Wyzwanie - zadanie - zpe.gov.pl

R14n6M3Nay3Jt

Najpiękniejsza rzecz, jakiej możemy doświadczyć, to oczarowanie tajemnicą.
Albert Einstein

R11Qk8rqcOEEC

Grafika przedstawia zdjęcie w garniturze w średnim wieku. — Źródło: dostępny w internecie: wikipedia.org, domena publiczna.

Jeśli lubisz zagadki, na pewno chętnie zapoznasz się z tym materiałem. Znajdziesz tu bowiem ciekawe zadania do rozwiązania. Być może nie od razu uda ci się znaleźć poprawną odpowiedź, ale wszystko wymaga treningu.

Na pocieszenie powiem Ci, że nawet najlepsi matematycy nie zawsze umieli uporać się szybko z trudnymi problemami. Na przykład francuski matematyk Henri Jules Poincaré ( $1854 - 1912$ ) miał kłopoty z prostymi rachunkami, a genialny Albert Einstein ( $1879 - 1955$ ) powiedział: Nie martw się, że masz problemy z matematyką. Zapewniam cię, że moje są jeszcze większe.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
Aplikacja onlineAplikacja online
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Twoje cele

Ustalisz dane i szukane w zadaniu tekstowym.
Wyodrębnisz w zadaniu tekstowym potrzebne i zbędne informacje.
Zbudujesz treść zadania, układając w odpowiedniej kolejności posiadane informacje.
Rozwiążesz zadanie tekstowe metodami arytmetycznymi.

Każde zadanie matematyczne, które trzeba rozwiązać, należy najpierw dokładnie przeanalizować, zastanawiając się, jakie narzędzia będą potrzebne, aby uzyskać odpowiedź.

Warto przyporządkować je do konkretnego działu matematyki szkolnej (np. czy to jest zadanie geometryczne, czy może algebraiczne), określić wzory, twierdzenia które można będzie wykorzystać.

Planując rozwiązanie, szukamy w pamięci podobnych zadań, które umiemy rozwiązać lub algorytmu, na którym możemy oprzeć rozumowanie. Rozkładamy problem na czynniki pierwsze, wyodrębniając to co jest dane, to czego szukamy i to, co nie jest istotne dla wyniku.

Krytyczne rozważenie pomysłów pozwoli nam wybrać najefektywniejszą drogę rozwiązania. Jeśli jednak znajdziemy się w fazie utknięcia – mamy dwa wyjścia. Albo poszukamy odpowiedniego wzorca w podręczniku, albo przerwiemy pracę i pozwolimy, aby nasz mózg kontynuował rozwiązanie, niejako bez naszej wiedzy. Jeśli po pewnym czasie wrócimy do zadania, wypoczęty mózg może szybciej podpowie nam, jak trzeba postąpić.

Po ustaleniu odpowiedzi, ważne jest, aby oszacować, czy jest ona prawdopodobna. Czy cena towaru wyrażona jest w złotych (a nie np. w kilogramach), czy wzrost człowieka nie przekracza $3$ metrów, itp. Jeśli rozwiązania nie można zweryfikować, warto chociaż sprawdzić za pomocą kalkulatora poprawność wykonywanych obliczeń rachunkowych.

W tym materiale będziemy rozwiązywać zadania, korzystając z metod arytmetycznychmetody arytmetycznemetod arytmetycznych.

Przykład 1

Grzegorz dostał od babci $20 zł$ . Kupił dwie jednakowe czekolady i oddał Jankowi dług wynoszący $8 zł$ $60 gr$ . Zostało mu $5 zł$ . Ile kosztowała czekolada?

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

RJYKAjIO9ZCAg

Grafika przedstawia podział pieniędzy Grzegorza. Znajduje się na nim kolejno dwie tabliczki czekolady, dług oraz reszta. Pod tabliczkami czekolady znajdują się znaki zapytania, pod długie osiem złotych i sześćdziesiąt groszy oraz pod resztą pięć złotych. Całość jest objęta klamrą i podpisana dwadzieścia złotych. — Źródło: Pixabay.com, licencja: CC BY 3.0.

Po dokładnym przeanalizowaniu rysunku stwierdzamy, że dwie czekolady musiały kosztować:

20 zł - 5 zł - 8 zł 60 gr = 15 zł - 8 zł 60 gr = 6 zł 40 gr

Zatem jedna czekolada kosztowała:

6 zł 40 gr : 2 = 3 zł 20 gr

Odpowiedź:
Czekolada kosztowała $3 zł 20 gr$ .

W następnym przykładzie potrzebna będzie znajomość sposobu obliczania obwodu rombu i trójkąta.

Przykład 2

Tasiemką o długości $72 dm$ obszyto dwie serwetki. Jedną w kształcie rombu, drugą w kształcie trójkąta równobocznego. Na każdą zużyto tyle samo tasiemki. Jaką długość boku miała serwetka trójkątna, a jaką w kształcie rombu?

R1Xzcns1ZdBmd

Grafika przedstawia romb i trójkąt. Romb ma zaznaczony brzeg ciemnym kolorem oraz wewnątrz rombu znajduje się mniejszy, podobny do dużego rombu romb. Trójkąt również ma zaznaczony brzeg ciemniejszym kolorem a wewnątrz niego znajduje się mniejszy trójkąt podobny o innym kolorze. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Matematycznym odpowiednikiem pierwszej serwetki jest romb, a drugiej trójkąt równoboczny. Suma ich obwodów będzie równa długości tasiemki.

Jeśli oznaczymy przez $a$ długość boku rombu, przez $b$ długość boku trójkąta, to możemy zapisać:

4 a + 3 b = 72

Mamy dwie niewiadome i żadnych bliższych informacji o liczbach $a$ i $b$ . Wiemy tylko, że muszą to być liczby dodatnie (jako długości boków wielokątów) i mniejsze od $72$ . Możemy zgadywać, ile wynosi długość boku jednego z wielokątów i obliczyć długość boku drugiego wielokąta.

Jeśli przyjmiemy na przykład, że $a = 1$ , to

4 \cdot 1 + 3 b = 72

3 b = 72 - 4

3 b = 68 / : 3

b = \frac{68}{3}

Ale wtedy obwody rombu i trójkąta nie są równe, zatem liczba $1$ nie spełnia warunków zadania.

Gdybyśmy dostatecznie dużo liczb podstawiali w miejsce $a$ , być może znaleźlibyśmy poprawną odpowiedź. Jednak ta procedura mogłaby być czasochłonna.

Porzucamy więc ten sposób rozwiązania i jeszcze raz uważnie czytamy treść zadania.

Z treści zadania wynika, że romb musi mieć taki sam obwód jak trójkąt (bo na obszycie każdej serwetki zużyto tyle samo tasiemki). Obwód ten będzie równy:

72 dm : 2 = 36 dm

Bok rombu ma więc długość:

36 dm : 4 = 9 dm

a bok trójkąta

36 dm : 3 = 12 dm

Odpowiedź:
Serwetka w kształcie rombu ma bok długości $9 dm$ , a serwetka w kształcie trójkąta ma bok długości $12 dm$ .

Poprzednie przykłady przekonały nas, że rozwiązując zadanie tekstowe warto wykonać rysunek obrazujący treść zadania i dopiero wtedy zaplanować sposób rozwiązania.

Zatem i w poniższym przykładzie posłużymy się rysunkiem.

Przykład 3

Marta i Tadeusz stali obok siebie. W pewnej chwili zaczęli jednocześnie biec w przeciwnych kierunkach. Marta biegła z prędkością $4 \frac{m}{s}$ , a Tadeusz z prędkością $6 \frac{m}{s}$ . W jakiej odległości od siebie znajdowali się po upływie $2$ minut?

Zgodnie z zapowiedzią, sporządzamy rysunek pomocniczy.

RRbVoePQIUy1n

Na ilustracji przedstawione są dwa zdjęcia. Na zdjęciu po lewej stronie przedstawiono kobietę biegnącą w lewą stronę. Zdjęcie podpisano cztery metry na sekundę. Na zdjęciu po prawej stronie przedstawiono mężczyznę biegnącego w prawą stronę. Zdjęcie podpisano sześć metrów na sekundę. Oba zdjęcia objęte są w klamrę i podpisane odległość po jednej sekundzie. — Źródło: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie rysunku wnioskujemy, że skoro Marta biegła z prędkością $4 \frac{m}{s}$ , a Tadeusz z prędkością $6 \frac{m}{s}$ , to po upływie sekundy odległość między nimi wynosiła

(6 + 4) m = 10 m

Dwie minuty to $2 \cdot 60 = 120$ sekund.

Zatem w ciągu $120$ sekund sportowcy oddalili się od siebie o $120 \cdot 10 = 1200$ metrów. $1200 m$ to $1 km 200 m$ .

Odpowiedź:
Marta i Tadeusz po upływie $2$ minut byli od siebie w odległości $1 km 200 m$ .

Metody arytmetycznemetody arytmetyczneMetody arytmetyczne rozwiązywania zadań tekstowych, stosowane były powszechnie w starożytności, gdy aparat algebraiczny był jeszcze słabo rozwinięty. Poniżej przykład zadania znanego z historii matematyki (nieco zmodyfikowanego), rozwiązanego w sposób, jaki być może stosowali starożytni.

Przykład 4

W dzbankach znajduje się sok pomarańczowy. Ilość soku w pierwszym dzbanku stanowi $\frac{4}{7}$ ilości soku w drugim z nich. W drugim dzbanku jest $1, 4 l$ soku. Ile litrów soku należy przelać z drugiego dzbanka do pierwszego, aby w obu dzbankach było tyle samo soku?

RQO5UNWnE9lpT

Grafika przedstawia dwa dzbanki z sokiem. W pierwszym dzbanku znajduje się ponad połowa soku . Obok pierwszego dzbanka znajduje się znak zapytania. Drugi dzbanek napełniony jest do pełna i podpisany jeden i cztery dziesiąte litra soku. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw, ile litrów soku jest w pierwszym dzbanku.

\frac{4}{7} \cdot 1, 4 = \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{10} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{10} = 0, 8

W pierwszym dzbanku jest $0, 8 l$ soku.

Obliczmy, ile jest łącznie soku w obu dzbankach.

0, 8 + 1, 4 = 2, 2

W obu dzbankach jest $2, 2 l$ soku.

Teraz obliczymy, ile litrów soku powinno być w każdym dzbanku, aby w obu dzbankach było po tyle samo soku.

2, 2 : 2 = 1, 1

Aby w pierwszym dzbanku było $1, 1 l$ soku, należy do niego dolać

1, 1 - 0, 8 = 0, 3

litra soku.

R1QTcLPu6dJDY

Odpowiedź:
Z drugiego dzbanka należy przelać do pierwszego dzbanka $0, 3 l$ soku.

W ostatnim przykładzie, zagmatwane z pozoru informacje umieścimy w tabelce, a wtedy okaże się, że rozwiązanie zadania jest proste.

Przykład 5

Pięć lat temu ojciec był $3$ razy starszy od syna. Za $7$ lat syn będzie miał $24$ lata. Ile razy będzie wtedy młodszy od ojca?

Zapiszemy dane podane w zadaniu w tabelce.

R1StBbNQl3yJF

Ilustracja — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wiek	Pięć lat temu	Teraz	Za siedem lat
Syn	$\text{ }$	$\text{ }$	$24$
Ojciec	$\text{ }$	$\text{ }$	$\text{ }$

Uzupełnimy najpierw pierwszy wiersz (odejmując kolejno odpowiednie liczby), a następnie na jego podstawie – drugi.

R1MKCPPmRuCYM

Wiek	Pięć lat temu	Teraz	Za siedem lat
Syn	$17 - 5 = 12$	$24 - 7 = 17$	$24$
Ojciec	$\text{ }$	$\text{ }$	$\text{ }$

Zauważmy, że pięć lat temu ojciec był $3$ razy starszy od syna. Obliczyliśmy, że syn miał wtedy $12$ lat. Zatem ojciec miał $3 \cdot 12 = 36$ lat. Wpisujemy uzyskaną liczbę do tabelki i uzupełniamy drugi wiersz.

RUUJgpb9iUGNY

Wiek	Pięć lat temu	Teraz	Za siedem lat
Syn	$17 - 5 = 12$	$24 - 7 = 17$	$24$ .
Ojciec	$36$	$36 + 5 = 41$	$41 + 7 = 48$

Za siedem lat syn będzie miał $24$ lata, a ojciec $48$ lat.

Ojciec będzie więc dwa razy starszy od syna, bo

48 : 24 = 2

Zatem syn będzie dwa razy młodszy.

Odpowiedź:
Syn będzie dwa razy młodszy od ojca.

Notatki

RgkU25qTFRGxe

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Aplikacja online

Polecenie 1

Umiejętności zdobyte podczas pracy z tym materiałem będziesz mieć okazję przećwiczyć, rozwiązując zadania zawarte w poniższym zestawie. Są tam zadania o różnym stopniu trudności. Wylosuj zadanie i rozwiąż je.

Instrukcja do Aplikacji on‑line

Zapoznaj się z informacjami podanymi na ekranie startowym.
R5AuMq0MsiUKT
Ekran startowy
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.
Kliknij przycisk Zestaw 1, aby rozpocząć grę, zaczynając od najłatwiejszego zestawu.
R1ZA7MyqveSi5
Przycisk rozpoczynający grę
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.
Rozwiąż zadanie widoczne na ekranie:
RBab21m67WSuy
Przykładowe zadanie
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.
- ułóż zdania w takiej kolejności, aby powstała treść zadania matematycznego, przeciągając je za pomocą lewego przycisku myszy w odpowiednie miejsce;
- usuń zdania nieprzydatne – aby to zrobić, kliknij takie zdanie – w jego prawym, górnym rogu pokaże się znak X; kliknij X.

R1TMRHXMB5TLP

Przykład zdania gotowego do usunięcia
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

W dowolnym momencie podczas rozwiązywania zadania możesz kliknąć jeden z przycisków znajdujących się w lewym, górnym rogu, aby: przeczytać informację o aplikacji, zresetować zadanie lub wrócić do menu z wyborem zestawów zadań.
R1Dv7YbWncgsr
Przyciski interaktywne
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.
Kliknij przycisk SPRAWDŹ.
Zapoznaj się z komentarzem do rozwiązanego zadania i wybierz przycisk Zamknij – jeśli wykonałeś ćwiczenie nieprawidłowo, lub jeden z czterech przycisków: Rozwiązanie, Zagraj jeszcze raz, Powrót do menu lub Dalej – jeśli poprzednie zadanie wykonałeś prawidłowo.
R1dNaSrMeRGED
Komentarze do rozwiązanego zadania
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.
- Przycisk Zamknij pozwoli Ci wrócić do zadania, aby wykonać je ponownie; kliknij przycisk zakręconej strzałki znajdujący się w lewym, górnym rogu, aby zresetować ćwiczenie.
- Po kliknięciu przycisku Rozwiązanie zobaczysz prawidłowo skonstruowaną treść zadania, rozwiązanie oraz odpowiedź.
- Po kliknięciu przycisku Zagraj jeszcze raz będziesz mógł wykonać zadanie jeszcze raz.
- Przycisk Powrót do menu przeniesie Cię do ekranu z wyborem zestawów zadań.
- Przycisk Dalej pozwoli Ci przejść do kolejnego zadania.
Po wykonaniu wszystkich zadań danego zestawu wrócisz do menu, aby wybrać kolejny zestaw.

RlbOqsbCpYrUa

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przed Tobą zestaw składający się z dwudziestu zadań. Zadania od jeden do cztery odpowiadają umiejętnościom kształtowanym w klasie czwartej, zadania od pięciu do ośmiu w klasie piątej, zadania od dziewięciu do dwunastu w klasie szóstej, zadania od trzynastu do szesnastu w klasie siódmej i wreszcie zadania od czternastu do dwudziestu są najtrudniejsze – przeznaczone dla ośmioklasistów. Zacznij od zadań najłatwiejszych. Na kolejny poziom przejdziesz, po rozwiązaniu co najmniej trzech zadań z poziomu poprzedniego. Treść zadań zawiera informacje potrzebne i zbędne. Twoim zadaniem jest wyodrębnienie tych koniecznych oraz poukładanie ich w odpowiedniej kolejności. Na końcu umieść znalezione pytanie (polecenie). Sprawdź zbudowane w ten sposób zadanie i jego odpowiedź. Powodzenia!

Zestaw 1:

Ćwiczenie 1

RbJSlazqNRTub1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$34 km + 34 km + 326 km = 394 km$ . Pan Czesław musiał przejechać $394 km$ .

Ćwiczenie 2

Rs3lzu6e0jJtB

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Pani Zofia $18$ lat temu miała $52 - 18 = 34$ lata. Pan Józef jest od niej o $4$ lata młodszy, więc miał wtedy $34 - 4 = 30$ lat.

Ćwiczenie 3

R1L03UwnPVjYX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$170 cm$ wzrost Darka,
$170 cm + 4 cm = 174 cm$ wzrost Franka,
$174 cm - 16 cm = 158 cm$ wzrost Lucjana,
$170 cm + 174 cm + 158 cm = 502 cm$ łączny wzrost chłopców.

Ćwiczenie 4

R1MEFmzwx6umu

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$5 \cdot 5 \cdot 6 = 150$ liczba mieszkań
$150 \cdot 4 = 600$ liczba osób

W tych budynkach mieszka łącznie $600$ osób.

Zestaw 2:

Ćwiczenie 5

RHqTDQHC72COQ1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$\frac{765 + 567}{3} + 1 = 444 + 1 = 445$
$500 - 445 = 55$

Otrzymana liczba jest o $55$ mniejsza od $500$ .

Ćwiczenie 6

RTaoHk5cdIAdO

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Alina $+$ Basia $=$ $78$
Basia $+$ Celina $=$ $56$
Celina $+$ Alina $=$ $70$
Zatem
$($ Alina $+$ Basia $)$ $+$ $($ Basia $+$ Celina $)$ $+$ $($ Celina $+$ Alina $)$ $=$ $2$ $($ Alina $+$ Basia $+$ Celina $)$ $= 78 + 56 + 70 = 204 (kg)$
$204 : 2 = 102$ $(kg)$
Alina, Basia i Celina ważą łącznie $102$ $(kg)$ .

Ćwiczenie 7

RXR1yFZDeweeN

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Dwie godziny czterdzieści pięć minut to dwie i trzy czwarte godziny

$2 \frac{3}{4} \cdot 60 = \frac{11}{4} \cdot 60 = 165$ (kilometrów) – długość drogi pokonanej przez samochód w środę.

Na przebycie jednego kilometra drogi samochód potrzebuje $\frac{8, 5}{100}$ litrów paliwa.

$\frac{8, 5}{100} \cdot 165 = 14, 025$ litrów

$14, 025 \approx 14$

Odpowiedź:
Samochód zużył około czternaście litrów paliwa.

Ćwiczenie 8

RPvkSqRs5b1QN1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 15 + 8 = 23 (zł)$ – taką kwotę wyjął Bogdan ze skarbonki.

$49 + 23 = 72 (zł)$ - tyle pieniędzy wrzucił tata do skarbonki

Odpowiedź:
Tata wrzucił do skarbonki $72 (zł)$ .

Zestaw 3:

Ćwiczenie 9

R1BI11i6WBj6a

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x$ – miara najmniejszego kąta,

$x + 9 °$ – miara średniego kąta,

$x + 48 °$ – miara największego kąta,

$x + x + 9 ° + x + 48 ° = 180 °$ - suma kątów trójkąta,

$x = 41 °$ $41 ° + 48 ° = 89 °$ – miara największego kąta.

Odpowiedź:
Miara największego kąta jest równa $89 °$ .

Ćwiczenie 10

Rlk9ANxAGxLwE2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x kg$ – początkowa masa gruszek w drugim koszu,

$(x + 5, 6) kg$ – początkowa masa gruszek w pierwszym koszu,

$2, 8 kg$ – masa gruszek, które przełożono z pierwszego kosza do drugiego,

$(x + 5, 6 - 2, 8 + \frac{4}{5}) kg = (x + 3, 6) kg$ – masa gruszek w pierwszym koszu po kolejnych przełożeniach,

$(\frac{x}{2} + 1, 8) kg$ – masa gruszek w pierwszym koszu po odsypaniu połowy zawartości,

$(x + 2, 8 - \frac{4}{5} + 1, 4) kg = (x + 3, 4) kg$ – masa gruszek w drugim koszu po kolejnych przełożeniach,

$(\frac{x}{2} + 1, 7) kg$ – masa gruszek w drugim koszu po odsypaniu połowy zawartości,

$(\frac{x}{2} - 1, 8) - (\frac{x}{2} - 1, 7) = 0, 1 (kg)$ .

Odpowiedź:
Teraz jest więcej gruszek w pierwszym koszu o $0, 1 (kg)$ .

Ćwiczenie 11

ReuXnC5PcN7Au2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$0, 96 \cdot 50 = 48$

$50 - 48 = 2$

Ewa nie zna odpowiedzi tylko na $2$ pytania. Zatem spośród $8$ wylosowanych pytań może co najwyżej nie odpowiedzieć na dwa pytania, zatem na $6$ pozostałych odpowie.

Odpowiedź:
Ewa na pewno zda egzamin.

Ćwiczenie 12

RTrtywkvkR7pQ2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$t h$ – czas jazdy samochodu osobowego do momentu mijania,

$80 t km$ – długość drogi przebytej przez samochód osobowy do momentu mijania,

$70 t km$ - długość drogi przebytej przez samochód ciężarowy do momentu mijania,

$80 t + 70 t = 450$ ,

$t = 3 h$ .

Odpowiedź:
Samochody mina się o godzinie $16 : 10$ .

Zestaw 4:

Ćwiczenie 13

RGupv5dBBCnIf2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$5 x + 16 = 13 x$ ,

$x = 2$ ,

$10$ , $24$ , $26$ - długości boków trójkąta,

$L = 10 + 24 + 26 = 60$ .

Odpowiedź:
Obwód trójkąta jest równy $60$ .

Ćwiczenie 14

R1AYtLo0d2Gg02

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x kg$ – masa roztworu $40 %$ ,

$(10 - x) kg$ – masa roztworu $80 %$ ,

$0, 8 (10 - x) + 0, 4 x = 10 \cdot 0, 6 / \cdot 10$ ,

$80 - 8 x + 4 x = 60$ ,

$4 x = 20$ ,

$x = 5$ .

Odpowiedź:
Użyto $5 kg$ roztworu czterdziestoprocentowego.

Ćwiczenie 15

R1ZNU6ewQt9MO2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba ocen dostatecznych,

$x$ – liczba ocen dopuszczających,

$x + 4$ – liczba ocen dobrych,

$x + 2$ – liczba ocen bardzo dobrych,

$4 x + 6$ – liczba wszystkich ocen,

$\frac{2 x + 3 x + 4 (x + 4) + 5 (x + 2)}{4 x + 6} = 4$ ,

$14 x + 26 = 16 x + 24$ ,

$x = 1$ ,

$4 \cdot 1 + 6 = 10$ – liczba chłopców.

Odpowiedź:
W tej klasie jest $10$ chłopców.

Ćwiczenie 16

R6J69OzSEHRjV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$1, 2 A$ – pierwsza liczba po zwiększeniu,

$B - 2$ – druga liczba po zmniejszeniu,

$1, 5 C$ – trzecia liczba po zwiększeniu,

$D - 9$ – czwarta liczba po zmniejszeniu,

$1, 2 A = 1, 5 C$ , stąd $C = 0, 8 A$ ,

$B - 2 = 1, 2 A$ , stąd $B = 1, 2 A + 2$ ,

$D - 9 = 1, 2 A$ , stąd $D = 1, 2 A + 9$ ,

$A + B + C + D = 53$ ,

$A + 1, 2 A + 2 + 0, 8 A + 1, 2 A + 9 = 53$ ,

$A = 10$ ,

$B = 14$ ,

$C = 8$ ,

$D = 21$ .

Odpowiedź:
Szukane liczby to $A = 10$ , $B = 14$ , $C = 8$ , $D = 21$ .

Zestaw 5:

Ćwiczenie 17

RGBzEWUSm6CGV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x km$ – odległość z $A$ do $B$

$x + 6 km$ – odległość z $A$ do $C$

$\frac{x + 6}{70} h$ – czas jazdy samochodu

$\frac{x + 6}{70} + \frac{27}{60} (h)$ – czas jazdy motocyklisty

$40 \cdot (\frac{x + 6}{70} + \frac{27}{60}) = x + 6$

$\frac{40 x + 240}{70} + \frac{1080}{60} = x + 6$

$\frac{4 x + 24}{7} + 18 = x + 6$

$x = 36$

$x + 6 = 42$

Odpowiedź:
Z miejscowości $A$ do $A$ jest $36 km$ . Z miejscowości $A$ do $C$ jest $42 km$ .

Ćwiczenie 18

RtcUr8u941II9

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Niech $r$ oznacza liczbę robotników, a $d$ – liczbę dni, w których praca miała być wykonana.

Pierwszą z sytuacji można opisać równaniem:

$(r - 2) (d + 2) = r d$

Stąd

$r d + 2 r - 2 d - 4 = r d$

$r - d = 2$

$r = 2 + d$

Drugą z sytuacji można opisać równaniem:

$(r + 4) (d - 2) = r d$

$r d - 2 r + 4 d - 8 = r d$

$2 d - r = 4$

$r = 2 d - 4$

Porównujemy otrzymane liczby.

$2 d - 4 = 2 + d$

$d = 6$

$r = 8$

Odpowiedź:
Pracowało $8$ robotników, pracę wykonali w ciągu $6$ dni.

Ćwiczenie 19

R1Uft5CMMI8F6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba krzeseł, które miała wyprodukować pierwsza fabryka

$7200 - x$ – liczba krzeseł, które miała wyprodukować druga fabryka

$1, 2 x + 0, 9 (7200 - x) = 7740$

$1, 2 x + 6480 - 0, 9 x = 7740$

$x = 4200$

$7200 - 4200 = 3000$

Odpowiedź:
Pierwsza fabryka miała wyprodukować $4200$ krzeseł, a druga $3000$ .

Ćwiczenie 20

Rm8fHaLhbM540

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x$ – długość początkowego prostokąta,

$y$ – szerokość początkowego prostokąta,

$x y$ – pole początkowego prostokąta.

Przypadek 1:

$(x + 4) (y - 2) = x y$

$x y - 2 x + 4 y - 8 = x y$

$2 y - x = 4$

$x = 2 y - 4$

Przypadek 2:

$(x + 8) (y - 6) = x y - 56$

$x y - 6 x + 8 y - 48 = x y - 56$

$3 x - 4 y = 4$

$x = \frac{4 + 4 y}{3}$

Porównujemy wyznaczone liczby.

$2 y - 4 = \frac{4 + 4 y}{3}$

$y = 8$

$x = 12$

Odpowiedź:
Długość prostokąta jest równa $12$ , a szerokość $8$ .

Polecenie 2

Poukładaj poniższe zdania w odpowiedniej kolejności i rozwiąż zadanie, które otrzymasz.

Bilet normalny kosztuje $89 zł$ .
Rodzina Kowalskich wybiera się na koncert.
Rodzice muszą kupić bilety normalne, a dzieciom przysługują bilety ulgowe.
Bilet ulgowy jest o $32 zł$ tańszy.
Ile będą kosztowały bilety dla całej rodziny?
Rodzina składa się z dwóch dorosłych osób i dwojga dzieci.

R1UwYF1TGUrq6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rodzina Kowalskich wybiera się na koncert.
Rodzina składa się z dwóch dorosłych osób i dwojga dzieci.
Bilet normalny kosztuje $89 zł$ .
Bilet ulgowy jest o $32 zł$ tańszy.
Rodzice muszą kupić bilety normalne, a dzieciom przysługują bilety ulgowe.
Ile będą kosztowały bilety dla całej rodziny?

Rozwiązanie ułożonego zadania:

2 \cdot 89 = 178 [zł]

– tyle zapłacą za bilety rodziców,

2 \cdot (89 - 32) = 2 \cdot 57 = 114 [zł]

– tyle zapłacą za bilety dzieci,

Bilety będą kosztować:

178 + 114 = 292 [zł]

Polecenie 3

Poukładaj poniższe zdania w odpowiedniej kolejności i rozwiąż zadanie, które otrzymasz.

Książek biograficznych ma $26$ .
Ile wszystkich książek ma Halina?
Przygodowych ma o $18$ więcej niż młodzieżowych.
Halina posiada własny księgozbiór.
Młodzieżowych ma dwa razy mniej.
Ma książki przygodowe, młodzieżowe i biograficzne.

RoDIWLdyRuhJ1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Halina posiada własny księgozbiór.
Ma książki przygodowe, młodzieżowe i biograficzne.
Książek biograficznych ma $26$ .
Młodzieżowych ma dwa razy mniej.
Przygodowych ma o $18$ więcej niż młodzieżowych.
Ile wszystkich książek ma Halina?

Rozwiązanie ułożonego zadania:

26

– liczba książek biograficznych,

26 : 2 = 13

– liczba książek młodzieżowych,

13 + 18 = 31

– liczba książek przygodowych,

26 + 13 + 31 = 70

– liczba wszystkich książek.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1OTjPFx2AUAr

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1DmAJEsbDzKJ

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

REL3LbwivlCgF

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RsIQATne3nfY1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij tabele informacjami z treści zadania. Przyjmij za $x$ wiek Oli obecnie.

Wiek	$2$ lat temu	Teraz	Za $4$ lata	Za $10$ lat
Ola	$x - 2$	$x$	$x + 4$	$18$
Mama	$5 x - 10$	$\text{ }$	$3 x + 12$	$\text{ }$

Ćwiczenie 5

RF0dY9Urx0ZG9

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Po godzinie Zuzia znajduje się $4 km$ od miejscowości $A$ , natomiast Nikola $13 km$ od miejscowości $A$ .
Wyznacz prędkość względną i skorzystaj z przekształconego wzoru na prędkość $t = \frac{s}{v}$ .

Ćwiczenie 6

Ra74A33gSSipA

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

W zadaniu przydadzą Ci się takie fakty jak:

$s = v \cdot t$
Największa liczba trzycyfrowa to $999$ , a największa liczba dwucyfrowa to $99$ .

Ćwiczenie 7

W pierwszym dzbanku było $5 l$ wody, a w drugim $3 l$ . Z pierwszego dzbanka Maciek przelał do drugiego $1 l$ wody, a następnie z drugiego do pierwszego przelał $2 l$ wody. Mama z pierwszego dzbanka odlała $3 l$ wody, a Hania do drugiego dzbanka dolała $3 l$ wody. W którym dzbanku znajduje się teraz więcej wody? O ile?

R1LNk72ZmK1g6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R6SQnC8yPNTVp

Etap przelewania	Zawartość w pierwszym dzbanku w litrach	Zawartość w drugim dzbanku w litrach
Początkowo	$5$	$3$
Po pierwszym przelaniu	$5 - 1 = 4$	$3 + 1 = 4$
Po drugim przelaniu	$4 + 2 = 6$	$4 - 2 = 2$
Po odlaniu wody przez mamę i dolaniu wody przez Hanię	$6 - 3 = 3$	$2 + 3 = 5$

Odpowiedź:
Teraz więcej wody znajduje się w drugim dzbanku. O $2 l$ wody więcej niż w pierwszym.

Ćwiczenie 8

Krystian ma w skarbonce siedem monet po $2 zł$ , cztery monety po $5 zł$ oraz osiem monet po $1 zł$ . Chce kupić książkę, która kosztuje $50 zł$ . Ile jeszcze pieniędzy mu brakuje?

RWIUfCHjOWANN

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy, ile pieniędzy ma Krystian.

7 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 8 \cdot 1 = 14 + 20 + 8 = 42 [zł]

Obliczamy, ile pieniędzy mu brakuje.

50 - 42 = 8 [zł]

Odpowiedź:
Krystianowi brakuje $8 zł$ .

Słownik

metody arytmetyczne

metody arytmetyczne rozwiązywania zadań tekstowych to metody rozwiązywania zadań za pomocą działań na liczbach.

Bibliografia

Szurek M., (2023), Spacery matematyczne. Zachwyć się liczbami i figurami!, Warszawa: Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro.