Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Przypomnijmy, że każdą funkcję kwadratową $f$ określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a$ , $b$ oraz $c$ to liczby rzeczywiste, przy czym liczba $a$ jest różna od zera, możemy zapisać w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .

Ponadto każdą taką funkcję kwadratową, której wyróżnik jest nieujemny, możemy też zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

gdzie $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ to miejsca zerowe tej funkcji.

W poniższych przykładach pokażemy, w jaki sposób można wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Przykład 1

Funkcja kwadratowa $f (x) = x^{2} + 4 x + c$ osiąga wartość najmniejszą równą $- 7$ .

Wyznaczymy wartość współczynnika $c$ .

Rozwiązanie.

Z treści zadania wynika, że współrzędna $q$ wierzchołka wykresu funkcji $f$ jest równa $- 7$ . Możemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów.

sposób $I$

Obliczamy wyróżnik funkcji $f$

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 16 - 4 c

Podstawiamy do wzoru $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .

q = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{- (16 - 4 c)}{4 \cdot 1} = - 7

Stąd $4 c - 16 = - 28$ , $4 c = - 12$ , $c = - 3$ .

sposób $II$

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji $p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ . Wobec tego

f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + c = - 7

stąd $c = - 3$ .

sposób $III$

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka: $p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ i $f (- 2) = - 7$ . Wobec tego funkcję $f$ można zapisać wzorem w postaci kanonicznej $f (x) = {(x + 2)}^{2} - 7$ , stąd

f (x) = x^{2} + 4 x + 4 - 7 = x^{2} + 4 x - 3

czyli $c = - 3$ .

sposób $IV$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej

f (x) = x^{2} + 4 x + c = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + c = {(x + 2)}^{2} + c - 4

Zatem funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą $c - 4$ dla $x = - 2$ . Ponieważ $f (- 2) = - 7$ , to $c - 4 = - 7$ , czyli $c = - 3$ .

R1DlNO6tDqGSw1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do dwunastu oraz z pionową osią Y od minus ośmiu do dwunastu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę funkcji fx=x2+4x+c z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola ma wierzchołek w punkcie -2,-7. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsM5NXUfk4Zmv1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = - 3 x^{2} + b x - 14$ jest $7$ .

Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ .

Rozwiązanie.

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że

f (7) = - 3 \cdot 7^{2} + b \cdot 7 - 14 = 0

Zatem $- 147 + 7 b - 14 = 0$ , stąd $7 b = 161$ , czyli $b = 23$ .

sposób $II$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f (x) = - 3 x^{2} + b x - 14$ można zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = - 3 (x - 7) (x - x_{2})

gdzie $x_{2}$ to drugie miejsce zerowe funkcji $f$ .

Postać iloczynową przekształcamy do postaci ogólnej, stąd

f (x) = - 3 (x^{2} - 7 x - x_{2} x + 7 x_{2}) = - 3 x^{2} + (21 + 3 x_{2}) x - 21 x_{2}

Porównując współczynniki, stwierdzamy, że $- 21 x_{2} = - 14$ oraz $b = 21 + 3 x_{2}$ .

Zatem drugim pierwiastkiem jest $x_{2} = \frac{2}{3}$ , więc $b = 21 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 23$ .

sposób $III$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f (x) = - 3 x^{2} + b x - 14$ można zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = - 3 (x - 7) (x - x_{2})

gdzie $x_{2}$ to drugie miejsce zerowe funkcji $f$ .

Jedynym wyrazem niezależnym od $x$ w tym wzorze jest $- 3 \cdot (- 7) \cdot x_{2}$ , zatem $- 3 \cdot (- 7) \cdot x_{2} = - 14$ , a stąd $x_{2} = \frac{2}{3}$ . Liczba $\frac{2}{3}$ jest więc miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem

f (\frac{2}{3}) = - 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + b \cdot \frac{2}{3} - 14 = 0

Wobec tego $- \frac{4}{3} + \frac{2}{3} b - 14 = 0$ , $\frac{2}{3} b = 14 \frac{4}{3}$ , $\frac{2}{3} b = \frac{46}{3}$ , czyli $b = 23$ .

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = - (x + 1) (x - 3)

Rozwiązanie

sposób $I$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci ogólnej

f (x) = - (x + 1) (x - 3) = - (x^{2} + x - 3 x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3

Wobec tego współrzędne wierzchołka tej paraboli to: $p = \frac{- 2}{2 \cdot (- 1)} = 1$ , $q = f (1) = - 1^{2} + 2 + 3 = 4$ . Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 4)$ .

sposób $II$

Ponieważ $f (x) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 1$ lub $x = 3$ , to funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $- 1$ oraz $3$ . Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ to jednocześnie symetralna odcinka, którego końcami są punkty $(- 1, 0)$ i $(3, 0)$ .

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych $(\frac{- 1 + 3}{2}, 0)$ , więc jest to prosta o równaniu $x = 1$ . Stąd $p = 1$ oraz $q = f (1) = - (1 + 1) (1 - 3) = 4$ .

Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 4)$ .

Przykład 4

Współrzędne wierzchołka paraboli

Obliczymy współrzędne wierzchołka paraboli, wykorzystując jej postać iloczynową $f (x) = - (x + 4) (x - 2)$ . Miejsca zerowe funkcji to $x_{1} = 2$ oraz $x_{2} = - 4$ . Osią symetrii funkcji kwadratowej jest prosta $x = \frac{2 + (- 4)}{2} = - 1$ . Wierzchołek paraboli będzie więc miał współrzędne $W = (- 1, y_{w})$ , gdzie $y_{w}$ jest wartością funkcji dla argumentu $x_{w}$ .

$y_{w} = f (x_{w}) = f (- 1) = - (- 1 + 4) (- 1 - 2) = 9$ .

Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f (x) = - (x + 4) (x - 2)$ jest $W = (- 1, 9)$ .

Obliczymy teraz współrzędne wierzchołka paraboli, wykorzystując jej postać iloczynową $f (x) = - x (x - 6)$ . Miejsca zerowe funkcji to $x_{1} = 0$ oraz $x_{2} = 6$ . Osią symetrii funkcji kwadratowej jest prosta $x = \frac{0 + 6}{2} = 3$ . Wierzchołek paraboli będzie więc miał współrzędne $W = (3, y_{w})$ , gdzie $y_{w}$ jest wartością funkcji dla argumentu $x_{w}$ .

$y_{w} = f (x_{w}) = f (3) = - 3 (3 - 6) = (- 3) \cdot (- 3) = 9$ .

Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f (x) = - x (x - 6)$ jest $W = (3, 9)$ .

R16iFaNvI9tQw11

Oś symetrii funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ i $x_{2}$ , to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ ma równanie

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Dowód.

Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , to jednocześnie symetralna odcinka o końcach w punktach $(x_{1}, 0)$ i $(x_{2}, 0)$ .

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, 0)$ . Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = p

Ponieważ

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ} + (- b + \sqrt{Δ})}{2 a} = \frac{- b}{a}

więc

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- b}{2 a} = p

Przykład 5

Zmiana postaci ogólnej na kanoniczną.

Funkcja kwadratowa opisana jest wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 24 x - 47$ . Postać kanoniczna tej funkcji to $f (x) = - 3 {(x + 4)}^{2} - 1$ . Stąd otrzymujemy, że wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi do dołu o wierzchołku w punkcie $W = (4, 1)$ .

Funkcja kwadratowa opisana jest wzorem $f (x) = - 2 x^{2} - 8 x - 11$ . Postać kanoniczna tej funkcji to $f (x) = - 2 {(x + 2)}^{2} - 3$ . Stąd otrzymujemy, że wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi do dołu o wierzchołku w punkcie $W = (- 2, - 3)$ .

Funkcja kwadratowa opisana jest wzorem $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ . Postać kanoniczna tej funkcji to $f (x) = 3 {(x - 1)}^{2} - 4$ . Stąd otrzymujemy, że wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze o wierzchołku w punkcie $W = (1, - 4)$ .

R1diYWQt351wi1

Przykład 6

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + b x + c$ jest parabola o wierzchołku $W = (2, 7)$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ i współczynnika $c$ .

Rozwiązanie.

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f$ można zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = - 3 {(x - 2)}^{2} + 7$ . Zatem

f (x) = - 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 7 = - 3 x^{2} + 12 x - 5

czyli współczynniki mają wartości $b = 12$ , $c = - 5$ .

sposób $II$

Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

\{\begin{array}{l} \frac{- b}{2 a} = 2 \\ \frac{- Δ}{4 a} = 7 \end{array}

Uwzględniając w drugim równaniu $Δ = b^{2} - 4 a c$ oraz wstawiając $a = - 3$ , otrzymujemy

\{\begin{cases} \frac{- b}{2 \cdot (- 3)} = 2 \\ \frac{- (b^{2} - 4 \cdot (- 3 c))}{4 \cdot (- 3)} = 7 \end{cases}

stąd

\{\begin{cases} - b = - 12 \\ - (b^{2} + 12 c) = - 84 \end{cases}

\{\begin{cases} b = 12 \\ 12^{2} + 12 c = 84 \end{cases}

\{\begin{cases} b = 12 \\ 12 c = 84 - 144 \end{cases}

Mamy zatem

\{\begin{cases} b = 12 \\ c = - 5 \end{cases}

Przykład 7

Funkcja kwadratowa $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = 4$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ i współczynnika $c$ .

Rozwiązanie.

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f$ można zapisać w postaci iloczynowej.

f (x) = 2 (x + 5) (x - 4)

Zatem

f (x) = 2 (x^{2} + 5 x - 4 x - 20) = 2 x^{2} + 2 x - 40

Współczynniki mają wartości: $b = 2$ , $c = - 40$ .

sposób $II$

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji $f$ są $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = 4$ , więc $f (- 5) = 0$ oraz $f (4) = 0$ . Aby wyznaczyć wartości współczynników, rozwiązujemy układ równań.

\{\begin{cases} 2 \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c = 0 \\ 2 \cdot {(- 5)}^{2} + b \cdot (- 5) + c = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} 32 + 4 b + c = 0 \\ 50 - 5 b + c = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} 4 b + c = - 32 \\ - 5 b + c = - 50 \end{cases}

Otrzymany układ równań możemy rozwiązać dowolną metodą, np. podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Wybierzmy metodę podstawiania

\{\begin{cases} c = - 4 b - 32 \\ - 5 b - 4 b - 32 = - 50 \end{cases}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ - 9 b - 32 = - 50 \end{array}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ - 9 b = - 18 \end{array}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ b = 2 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 2 \\ c = - 4 \cdot 2 - 32 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 2 \\ c = - 40 \end{array}

Rozwiązanie układu

\{\begin{array}{l} 4 b + c = - 32 \\ - 5 b + c = - 50 \end{array}

metodą przeciwnych współczynników (lub każdą inną, prowadzącą do wyznaczenia wartości każdego ze współczynników) pozostawiamy jako osobne ćwiczenie.

sposób $III$

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji $f$ są $x = - 5$ oraz $x = 4$ , więc osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta $x = \frac{- 5 + 4}{2}$ , czyli $x = - \frac{1}{2}$ . Możemy więc zapisać postać kanoniczną funkcji

f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + q

Wykorzystując jeszcze raz informację o miejscach zerowych, otrzymamy, że np. $f (4) = 0$ , stąd

2 \cdot {(4 + \frac{1}{2})}^{2} + q = 0

q = - 2 \cdot {(\frac{9}{2})}^{2}

czyli

q = - \frac{81}{2}

Wobec tego

f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{81}{2} = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{4}) - \frac{81}{2} =

= 2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} - \frac{81}{2} = 2 x^{2} + 2 x - 40

Zatem współczynniki mają wartości $b = 2$ , $c = - 40$ .

Uwaga. Zapisując wzór funkcji $f$ w postaci $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + q$ i wykorzystując informację o drugim miejscu zerowym funkcji $f : f (- 5) = 0$ , doprowadzimy do tej samej zależności, co otrzymana powyżej $q = - 2 \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} = - 2 \cdot {(\frac{9}{2})}^{2}$ . Fakt ten wynika stąd, że prosta $x = - \frac{1}{2}$ jest symetralną odcinka o końcach w punktach $(- 5, 0)$ i $(4, 0)$ .

Przykład 8

Funkcja kwadratowa $f (x) = a x^{2} + b x + c$ osiąga największą wartość równą $4$ dla $x = - 2$ , a na jej wykresie leży punkt $A = (0, 0)$ . Obliczymy wartości współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

Rozwiązanie.

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że punkt $W = (- 2, 4)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$ . Wobec tego wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = a {(x + 2)}^{2} + 4$ . Wiemy ponadto, że punkt $A$ leży na wykresie funkcji $f$ , zatem $f (0) = 0$ . Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f (0) = a {(0 + 2)}^{2} + 4 = 0

stąd $4 a = - 4$ , czyli $a = - 1$ . Stąd wynika wzór funkcji $f$

f (x) = - 1 {(x + 2)}^{2} + 4 = - (x^{2} + 4 x + 4) + 4 = - x^{2} - 4 x

Współczynniki mają zatem wartości: $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

sposób $II$

Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest $0$ , a osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 2$ .

Wynika stąd, że $- 4$ jest drugim miejscem zerowym funkcji $f$ . Zatem wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = a x (x + 4)$ . Wiemy ponadto, że punkt $(- 2, 4)$ leży na wykresie funkcji $f$ , więc $f (- 2) = 4$ . Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f (- 2) = a (- 2) (- 2 + 4) = 4

stąd $- 4 a = 4$ , czyli $a = - 1$ . Wobec tego wzór funkcji $f$ to

f (x) = - 1 x (x + 4) = - (x^{2} + 4 x) = - x^{2} - 4 x

Współczynniki mają więc wartości: $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

sposób $III$

Z treści zadania odczytujemy, że punkt $f (x) = 0$ oraz punkt $W = (- 2, 4)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$ . Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

\{\begin{cases} a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0 \\ \frac{- b}{2 a} = - 2 \\ \frac{- Δ}{4 a} = 4 \end{cases}

Przekształcamy ten układ, uwzględniając w drugim równaniu $Δ = b^{2} - 4 a c$

\{\begin{cases} c = 0 \\ - b = - 4 a \\ - (b^{2} - 4 a c) = 16 a \end{cases}

\{\begin{cases} c = 0 \\ b = 4 a \\ b^{2} = - 16 a \end{cases}

Stąd wniosek, że $b^{2} = {(4 a)}^{2} = - 16 a$ , więc $16 a^{2} = - 16 a$ , czyli $a^{2} + a = 0$ , stąd $a (a + 1) = 0$ . Ponieważ funkcja $f$ jest kwadratowa, więc $a \neq 0$ . Zatem $a = - 1$ , stąd $b = 4 \cdot (- 1) = - 4$ . Oznacza to, że $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

RLWd3JymgsIva1

Ćwiczenie 1

Funkcja

f

przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej

x

sumę tej liczby i kwadratu liczby o

2

od niej większej. Ustal zbiór wartości tej funkcji i znajdź jej miejsca zerowe. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Funkcja

f

dana jest wzorem 1.

- 1

, 2.

- 6

, 3.

- 4

, 4.

- 5

, 5.

f (x) = x - {(x + 2)}^{4}

, 6.

f (x) = x^{2} + 7 x - 6

, 7.

f (x) = x^{2} - 5 x + 2

, 8.

⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)

, 9.

- 3

, 10.

- 4

, 11.

f (x) = x - {(x - 2)}^{2}

, 12.

⟨5 \frac{1}{8}, + \infty)

, 13.

f (x) = x + {(x + 2)}^{2}

, 14.

⟨- 1 \frac{1}{6}, + \infty)

, 15.

f (x) = x^{2} + 5 x + 4

, stąd 1.

- 1

, 2.

- 6

, 3.

- 4

, 4.

- 5

, 5.

f (x) = x - {(x + 2)}^{4}

, 6.

f (x) = x^{2} + 7 x - 6

, 7.

f (x) = x^{2} - 5 x + 2

, 8.

⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)

, 9.

- 3

, 10.

- 4

, 11.

f (x) = x - {(x - 2)}^{2}

, 12.

⟨5 \frac{1}{8}, + \infty)

, 13.

f (x) = x + {(x + 2)}^{2}

, 14.

⟨- 1 \frac{1}{6}, + \infty)

, 15.

f (x) = x^{2} + 5 x + 4

. Zbiór wartości tej funkcji to 1.

- 1

, 2.

- 6

, 3.

- 4

, 4.

- 5

, 5.

f (x) = x - {(x + 2)}^{4}

, 6.

f (x) = x^{2} + 7 x - 6

, 7.

f (x) = x^{2} - 5 x + 2

, 8.

⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)

, 9.

- 3

, 10.

- 4

, 11.

f (x) = x - {(x - 2)}^{2}

, 12.

⟨5 \frac{1}{8}, + \infty)

, 13.

f (x) = x + {(x + 2)}^{2}

, 14.

⟨- 1 \frac{1}{6}, + \infty)

, 15.

f (x) = x^{2} + 5 x + 4

, a jej miejscami zerowymi są liczby 1.

- 1

, 2.

- 6

, 3.

- 4

, 4.

- 5

, 5.

f (x) = x - {(x + 2)}^{4}

, 6.

f (x) = x^{2} + 7 x - 6

, 7.

f (x) = x^{2} - 5 x + 2

, 8.

⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)

, 9.

- 3

, 10.

- 4

, 11.

f (x) = x - {(x - 2)}^{2}

, 12.

⟨5 \frac{1}{8}, + \infty)

, 13.

f (x) = x + {(x + 2)}^{2}

, 14.

⟨- 1 \frac{1}{6}, + \infty)

, 15.

f (x) = x^{2} + 5 x + 4

i 1.

- 1

, 2.

- 6

, 3.

- 4

, 4.

- 5

, 5.

f (x) = x - {(x + 2)}^{4}

, 6.

f (x) = x^{2} + 7 x - 6

, 7.

f (x) = x^{2} - 5 x + 2

, 8.

⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)

, 9.

- 3

, 10.

- 4

, 11.

f (x) = x - {(x - 2)}^{2}

, 12.

⟨5 \frac{1}{8}, + \infty)

, 13.

f (x) = x + {(x + 2)}^{2}

, 14.

⟨- 1 \frac{1}{6}, + \infty)

, 15.

f (x) = x^{2} + 5 x + 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLHdCwaUAYMUw1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3emxq9TFI5WB1

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bXsAQ36QTTN1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvyYyi3EsuNsv1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTDDq7TaVBMPI2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GcYmVbEIMUi2

Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa

g

określona jest wzorem

g (x) = - x^{2} + b x + c

. Funkcja ta osiąga wartość największą równą

17

dla

x = - 5

. Wyznacz wartości współczynników

b

c

. Uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartości współczynników wynoszą

b =

- 6

, 2.

- 14

, 3.

- 10

, 4.

- 4

, 5.

- 8

, 6.

- 12

oraz

c =

- 6

, 2.

- 14

, 3.

- 10

, 4.

- 4

, 5.

- 8

, 6.

- 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYHIFIxARS5Cy2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ry6WZJjc9wsDh2

Ćwiczenie 9

Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem

f (x) = - 4 x^{2} + b x + c

jest parabola o wierzchołku

W = (\frac{3}{2}, 8)

. Wyznacz wartości współczynników

b

c

, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartości współczynników wynoszą

b =

- 1

, 2.

14

, 3.

- 3

, 4.

- 5

, 5.

12

, 6.

10

oraz

c =

- 1

, 2.

14

, 3.

- 3

, 4.

- 5

, 5.

12

, 6.

10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ . Następnie połącz w pary ilustracje z odpowiednimi wartościami współczynników.

R1S1OaDa1OkgR1

Wykresy sześciu różnych funkcji kwadratowych. Na pierwszym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (1, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 1). Na drugim wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (-2, -1). Na trzecim wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-1, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (1, 2). Na czwartym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-2, 2). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 0). Na piątym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (2, -1). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (-1, 2). Na szóstym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-1, 3). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (3, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFPTecvMkBLRv

Połącz w pary litery odpowiadające odpowiednim ilustracjom ze współczynnikami, które charakteryzują podane parabole.

a)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

c)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

d)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

e)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

f)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - 1

b = - 6

c = - 9

, 2.

a = - \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c = \frac{11}{4}

, 3.

a = \frac{1}{3}

b = - \frac{4}{3}

c = \frac{1}{3}

, 4.

a = - \frac{1}{2}

b = - 2

c = 0

, 5.

a = 1

b = - 2

c = 1

, 6.

a = \frac{1}{2}

b = 1

c = \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $g (x) = a x^{2} + b x + c$ . Ustal wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ . Następnie połącz w pary ilustracje ze współczynnikami.

R8nXbDrcdUsky1

Wykresy sześciu różnych funkcji kwadratowych Na pierwszym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-1 i x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, -2). Na drugim wykresie parabola ma miejsca zerowe x =0 i x =3. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2, 2). Na trzecim wykresie parabola ma miejsca zerowe x =0 i x =1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2, 1). Na czwartym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =2 i x =1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 3). Na piątym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-3 i x =-1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (1, 4). Na szóstym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-3 i x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (3, -2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dPyQORwtHQ8

Połącz w pary litery odpowiadające odpowiednim ilustracjom ze współczynnikami, które charakteryzują podane parabole.

a)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

c)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

d)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

e)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

f)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

c = 0

, 2.

a = 1

b = - 1

c = - 2

, 3.

a = \frac{1}{2}

b = 2

c = \frac{3}{2}

, 4.

a = - 1

b = 3

c = 0

, 5.

a = - \frac{1}{3}

b = - \frac{1}{3}

c = 2

, 6.

a = - \frac{3}{2}

b = - \frac{3}{2}

c = 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MxtUWJ6nyiA2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GjbXrOYAZaV2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rv2pEFjjSYocj2

Ćwiczenie 14

Funkcja kwadratowa

g (x) = a x^{2} + b x + c

osiąga najmniejszą wartość równą

- 5

dla

x = 3

, a jej wykres przecina oś

Y

w punkcie

A = (0, - 2)

. Oblicz wartość każdego ze współczynników

a

b

c

, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartości współczynników wynosi

a =

\frac{1}{3}

, 2.

- 2

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

- 2

, 5.

- 6

, 6.

- 4

, 7.

- 6

, 8.

- 4

, 9.

\frac{1}{7}

b =

\frac{1}{3}

, 2.

- 2

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

- 2

, 5.

- 6

, 6.

- 4

, 7.

- 6

, 8.

- 4

, 9.

\frac{1}{7}

oraz

c =

\frac{1}{3}

, 2.

- 2

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

- 2

, 5.

- 6

, 6.

- 4

, 7.

- 6

, 8.

- 4

, 9.

\frac{1}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dICPaxbjnQp2

Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe

x_{1} = - \frac{2}{5}

x_{2} = 4

, a jej wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu

y = - 121

. Wyznacz wartość każdego ze współczynników

a

b

c

, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartości współczynników wynoszą

a =

15

, 2.

- 30

, 3.

25

, 4.

- 80

, 5.

35

, 6.

- 20

, 7.

- 40

, 8.

- 70

, 9.

- 90

b =

15

, 2.

- 30

, 3.

25

, 4.

- 80

, 5.

35

, 6.

- 20

, 7.

- 40

, 8.

- 70

, 9.

- 90

oraz

c =

15

, 2.

- 30

, 3.

25

, 4.

- 80

, 5.

35

, 6.

- 20

, 7.

- 40

, 8.

- 70

, 9.

- 90

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XYdbmF0lKDw2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZI0VKthIxkfJ2

Ćwiczenie 17

Wykresem funkcji kwadratowej

g (x) = a x^{2} + b x + c

jest parabola, na której leżą punkty

A = (- 1, 5)

B = (2, - 1)

. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu

x = 1

. Wyznacz wartość każdego ze współczynników

a

b

c

, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartości współczynników wynoszą

a =

- 6

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

6

, 6.

- 5

, 7.

4

, 8.

2

, 9.

- 8

b =

- 6

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

6

, 6.

- 5

, 7.

4

, 8.

2

, 9.

- 8

oraz

c =

- 6

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

6

, 6.

- 5

, 7.

4

, 8.

2

, 9.

- 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19dEpqZGXDW33

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Punkty $A = (- 3, 5)$ i $B = (- 1, 1)$ leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Wykaż, że punkt $C = (1, - 3)$ nie leży na tej paraboli.

R12SjoTfSdHxN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Załóż, że punkt $C$ leży na tej paraboli, ułóż układ równań złożony ze wzorów tej funkcji uzupełnionych o współrzędne punktów $A$ , $B$ , $C$ i sprawdź, czy układ równań nie jest sprzeczny.

Załóżmy wbrew tezie, że każdy z punktów $A, B$ i $C$ leży na wykresie funkcji $f$ .

Wówczas $f (- 3) = 5$ , $f (- 1) = 1$ , $f (1) = - 3$ , więc współczynniki $a$ , $b$ , $c$ spełniają układ równań

\{\begin{cases} 9 a - 3 b + c = 5 \\ a - b + c = 1 \\ a + b + c = - 3 \end{cases}

Odejmując drugie równanie tego układu od trzeciego, otrzymujemy $2 b = - 4$ , stąd $b = - 2$ . Wobec tego

\{\begin{cases} b = - 2 \\ 9 a + c = - 1 \\ a + c = - 1 \end{cases}

Odejmując trzecie równanie powyższego układu od drugiego, otrzymujemy $8 a = 0$ , stąd $a = 0$ i $c = - 1$ .

Funkcja $f$ ma więc wzór $f (x) = 0 \cdot x^{2} - 2 x - 1$ . Jednak wtedy funkcja $f$ nie jest funkcją kwadratową.

Wobec otrzymanej sprzeczności stwierdzamy, że punkt $C = (1, - 3)$ nie leży na wykresie funkcji $f$ .

RPJDIQGKjunWc3

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16GNTszBvwUJ3

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ExyotR9wkBu3

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.