W tym materiale dowiesz się, ile punktów wspólnych mogą mieć prosta i okrąg. Poznasz definicje siecznej okręgu oraz stycznej do okręgu oraz nauczysz się obliczać odległość punktu od prostej.
1
Przykład 1
Ile punktów wspólnych mogą mieć prosta i okrąg?
R1ATtr6Br5305
Aplet pokazuje okrąg o środku w punkcie S i prostą p. Zmieniając położenie punktu P leżącego na prostej p, zmieniamy położenie prostej p względem okręgu. Zauważamy, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych, mają jeden punkt wspólny lub mają dwa punkty wspólne.
Aplet pokazuje okrąg o środku w punkcie S i prostą p. Zmieniając położenie punktu P leżącego na prostej p, zmieniamy położenie prostej p względem okręgu. Zauważamy, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych, mają jeden punkt wspólny lub mają dwa punkty wspólne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia rożne możliwe położenia prostej względem okręgu.
Odległość środka okręgu od prostej
Zauważmy, że położenie prostej i okręgu zależy od odległości środka okręgu od tej prostej.
1
Przykład 2
Co nazywamy odległością punktu od prostej?
Jak konstrukcyjnie wyznaczyć tę odległość?
Jak sprawdzić, czy narysowany odcinek określa odległość danego punktu od danej prostej?
RnUiMyJQQ7QXD1
Aplet pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.
Aplet pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 3
Jaka jest odległość środka okręgu od stycznej? Jaka od siecznej? Jaka od prostej, która nie ma punktów wspólnych z okręgiem?
RcFo5hnOo7y2f1
Aplet pokazuje prostą p oraz okrąg o środku S i promieniu SC. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na prostej, zmienia się zależność między promieniem okręgu, a długością odcinka będącego odległością punktu S od prostej p. Zauważamy, że: prosta jest rozłączna z okręgiem, jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia okręgu
Aplet pokazuje prostą p oraz okrąg o środku S i promieniu SC. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na prostej, zmienia się zależność między promieniem okręgu, a długością odcinka będącego odległością punktu S od prostej p. Zauważamy, że: prosta jest rozłączna z okręgiem, jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia okręgu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
Odległość środka okręgu od prostej może być:
większa od promienia – prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem,
równa promieniowi – prosta jest styczna do okręgu,
mniejsza od promienia – prosta jest sieczną okręgu.
RxnHjqqH6c82E1
Rysunki trzech okręgów o środku w punkcie S i promieniu r oraz prostej p. Do prostej p należy punkt A. Prosta w punkcie A tworzy z promieniem okręgu kąt prosty. Odcinek SA to odległość punktu S od prostej p. Na pierwszym rysunku prosta p nie ma punktów wspólnych z okręgiem, więc r mniejsze od długości odcinka SA. Na drugim rysunku prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem (jest styczna do okręgu), więc r równe długości odcinka SA. Na trzecim rysunku prosta przecina okrąg w dwóch punktach (jest sieczną okręgu), więc r większe od długości odcinka SA.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.