego współczynnika a hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a dla ujemnego współczynnika a hiperbola leży w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

  • Pole każdego prostokąta jest równe danej wartości współczynnika a.

Przykład 5

Narysuj wykres fx=4x. Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale 0,1

R1TZ4dySsNZdR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji fx=4x w przedziale 0,1 jest równa 4.

Przykład 6

Punkt P=3,-2 leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej fx=ax. Wyznacz wartość współczynnika a.

Z tego, że punktP=3,-2 leży na wykresie fx=ax, wynika, że -2=a3, czyli a=-6.

Przykład 7

Narysuj wykres funkcji fx=-3x. Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od -3.

RDdUW85b33V9H1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź. Funkcja fx=-3x przyjmuje wartości mniejsze od -3 dla argumentów z przedziału 0,1.

R1XAL0W3rFSWl11
Ćwiczenie 1
Połącz w pary wzór hiperboli z punktem, który do niej należy. y=1x+2 Możliwe odpowiedzi: 1. -1,1, 2. 2,0, 3. 0,0, 4. -3,-1 y=3x+2+2 Możliwe odpowiedzi: 1. -1,1, 2. 2,0, 3. 0,0, 4. -3,-1 y=-4x-1+4 Możliwe odpowiedzi: 1. -1,1, 2. 2,0, 3. 0,0, 4. -3,-1 y=2x-12+4 Możliwe odpowiedzi: 1. -1,1, 2. 2,0, 3. 0,0, 4. -3,-1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida