Wyznaczanie gęstości ciał stałych za pomocą wagi i linijki

Czy można wyznaczyć gęstość za pomocą wagi i linijki? Czy jest to możliwe w przypadku każdego ciała o dowolnym kształcie, np. takiego, jakie widzisz na poniższym zdjęciu? Jeśli chcesz poznać odpowiedzi na te pytania, czytaj dalej.

R1C9xpv2CPj7o

Zdjęcie przedstawia metalową kulę z odpryskami niebieskiej farby na powierzchni. Kula jest częścią poręczy pomalowanej na niebiesko, a w tle widać wodę, prawdopodobnie w jakimś porcie. — Wyznaczanie gęstości ciał o regularnych kształtach wymaga jedynie wyznaczenia ich masy i zmierzenia wymiarów oraz wykorzystania podstawowych wzorów geometrycznych. Na zdjęciu kula, będąca dekoracyjnym zakończeniem słupka balustrady
Źródło: dostępny w internecie: https://www.pxfuel.com/ [dostęp 6.01.2022], domena publiczna.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

co jest miarą ilości materii;
określenie objętości ciała;
definicję gęstości ciała;
gdzie można znaleźć wartości gęstości różnych ciał.

Nauczysz się

wyznaczać eksperymentalnie gęstość ciał o regularnych kształtach, np. prostopadłościanu, walca i kuli.

Przygotuj przed lekcją:

kauczukową piłeczkę o średnicy nie większej niż $10 cm$ ;
monetę jednozłotową.

Wyznaczanie objętości brył

Jeśli badamy ciała o regularnych kształtach, procedurę wyznaczania ich objętości możemy uprościć. W tym celu należy skorzystać z zależności matematycznych, wiążących objętość z wymiarami liniowymi badanego ciała.

Ćwiczenie 1

R2fgPiAr38ues

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1MZzfCZxWJRW

Przeczytaj poniższe zdania i zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Średnicę kulki lub walca można wyznaczyć przy użyciu trzech klocków i linijki.
Średnicę kulki można łatwo można łatwo zmierzyć linijką.
Średnicę kulki można wyznaczyć za pomocą suwmiarki.

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RGNbEkyEWHUGT

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Z dołączonego rysunku odczytaj wymiary poszczególnych części ciała i oblicz jego objętość.

R1MNFqYPeuJt92

Ilustracja przedstawia bryłę. Tło białe. Bryła szara, wyglądem przypominająca śrubę. Bryła składa się z walca i półkuli. Walec stoi pośrodku płaskiej części półkuli. Na ilustracji zaznaczono wymiary tak powstałej bryły. Średnica podstawy walca: 2r = 4 cm. Wysokość walca: h = 20 cm. Średnica półkuli: 2R = 10 cm. — Wyznaczanie objętości ciał na podstawie ich wymiarów
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

RuiTZnnqUZGio

Ciało to składa się z dwóch części: walca oraz półkuli. Zaczniemy od półkuli.
Objętość kuli liczymy ze wzoru $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}$ , gdzie $R = 5 cm$ (możemy odczytać to z rysunku). Objętość półkuli to oczywiście połowa tej wartości.

Następnie korzystamy ze wzoru na objętość walca $V = π \cdot r^{2} \cdot h$ , gdzie $r = 2 cm$ i $h = 20 cm$ (ponownie, odczytujemy te wartości z rysunku).

Po dodaniu wszystkich wyników pośrednich, otrzymujemy wynik: $V = 513, 1 {cm}^{3}$

Wyznaczanie gęstości ciał o kształtach regularnych

Gęstość ciała wyznaczamy na postawie znajomości jego masy i objętości. Objętość otrzymujemy metodą rachunkową – do wzoru podstawiamy uzyskane w wyniku pomiarów wymiary ciała. Waga laboratoryjna lub mniej dokładna waga kuchenna pozwalają wyznaczyć masę ciała.

gęstość = \frac{masa}{objętość}

d = \frac{m}{V} [\frac{kg}{m^{3}}]

Ćwiczenie 5

Za pomocą poniższej aplikacji sprawdź masę ciał, po czym oblicz ich gęstości. Uzupełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie wartości, zaokrąglając do dwóch cyfr znaczących.

R1ZUiLs9uUWYC

Symulacja pomiaru gęstości ciał o kształtach regularnych
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Wyznacz gęstość monety jednozłotowej.

RFa5J08NaYTON2

Moneta jednozłotowa jest z grubsza walcem, zatem wystarczy zmierzyć jej wysokość i średnicę suwmiarką. Wszystkie pomiary i wyniki podane poniżej są przykładowe i mogą się delikatnie różnić od wartości rzeczywistych. Otrzymujemy wyniki odpowiednio $0, 16 cm$ oraz $2, 28 cm$ . Stąd możemy łatwo obliczyć promień i podstawić go do wzoru na objętość walca: $V = π \cdot r^{2} \cdot h$ .

Kolejnym krokiem jest pomiar masy, dokonujemy go za pomocą wagi. Masa jednozłotówki wynosi $5, 0 g$ .

Następnie korzystamy ze znanego już wzoru na gęstość i otrzymujemy wynik:

$d = 7, 65 \frac{g}{{cm}^{3}}$ .

Ciekawostka

Nawet jeśli nie znasz budowy wewnętrznej ciała, a chcesz wyznaczyć jego gęstość, wystarczy, że posłużysz się jedynie linijką i wagą. Otrzymasz wtedy wielkość nazywaną średnią gęstością ciała. Wnętrze przedmiotu może być niejednorodne.

Oznacza to, że w jego wnętrzu mogą znajdować się wolne przestrzenie (kawerny) wypełnione gazem, które są przyczyną odchylenia pomiędzy rzeczywistą a przewidywaną masą ciała.

Obliczanie objętości i masy

m = d \cdot V

[kg] = [\frac{kg}{m^{3}} \cdot m^{3}]

W jaki sposób możesz wyznaczyć objętość ciała, jeśli znasz jego gęstość?

$V = \frac{m}{d}$ ,
$[\frac{k g}{\frac{k g}{m^{3}}}] = [k g \cdot \frac{m^{3}}{k g}] = [m^{3}]$ ,

gdzie:
$m$ – masa;
$d$ – gęstość;
$V$ – objętość.

RfS0JhOwjnNJ51

Ćwiczenie 7

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Wyznacz masę powietrza w swojej sali lekcyjnej. Jeśli nie jesteś w stanie wyznaczyć jej wymiarów, poproś o pomoc nauczyciela.

R9Uw71Qrr5ZqM2

Posłużymy się tutaj salą lekcyjną o wymiarach $6 m \times 10 m \times 3, 5 m$ . Ma ona objętość $210 m^{3}$ . Sprawdzamy gęstość powietrza w warunkach normalnych
$(1, 225 \frac{kg}{m^{3}})$ . Następnie korzystamy ze wzoru $m = d \cdot V$ .

$m = 257, 25 kg$ .

Ćwiczenie 9

R3RBJTUFLRMFc2

Pewien kierowca zapłacił za tankowanie samochodu

65 zł

. Cena benzyny, którą nalał do baku auta, wynosiła

5, 20 zł

za litr.
Odpowiedz na poniższe pytania i uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując poprawne wartości. Na ile litrów benzyny starczyło kierowcy pieniędzy?
Odpowiedź: Kierowcy starczyło pieniędzy na zakup Tu uzupełnij litrów benzyny.Jaka jest masa zakupionej benzyny, jeżeli jej gęstość wynosi

720 \frac{kg}{m^{3}}

?
Odpowiedź: Masa zakupionej benzyny jest równa

m =

Tu uzupełnij

kg

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Jeśli pływak ma płuca wypełnione powietrzem, może unosić się swobodnie tuż pod powierzchnią wody (np. w basenie). Gdy wydycha powietrze, zaczyna się zanurzać. Oblicz pojemność płuc pływaka. Przyjmij, że zmiana masy jego ciała wyniosła
$3, 87 g$ .

R1EzinJpLHRuK2

Odczytujemy gęstość powietrza z tablic (tutaj przykładowo bierzemy wartość $1, 256 \frac{g}{{dm}^{3}}$ ) i korzystamy ze wzoru $V = \frac{m}{d}$ .

$V = 3, 08 {dm}^{3}$

Niepewność wyniku pomiaru

Wykonaj z kolegami i koleżankami z klasy następujące doświadczenie: za pomocą linijki o długości $20 cm$ zmierzcie długość stołu. Niech każda z osób zapisze wynik swojego pomiaru i nie informuje pozostałych kolegów o zanotowanej wartości. Gdy wykonacie zadanie, wypiszcie wyniki na tablicy. Zwróćcie uwagę, że różnią się one od siebie. Dlaczego tak się stało?

Wynik każdego pomiaru różni się od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej. Mówimy, że wynik każdego pomiaru fizycznego obarczony jest niepewnością pomiarowąniepewność pomiaruniepewnością pomiarową. Wynika ona zarówno z metody samego pomiaru, jak i z dokładności użytego przyrządu.

Zastanów się, dlaczego uzyskane wyniki nie są jednakowe. Zaproponuj sposób, który dałby mniejsze rozbieżności.

Wiesz już, że wyniki wszystkich pomiarów są odczytywane z pewną dokładnością. Pomiar długości lub średnicy, wykonywany za pomocą linijki ze skalą milimetrową daje wynik z dokładnością do $1$ milimetra. Jeżeli oceniasz, że średnica kulki wynosi $2, 5 cm$ , to tak naprawdę mieści się ona w granicach od $2, 4 cm$ do $2, 6 cm$ . Podobny problem wystąpi przy pomiarze masy. Powiedzmy, że waga kuchenna ma podziałkę, w której odległości między sąsiednimi kreskami odpowiadają $2 g$ . W tej sytuacji można przyjąć, że niepewność wyznaczenia masy wynosi $2 g$ . Czyli masa np. kulki mieści się w granicach między $68 g$ a $64 g$ . Jeśli podczas obliczania gęstości kulki przyjmiesz, że średnica kulki jest równa $2, 5 cm$ , a masa – $66 g$ , nie uzyskasz prawdziwego wyniku. W jakich granicach zawiera się prawidłowy wynik gęstości kulki? Wzór na gęstość to $d = \frac{m}{V}$ . Jest to ułamek, którego maksymalna wartość osiągana jest wtedy, gdy jego licznik jest maksymalny, a mianownik minimalny. Jeżeli zatem chcemy wyznaczyć maksymalną wartość gęstości, to do obliczeń podstawiamy maksymalną wartość wyznaczonej masy i minimalną wartość wyznaczonej objętości (czyli bierzemy pod uwagę minimalny promień). Przedstawiono to w poniższej tabelce:

**Wyznaczanie minimalnej i maksymalnej gęstości**
Minimalny promień	Maksymalny promień	Minimalna masa	Maksymalna masa	Minimalna objętość	Maksymalna objętość
$1, 2 cm$	$1, 3 cm$	$64 g$	$68 g$	$7, 2 {cm}^{3}$	$9, 2 {cm}^{3}$
$minimalna gęstość = \frac{minimalna masa}{maksymalna objętość}$			$maksymalna gęstość = \frac{maksymalna masa}{minimalna objętość}$
$d_{\min} = \frac{64 g}{9, 2 {cm}^{3}} = 7, 0 \frac{g}{{cm}^{3}}$			$d_{\max} = \frac{68 g}{7, 2 {cm}^{3}} = 9, 4 \frac{g}{{cm}^{3}}$

Jak zatem wynika z naszych obliczeń (koniecznie je sprawdź!), prawdziwa wartość gęstości kulki mieści się w granicach od $7, 0 \frac{g}{{cm}^{3}}$ do $9, 4 \frac{g}{{cm}^{3}}$ . Zwróć uwagę, że wszystkie dane oraz wyniki zapisywaliśmy z jednakową dokładnością - dokładnością do $2$ cyfr znaczących.

RDv7odvBbVlHY2

Ćwiczenie 11

Które odpowiedzi są prawdziwe, a które fałszywe? Zaznacz prawdziwe.

Nigdy nie jesteśmy w stanie przeprowadzić idealnie dokładnego pomiaru fizycznego.
Niepewność pomiaru wszystkich użytych przyrządów pomiarowych w danym eksperymencie będzie miała wpływa na końcowy wynik eksperymentu.
Przy użyciu bardzo dokładnej linijki jesteśmy w stanie otrzymać bezbłędny wynik pomiaru.

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

W przypadku ciał o regularnych kształtach procedurę wyznaczania objętości można uprościć. W tym celu należy skorzystać z zależności matematycznych, wiążących objętość z wymiarami liniowymi badanego ciała.
Chcąc wyznaczyć gęstość ciała, musimy zmierzyć jego masę i objętość oraz skorzystać ze wzoru:
$gęstość = \frac{masa}{objętość}$
$[d] = [\frac{m}{V}] = \frac{kg}{m^{3}}$
Jeśli znamy gęstość i objętość ciała, możemy obliczyć jego masę. W tym celu korzystamy ze wzoru:
$m = d \cdot V$
$kg = \frac{kg}{m^{3}} \cdot m^{3}$
Objętość ciała o znanej masie i gęstości obliczamy za pomocą wzoru:
$V = \frac{m}{d}$
$m^{3} = \frac{kg}{\frac{kg}{m^{3}}}$
Wynik pomiaru różni się od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej. Mówimy, że wynik każdego pomiaru fizycznego obarczony jest niepewnością pomiarowąniepewność pomiaruniepewnością pomiarową. Ta niepewność wynika zarówno z metody samego pomiaru, jak i dokładności użytego przyrządu. Przyczyną może być także niedokładne odczytanie wyników na skali przyrządu.
Na niepewność pomiaru mają także wpływ cechy przedmiotu badań.

Ćwiczenie 12

Wyznacz doświadczalnie gęstość mleka. W razie potrzeby, poproś kogoś o pomoc przy wykonywaniu pomiarów.

R7TOlsEQJWWW6

Wybierz szklankę w kształcie walca. Za pomocą wagi wyznacz masę pustej szklanki. Napełnij ją mlekiem do mniej więcej $\frac{3}{4}$ objętości i ponownie wyznacz masę. Za pomocą linijki dokonaj pomiaru wymiarów, które pozwolą na obliczenie objętości mleka. Pamiętaj, żeby mierzyć średnicę wewnętrzną - grubość ścianek powodowałaby blędny wynik.

$d = 1, 030 \frac{kg}{{dm}^{3}}$ .

Zadania

RuDoMe9s4uKdH1

Ćwiczenie 13

Arek, Justyna i Monika rozmawiają o tym, czym jest objętość. Zapoznaj się z opinią każdej z osób i zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Arek: objętość to wielkość przestrzeni zajmowanej przez ciało.
Justyna: objętość to ilość płynu, jaka może zmieścić się w środku bryły.
Monika: objętość to ilość powietrza, jaka może zmieścić się wewnątrz ciała.

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ren3KGTSlsHhq3

Ćwiczenie 14

Które informacje są prawdziwe, a które fałszywe?

	Prawda	Fałsz
Nie da się wyznaczyć gęstości ciała o regularnych kształtach przy użyciu wagi i linijki.	□	□
Objętość ciała o regularnych kształtach można wyznaczyć mierząc objętość wypartej przez to ciało cieczy.	□	□
Bez użycia skomplikowanej aparatury badawczej nie jesteśmy w stanie wyznaczyć gęstości ciała o regularnych kształtach.	□	□

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Słownik

niepewność pomiaru

mówimy, że wynik każdego pomiaru fizycznego obarczony jest niepewnością pomiarową. Ta niepewność wynika zarówno z metody samego pomiaru, jak i dokładności użytego przyrządu. Przyczyną może być także niedokładne odczytanie wyników na skali przyrządu. Na niepewność pomiaru mają także wpływ cechy przedmiotu badań, takie jak sprężystość bądź plastyczność.