Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zapamiętaj!

Jeżeli w każdym ze składników sumy algebraicznej występuje taki sam czynnik, to można ten wspólny czynnik wyłączyć przed nawias.

Przykład 1

R4BSbCSr1g87q1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Ra4KEScGTCvC61

Zapamiętaj!

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to zamiana sumy algebraicznej na iloczyn.

Ćwiczenie 1

Wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias.

$- 3 x^{2} + 5 x y - 4 x y^{3}$
$4 a^{2} b^{3} - 12 a^{2} b + 8 a^{2} b^{2}$
$- 15 x y^{2} + 3 k l - 9 a b^{3}$
$0, 2 a b + 1, 2 a^{2} b^{2} + 0, 6 a^{3} b^{2}$
$\frac{1}{2} x y - \frac{1}{4} x^{2} y^{2} + \frac{1}{8} x y^{3}$
$- 4, 8 a b c^{2} + 2, 4 a^{2} b^{3} c + 1, 2 a b c$

R1aG0X095Wi53

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$- x (3 x - 5 y + 4 y^{3})$
$4 a^{2} b (b^{2} - 3 + 2 b)$
$- 3 (5 x y^{2} - k l + 3 a b^{3})$
$0, 2 a b (1 + 6 a b + 3 a^{2} b)$
$\frac{1}{2} x y (1 - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2})$
$- 1, 2 a b c (4 c - 2 a b^{2} - 1)$

Ćwiczenie 2

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias i doprowadź wyrażenie w nawiasie do najprostszej postaci.

$(3 x - 5 y) (- 3 x + 2 y) + (3 x - 5 y) (4 x + 3 y)$
$(- 2 a + 3 b) (x - y) - (- 2 a + 3 b) (- 2 x + 5 y)$
$(3 a b - 5 c) (- 2 a + 4 b - c) + (3 a b - 5 c) (a + 3 b - 2 c)$
$(4 x^{2} + 5 y^{2}) (- 3 x^{2} - 2 y^{2}) - (4 x^{2} + 5 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2})$
$(a - 2 b) (4 a + 5 b) - (a - 2 b) (- 3 a + 8 b) + (a - 2 b) (- a + 4 b)$

RAHJFwgw1YzgB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$(3 x - 5 y) (x + 5 y)$
$(- 2 a + 3 b) (3 x - 6 y)$
$(3 a b - 5 c) (- a + 7 b - 3 c)$
$(4 x^{2} + 5 y^{2}) (- 4 x^{2} - 5 y^{2})$
$(a - 2 b) (6 a + b)$

R1CK5YFp5YxfT1

Ćwiczenie 3

Przeciągnij i upuść podane wyrażenia tak, aby otrzymane równości były prawdziwe.

18 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} + 12 x y^{2} =

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

(6 x^{2} - x + 4)

- 20 a^{2} b^{2} + 15 a^{4} b^{3} + 30 a^{3} b^{4} = - 5 a^{2} b^{2} (

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 3

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 6 a b^{2})

0, 5 x y^{4} - 2, 5 x^{2} y^{3} + 1, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{2} = 0, 5 x y^{2} (

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 5 x y +

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 2 x)

\frac{1}{3} a b^{2} - \frac{2}{9} a^{2} b + \frac{5}{12} a b - \frac{7}{15} a^{3} b^{2} =

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

(b - \frac{2}{3} a + \frac{5}{4} - \frac{7}{5} a^{2} b)

2 k^{4} l^{3} m - 8 k l^{3} m^{2} + 10 k^{3} l^{2} m^{3} - 12 k^{2} l m^{2} = 2 k l m (

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 4 l^{2} m +

3 x^{2}

, 2.

5 k^{2} l m^{2}

, 3.

a^{2} b

, 4.

y^{2}

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{3} a b

, 7.

k^{2} l^{3}

, 8.

3 x y^{2}

, 9.

3 a b

, 10.

k^{3} l^{2}

- 6 k m)

Przeciągnij i upuść podane wyrażenia tak, aby otrzymane równości były prawdziwe.

$3 x y^{2}$ , $\frac{1}{3} a b$ , $3 a b$ , , $y^{2}$ , $4$ , $5 k^{2} l m^{2}$ , $k^{2} l^{3} </math,$ $a^{2} b$ , $k^{3} l^{2}$ , $3 x^{2}$

a) $18 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} + 12 x y^{2} =$ .......................... $(6 x^{2} - x + 4)$
b) $- 20 a^{2} b^{2} + 15 a^{4} b^{3} + 30 a^{3} b^{4} = - 5 a^{2} b^{2} ($ .......................... $- 3$ .......................... $- 6 a b^{2})$
c) $0, 5 x y^{4} - 2, 5 x^{2} y^{3} + 1, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{2} = 0, 5 x y^{2} ($ .......................... $- 5 x y +$ .......................... $- 2 x)$
d) $\frac{1}{3} a b^{2} - \frac{2}{9} a^{2} b + \frac{5}{12} a b - \frac{7}{15} a^{3} b^{2} =$ .......................... $(b - \frac{2}{3} a + \frac{5}{4} - \frac{7}{5} a^{2} b)$
e) $2 k^{4} l^{3} m - 8 k l^{3} m^{2} + 10 k^{3} l^{2} m^{3} - 12 k^{2} l m^{2} = 2 k l m ($ .......................... $- 4 l^{2} m +$ .......................... $- 6 k m)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoAGFuDtbjxdJ1

Ćwiczenie 4

$2 xy (10 x^{2} y^{3} - 7 x y^{2} + 4 xy)$
$2 x^{2} y^{2} (10 x y^{2} - 7 y + 4)$
$2 x^{2} (10 x y^{4} - 7 y^{3} + 4 y^{2})$
$2 y^{2} (10 x^{3} y^{2} - 7 x^{2} y + 4 x^{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rd6IuCHo7abJS2

Ćwiczenie 5

$(3 x - 4 y) (- 3 xy + 8 z)$
$(3 x - 4 y) (- xy - 2 z)$
$(3 x - 4 y) (- 3 xy - 2 z)$
$(3 x - 4 y) (- xy + 8 z)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJpFamFgkQKZL2

Ćwiczenie 6

Długość boku kwadratu o obwodzie $8 a^{2} + 12 ab$ wynosi $2 a + 3 b$ .
Szerokość prostokąta o polu $9 x^{2} y^{2} + 6 {xy}^{2}$ i długości $3 {xy}^{2}$ wynosi $3 x + 2$ .
Wysokość trapezu o polu $\frac{1}{2} x^{2}$ + $\frac{1}{4} xy$ i sumie podstaw $x$ wynosi $x + \frac{1}{2} y$ .
Długość przekątnej rombu o polu $0,25 a^{2} b + 1,5 ab$ i drugiej przekątnej długości $ab$ wynosi $0,5 a + 0,3$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAxlplgLKOCwq2

Ćwiczenie 7

Przeciągnij i upuść podane wyrażenia tak, aby otrzymane równości były prawdziwe.

5 x^{2} - 2 x + 1 = 5 x

(- \frac{4}{3} x + y)

, 2.

(b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2})

, 3.

(\frac{y}{x} - 2)

, 4.

(x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x})

, 5.

(x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x})

, 6.

(2 + \frac{5}{2 b})

, 7.

(b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2})

8 a b + 10 a = 4 a b

(- \frac{4}{3} x + y)

, 2.

(b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2})

, 3.

(\frac{y}{x} - 2)

, 4.

(x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x})

, 5.

(x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x})

, 6.

(2 + \frac{5}{2 b})

, 7.

(b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2})

- 4 x^{2} y + 3 x y^{2} = 3 x y

(- \frac{4}{3} x + y)

, 2.

(b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2})

, 3.

(\frac{y}{x} - 2)

, 4.

(x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x})

, 5.

(x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x})

, 6.

(2 + \frac{5}{2 b})

, 7.

(b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2})

3 x y - 6 x^{2} = 3 x^{2}

(- \frac{4}{3} x + y)

, 2.

(b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2})

, 3.

(\frac{y}{x} - 2)

, 4.

(x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x})

, 5.

(x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x})

, 6.

(2 + \frac{5}{2 b})

, 7.

(b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2})

2 a b - 3 b^{2} + a^{2} = 2 a

(- \frac{4}{3} x + y)

, 2.

(b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2})

, 3.

(\frac{y}{x} - 2)

, 4.

(x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x})

, 5.

(x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x})

, 6.

(2 + \frac{5}{2 b})

, 7.

(b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2})

Przeciągnij i upuść podane wyrażenia tak, aby otrzymane równości były prawdziwe.

$b - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{2}{2}$ , $x - \frac{2}{5} + \frac{1}{5 x}$ , $\frac{y}{x} - 2$ , $b - \frac{3 b^{2}}{2 a} + \frac{a}{2}$ , $- \frac{4}{3} x + y$ , $x - \frac{2}{5} x - \frac{1}{5 x}$ , $2 + \frac{5}{2 b}$

a) $5 x^{2} - 2 x + 1 = 5 x ($ .................... $)$
b) $8 a b + 10 a = 4 a b ($ .................... $)$
c) $- 4 x^{2} y + 3 x y^{2} = 3 x y ($ .................... $)$
d) $3 x y - 6 x^{2} = 3 x^{2} ($ .................... $)$
e) $2 a b - 3 b^{2} + a^{2} = 2 a ($ .................... $)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnA0PsQLdhOva2

Ćwiczenie 8

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

2 x^{2} y^{3} - 4 x y^{2} + 8 x^{2} y

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x^{2} y (5 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2)

, 2.

2 x y (2 y^{2} - 6 x y + 3 x)

, 3.

2 x y (x y^{2} - 2 y + 4 x)

, 4.

3 x^{2} y^{2} (2 x - 1 + 4 y)

, 5.

6 x^{2} y^{2} (3 x y^{2} - y + 2 x^{2})

6 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} + 12 x^{2} y^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x^{2} y (5 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2)

, 2.

2 x y (2 y^{2} - 6 x y + 3 x)

, 3.

2 x y (x y^{2} - 2 y + 4 x)

, 4.

3 x^{2} y^{2} (2 x - 1 + 4 y)

, 5.

6 x^{2} y^{2} (3 x y^{2} - y + 2 x^{2})

4 x y^{3} - 12 x^{2} y^{2} + 6 x^{2} y

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x^{2} y (5 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2)

, 2.

2 x y (2 y^{2} - 6 x y + 3 x)

, 3.

2 x y (x y^{2} - 2 y + 4 x)

, 4.

3 x^{2} y^{2} (2 x - 1 + 4 y)

, 5.

6 x^{2} y^{2} (3 x y^{2} - y + 2 x^{2})

10 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x^{2} y (5 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2)

, 2.

2 x y (2 y^{2} - 6 x y + 3 x)

, 3.

2 x y (x y^{2} - 2 y + 4 x)

, 4.

3 x^{2} y^{2} (2 x - 1 + 4 y)

, 5.

6 x^{2} y^{2} (3 x y^{2} - y + 2 x^{2})

18 x^{3} y^{4} - 6 x^{2} y^{3} + 12 x^{4} y^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x^{2} y (5 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2)

, 2.

2 x y (2 y^{2} - 6 x y + 3 x)

, 3.

2 x y (x y^{2} - 2 y + 4 x)

, 4.

3 x^{2} y^{2} (2 x - 1 + 4 y)

, 5.

6 x^{2} y^{2} (3 x y^{2} - y + 2 x^{2})

Połącz w pary.

$2 x^{2} y^{3} - 4 x y^{2} + 8 x^{2} y$
$6 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} + 12 x^{2} y^{3}$
$4 x y^{3} - 12 x^{2} y^{2} + 6 x^{2} y$
$10 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y$
$18 x^{3} y^{4} - 6 x^{2} y^{3} + 12 x^{4} y^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1c0mjaetAT5Y2

Ćwiczenie 9

Dostępne opcje do wyboru:

2

x^{2} y^{3}

\sqrt{3}

3 \sqrt{3}

2

4

2 \sqrt{3}

3

3

b^{2}

2

x^{2} y^{2}

. Polecenie: Przeciągnij i upuść odpowiednie wyrażenia lub liczby tak, aby otrzymać prawidłowe równości po wyciągnięciu największego wspólnego czynnika przed nawias.

3 x^{3} y^{4} - 2 x^{2} y^{3} + x^{2} y^{5} =

luka do uzupełnienia

(

luka do uzupełnienia

x y^{2} -

luka do uzupełnienia

y + y^{3})

\sqrt{12} a b^{3} - 4 a^{2} b^{4} + 4 \sqrt{3} a^{3} b^{2} = 2 a

luka do uzupełnienia

(

luka do uzupełnienia

b -

luka do uzupełnienia

a b^{2} +

luka do uzupełnienia

a^{2}

\sqrt{27} x y^{2} - 9 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 6 \sqrt{3} x^{2} y =

luka do uzupełnienia

x y (y -

luka do uzupełnienia

x y +

luka do uzupełnienia

x)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RitcREqIH7ouw2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Ania kupiła $4$ zeszyty po $a zł$ i $2$ długopisy, z których każdy był o $y %$ tańszy od zeszytu. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego koszt zakupów Ani, a następnie przedstaw to wyrażenie w postaci iloczynu.

RhAuP9uhoeVp4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$4 a + 2 (a - \frac{y}{100} \cdot a) = 4 a + 2 a - 2 a \cdot \frac{y}{100} = 6 a - 2 a \cdot \frac{y}{100} = 2 a (3 - \frac{y}{100})$ .

Ćwiczenie 12

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach $2 a + 3 b$ i $3 a - b$ , a wysokość prostopadłościanu wynosi $a + 3 b$ . Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu. Wyrażenie przedstaw w postaci iloczynu.

R9RC96OAKl5XL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 (2 a + 3 b) (a + 3 b) + 2 (3 a - b) (a + 3 b) = 2 (a + 3 b) [(2 a + 3 b) + (3 a - b)] =$ $= 2 (a + 3 b) (5 a + 2 b)$ .

Ćwiczenie 13

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których najmniejszą jest $2 n + 1$ , jest podzielna przez $3$ .

RW64SHM6xjfw7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kolejne liczby nieparzyste będą od siebie większe o $2$ , wykorzystaj to i ułóż odpowiednie wyrażenie algebraiczne. Aby udowodnić podzielność przez $3$ trzeba wyłączyć czynnik $3$ przed nawias otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

$2 n + 1 + 2 n + 3 + 2 n + 5 = 6 n + 9 = 3 (2 n + 3)$ .

Ćwiczenie 14

Wykaż, że różnica liczby trzycyfrowej, której cyfrą setek jest $x$ , cyfrą dziesiątek jest $y$ , a cyfrą jedności jest $z$ , i liczby trzycyfrowej, która powstanie po zamianie miejscami cyfr setek i jedności jest podzielna przez trzy.

R1WH3RdTIYWKW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że dowolną liczbę trzycyfrową można zapisać w postaci $s \cdot 100 + d \cdot 10 + j$ , gdzie $s$ to cyfra setek, $d$ to cyfra dziesiątek i $j$ to cyfra jedności.

$100 x + 10 y + z - 100 z - 10 y - x = 99 x - 99 z = 3 (33 x - 33 z)$ .

Ćwiczenie 15

Wyznacz, za pomocą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, długość boku kwadratu, którego obwód jest równy obwodowi prostokąta o bokach $5 a + 2 b - 8$ i $3 a - b + 2$ .

Rv3VEtufsjpqy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz obwód tego prostokąta, a następnie wyłącz $4$ przed nawias otrzymanego wyrażenia.

$4 (4 a + 0, 5 b - 3)$ .

Długość boku kwadratu jest równa $4 a + 0, 5 b - 3$ .

Ćwiczenie 16

Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych, z których najmniejszą jest $2 n$ , jest podzielna przez $4$ .

R183jNjlnsJ0s

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kolejne liczby parzyste będą o $2$ większe od poprzednich, wykorzystaj to i ułóż odpowiednie wyrażenie algebraiczne. Aby udowodnić podzielność przez $4$ trzeba wyłączyć czynnik $4$ przed nawias otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

${(2 n)}^{2} + {(2 n + 2)}^{2} + {(2 n + 4)}^{2} = 4 n^{2} + 4 n^{2} + 8 n + 4 + 4 n^{2} + 16 n + 16 =$

$= 12 n^{2} + 24 n + 20 = 4 \cdot (3 n^{2} + 6 n + 5)$ .