Z jaką prędkością wracać od babci, czyli wyrażenia wymierne w praktyce
Wstęp
Niekiedy zdarza się, że po przeanalizowaniu danych uzyskanych w efekcie przeprowadzonego doświadczenia, otrzymujemy zaskakujące wyniki. I to zdawałoby się sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem.
Przykładem takiego dysonansu poznawczego jest odkrycie, że średnia prędkośćprędkość poruszających się pojazdów na drodze „tam” i „z powrotem” nie jest średnią arytmetyczną prędkości na poszczególnych odcinkach drogi.
Warto wtedy skorzystać z prostych narzędzi statystycznych, pozwalających na sprawdzenie poprawności poczynionych obserwacji.
![Ilustracja przedstawia samochód wyścigowy w kolorze żółtym. Widoczny jest tył oraz prawy bok auta. Maska samochodu jest skierowana w prawą stronę. Nad samochodem znajduje się strzałka skierowana w lewą stronę. Pod samochodem znajduje się strzałka skierowana w prawo. Obiekty w przestrzeni, w której znajduje się auto, są trochę rozmazane, co tworzy wrażenie, że auto jest w ruchu. Tło jest niewyraźne, ale widoczne są elementy miejskiego krajobrazu nocnego: zarys ulicy oraz zapalone latarnie. Na ilustracji dominują odcienie koloru żółtego, pomarańczowego oraz czerń. Grafika kojarzy się z prędkością i dynamizmem.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RACHBILXcpgAL/2/b6V6USDrzM9HlMhMH6d9aCcwbpVPxRLC.jpg)
sformułujesz i uzasadnisz wnioski na podstawie wykonywanych doświadczeń;
opiszesz prowadzone rozumowania językiem matematyki;
wykorzystasz narzędzia prawdopodobieństwa do wyboru najlepszego rozwiązania w sytuacjach z życia codziennego.
Cele edukacyjne zgodne z etapem kształcenia
Po zapoznaniu się z e‑materiałem uczeń:
dobiera i tworzy modele matematyczne przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
Z JAKĄ PRĘDKOŚCIĄ WRACAĆ OD BABCI, CZYLI WYRAŻENIA WYMIERNE W PRAKTYCE – audiobook
Rozdziały:
Uliczna ankieta
Średnia harmoniczna
Podsumowanie
Przed rozpoczęciem pracy z audiobookiem, możesz skorzystać z przygotowanego scenariusza lekcji, który pokazuje, jak włączyć materiały multimedialne w tok lekcji.
Słuchając audiobooka, zwróćcie uwagę na sytuacje, w których intuicyjnie chcemy zastosować średnią arytmetyczną, co w konsekwencji może doprowadzić nas do uzyskania wyniku znacznie odbiegającego od poprawnego.
Przed wysłuchaniem nagrania porozmawiajcie o znanych wam, wykorzystywanych w statystyce, miarach położenia i ich zastosowaniach. Przypomnijcie sobie również, jaka jest zależność między drogą, prędkością, a czasem w ruchu jednostajnym.
Rozdział 1
Uliczna ankieta
Marcin opowiada o wynikach sondażu, który przeprowadził.
Witam wszystkich bardzo serdecznie. Mam na imię Marcin i chciałbym przedstawić wam wyniki sondażu, który przeprowadziłem wczoraj w naszym mieście. Stu przechodniów poprosiłem o rozwiązanie następującego zadania:
W środę pojechałem rowerem do babci. W jedną stronę jechałem z prędkością 20 kilometrów na godzinę. Z powrotem było z górki, więc jechałem znacznie szybciej, z prędkością 30 kilometrów na godzinę. Z jaką średnią prędkością przebyłem całą trasę "tam" i "z powrotem"?
Dziewięćdziesiąt pięć osób obliczyło średnią arytmetyczną liczb 20 i 30, czyli dwadzieścia dodać trzydzieści równa się pięćdziesiąt, pięćdziesiąt podzielić przez dwa równa się dwadzieścia pięć, i uznało, że poruszałem się ze średnią prędkością 25 kilometrów na godzinę. Tylko pięć osób podało inny wynik. Cztery stwierdziły, że średnia prędkość to 24 kilometry na godzinę. Jedna orzekła, że wynosiła ona 0 kilometrów na godzinę i upierała się, że ma rację.
Jak myślicie, który wynik jest poprawny: 25 kilometrów na godzinę czy 24 kilometry na godzinę? A może wręcz 0 kilometrów na godzinę? Przeanalizujcie problem w grupach i zaprezentujcie innym wasze obliczenia.
Rozdział 2
Średnia harmoniczna
Rozmowa Marcina z ekspertem w zakresie statystyki i matematyki.
— Aby ostatecznie rozstrzygnąć, z jaką średnią prędkością jechałem do babci i z powrotem, poprosiłem o pomoc eksperta panią Ewę, która jest nie tylko matematykiem, ale również fizykiem. Pani Ewo, czy może nam pani wyjaśnić, skąd wzięła się niespójność w wynikach uzyskanych przez ankietowanych?
— To bardzo proste. Większość respondentów, analizując zadanie zauważyła, że długość drogi, jaką przebyłeś, jadąc do babci była równa długości drogi, jaką przebyłeś w drodze powrotnej. Osoby te przyjęły więc za pewnik, że ta wielkość nie odgrywa istotnej roli w obliczeniach i pominęły ją. Średnią prędkość obliczyły, opierając się na znanych analogiach, na przykład obliczaniu średniej ocen. Korzystały więc ze średniej arytmetycznej i otrzymały rozwiązanie: 25 kilometrów na godzinę.
— Więc ten wynik jest poprawny?
— Niestety, nie.
— Gdzie zatem tkwi błąd w rozumowaniu?
— Czy pamiętasz czym jest prędkość w ruchu jednostajnym?
— Tak. Można powiedzieć, że prędkość to zmiana odległości podzielona przez jednostkę czasu, w jakiej została dokonana.
— No właśnie. W rozważanym przez nas przypadku, długość drogi „tam” była równa długości drogi „z powrotem”, ale czas jazdy był inny. Z powrotem jechałeś dużo szybciej, więc pokonałeś trasę w krótszym czasie, niż jadąc z domu do babci.
— Rzeczywiście. Jeśli więc założę, że długość drogi z domu do babci jest równa s, to cała przebyta przeze mnie droga ma długość 2s. Wtedy czas jazdy „tam” będzie wynosił s podzielić przez 20, a czas jazdy „z powrotem” s podzielić przez 30.
— Oczywiście. Aby obliczyć średnią prędkość należy podzielić długość drogi, czyli 2 s przez czas jazdy, czyli sumę, której składniki to s przez 20 i s przez 30.
— Obliczam. Mój wynik to 24 kilometry na godzinę. Czy to już jest prawidłowa odpowiedź?
— I tak, i nie.
— Jak to?
— Fizyk bez wątpienia ustaliłby, że prędkość wynosiła zero kilometrów na godzinę.
— To zaskakujące. Czy może nam pani to dokładnie wyjaśnić?
— Na co dzień posługujemy się naprzemiennie terminami prędkość i szybkość, czyli wartość prędkości. W fizyce, jednak terminy te mają inne znaczenia. Szybkość jest wielkością skalarną, czyli liczbą. Prędkość jest natomiast wielkością wektorową. Twoje przemieszczenie w podróży "tam" i "z powrotem" było równe zeru – wyjechałeś z domu i wróciłeś do domu. Stąd wniosek, że twoja średnia prędkość też była równa zeru.
— Ale średnia szybkość była równa 24 kilometry na godzinę?
— Tak. Doskonale zrozumiałeś różnicę między średnią prędkością, a średnią szybkością. Aby obliczyć średnią szybkość, utożsamianą zwykle ze średnią prędkością, wykorzystaliśmy wzór na średnią harmoniczną dwóch wielkości. Zauważ, że średnia harmoniczna w naszym przypadku była mniejsza niż średnia arytmetyczna tych samych wielkości. Czy jest tak zawsze – przedyskutuj ten problem z kolegami z klasy.
— Bardzo dziękuję za interesującą rozmowę i rozwiązanie nurtującego mnie problemu. Przy okazji uświadomiła mi też pani, że przeprowadzając sondaż należy doprecyzować zawarte w nim pytania.
Rozdział 3
Podsumowanie
Marcin podsumowuje rezultaty ankiety i rozmowy z ekspertem.
Rozmowa z naszym ekspertem zainspirowała mnie do poszukania wiadomości na temat średniej harmonicznej. W badaniach statystycznych średnia harmoniczna jest miarą położenia rozkładu, podobnie jak średnia arytmetyczna. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (na przykład w km/h).
Średnią harmoniczną liczb dodatnich a1, a2, a3,…,an obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności. Średnia harmoniczna n liczb jest nie większa od średniej geometrycznej i nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb. Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia na przykład obliczając średnią szybkość, czy dobierając oporności oporników w połączeniu równoległym. A teraz zadanie dla was. Do babci pojadę samochodem z prędkością 40 kilometrów na godzinę. Z jaką prędkością muszę wracać od babci, aby moja średnia szybkość na całej trasie była równa 48 kilometrów na godzinę?
Z jaką prędkością wracać od babci, czyli wyrażenia wymierne w praktyce
Rozdział 1
Uliczna ankieta
Marcin opowiada o wynikach sondażu, który przeprowadził.
Witam wszystkich bardzo serdecznie. Mam na imię Marcin i chciałbym przedstawić wam wyniki sondażu, który przeprowadziłem wczoraj w naszym mieście. Stu przechodniów poprosiłem o rozwiązanie następującego zadania:
W środę pojechałem rowerem do babci. W jedną stronę jechałem z prędkością 20 kilometrów na godzinę. Z powrotem było z górki, więc jechałem znacznie szybciej, z prędkością 30 kilometrów na godzinę. Z jaką średnią prędkością przebyłem całą trasę „tam” i „z powrotem”?
Dziewięćdziesiąt pięć osób obliczyło średnią arytmetyczną liczb 20 i 30, czyli dwadzieścia dodać trzydzieści równa się pięćdziesiąt, pięćdziesiąt podzielić przez dwa równa się dwadzieścia pięć, i uznało, że poruszałem się ze średnią prędkością 25 kilometrów na godzinę. Tylko pięć osób podało inny wynik. Cztery stwierdziły, że średnia prędkość to 24 kilometry na godzinę. Jedna orzekła, że wynosiła ona 0 kilometrów na godzinę i upierała się, że ma rację.
Jak myślicie, który wynik jest poprawny: 25 kilometrów na godzinę czy 24 kilometry na godzinę? A może wręcz 0 kilometrów na godzinę? Przeanalizujcie problem w grupach i zaprezentujcie innym wasze obliczenia.
Rozdział 2
Średnia harmoniczna
Rozmowa Marcina z ekspertem w zakresie statystyki i matematyki.
— Aby ostatecznie rozstrzygnąć, z jaką średnią prędkością jechałem do babci i z powrotem, poprosiłem o pomoc eksperta panią Ewę, która jest nie tylko matematykiem, ale również fizykiem. Pani Ewo, czy może nam pani wyjaśnić, skąd wzięła się niespójność w wynikach uzyskanych przez ankietowanych?
— To bardzo proste. Większość respondentów, analizując zadanie zauważyła, że długość drogi, jaką przebyłeś, jadąc do babci była równa długości drogi, jaką przebyłeś w drodze powrotnej. Osoby te przyjęły więc za pewnik, że ta wielkość nie odgrywa istotnej roli w obliczeniach i pominęły ją. Średnią prędkość obliczyły, opierając się na znanych analogiach, na przykład obliczaniu średniej ocen. Korzystały więc ze średniej arytmetycznej i otrzymały rozwiązanie: 25 kilometrów na godzinę.
— Więc ten wynik jest poprawny?
— Niestety, nie.
— Gdzie zatem tkwi błąd w rozumowaniu?
— Czy pamiętasz czym jest prędkość w ruchu jednostajnym?
— Tak. Można powiedzieć, że prędkość to zmiana odległości podzielona przez jednostkę czasu, w jakiej została dokonana.
— No właśnie. W rozważanym przez nas przypadku, długość drogi „tam” była równa długości drogi „z powrotem”, ale czas jazdy był inny. Z powrotem jechałeś dużo szybciej, więc pokonałeś trasę w krótszym czasie, niż jadąc z domu do babci.
— Rzeczywiście. Jeśli więc założę, że długość drogi z domu do babci jest równa s, to cała przebyta przeze mnie droga ma długość 2s. Wtedy czas jazdy „tam” będzie wynosił s podzielić przez 20, a czas jazdy „z powrotem” s podzielić przez 30.
— Oczywiście. Aby obliczyć średnią prędkość należy podzielić długość drogi, czyli 2 s przez czas jazdy, czyli sumę, której składniki to s przez 20 i s przez 30.
— Obliczam. Mój wynik to 24 kilometry na godzinę. Czy to już jest prawidłowa odpowiedź?
— I tak, i nie.
— Jak to?
— Fizyk bez wątpienia ustaliłby, że prędkość wynosiła zero kilometrów na godzinę.
— To zaskakujące. Czy może nam pani to dokładnie wyjaśnić?
— Na co dzień posługujemy się naprzemiennie terminami prędkość i szybkość, czyli wartość prędkości. W fizyce, jednak terminy te mają inne znaczenia. Szybkość jest wielkością skalarną, czyli liczbą. Prędkość jest natomiast wielkością wektorową. Twoje przemieszczenie w podróży „tam” i „z powrotem” było równe zeru – wyjechałeś z domu i wróciłeś do domu. Stąd wniosek, że twoja średnia prędkość też była równa zeru.
— Ale średnia szybkość była równa 24 kilometry na godzinę?
— Tak. Doskonale zrozumiałeś różnicę między średnią prędkością, a średnią szybkością. Aby obliczyć średnią szybkość, utożsamianą zwykle ze średnią prędkością, wykorzystaliśmy wzór na średnią harmoniczną dwóch wielkości. Zauważ, że średnia harmoniczna w naszym przypadku była mniejsza niż średnia arytmetyczna tych samych wielkości. Czy jest tak zawsze – przedyskutuj ten problem z kolegami z klasy.
— Bardzo dziękuję za interesującą rozmowę i rozwiązanie nurtującego mnie problemu. Przy okazji uświadomiła mi też pani, że przeprowadzając sondaż należy doprecyzować zawarte w nim pytania.
Rozdział 3
Podsumowanie
Marcin podsumowuje rezultaty ankiety i rozmowy z ekspertem.
Rozmowa z naszym ekspertem zainspirowała mnie do poszukania wiadomości na temat średniej harmonicznej. W badaniach statystycznych średnia harmoniczna jest miarą położenia rozkładu, podobnie jak średnia arytmetyczna. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (na przykład w km/h).
Średnią harmoniczną liczb dodatnich aIndeks dolny 11, aIndeks dolny 22, aIndeks dolny 33,…,aIndeks dolny nn obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności. Średnia harmoniczna n liczb jest nie większa od średniej geometrycznej i nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb. Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia na przykład obliczając średnią szybkość, czy dobierając oporności oporników w połączeniu równoległym. A teraz zadanie dla was. Do babci pojadę samochodem z prędkością 40 kilometrów na godzinę. Z jaką prędkością muszę wracać od babci, aby moja średnia szybkość na całej trasie była równa 48 kilometrów na godzinę?
Oblicz szybkość średnią każdego z rowerzystów, jeżeli rowerzysta A od godziny 13.00 do godziny 14.00 jechał z szybkością 15 km/h, a od godziny 14.00 do godziny 15.00 jechał z szybkością 25 km/h, rowerzysta B przez 10 km jechał z szybkością 10 km/h, a przez następne 10 km z szybkością 30 km/h, rowerzysta C godzinę jechał z szybkością 20 km/h, a przez następne 10 km jechał z szybkością 20 km/h.
Wykaż, że dla dodatnich liczb a i b
a) zachodzi nierówność
![Iloraz sumy a i b oraz 2 (średnia arytmetyczna) jest większy równy ilorazowi liczby 2 oraz sumy odwrotności a i odwrotności b (średnia harmoniczna).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rm1T0EcdRux05/2/BRXbsaxZnz43pUrjqQ9irXBxqIVlUaaz.jpg)
b) zachodzi nierówność
![Pierwiastek kwadratowy iloczynu a i b (średnia geometryczna) jest większy równy ilorazowi liczby 2 oraz sumy odwrotności a i odwrotności b (średnia harmoniczna).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RTnp9nEugS2la/2/19NLcnosXNrDCmky2yJAdubyerAxI0xh.jpg)
c) odwrotność średniej arytmetycznej tych liczb jest równa średniej harmonicznej odwrotności tych liczb.
Jak dobrać oporności trzech oporników o łącznym oporze 18 omega, połączonych równolegle, aby opór zastępczy był największy?
Wskazówka 1
Skorzystaj z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.
Połączenie szeregowe
![Ilustracja stanowi schemat wzbogacający treść polecenia 3. Przedstawia dwa oporniki oznaczone symbolami R, R1 i R2. Oporniki są połączone szeregowo, co jest zaznaczone czerwonymi i zielonymi liniami. Schemat obrazuje wzór na połączenie szeregowe R = R1 + R2.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1JsZIF6RlKeJ/2/22wxT03CDYO4NB8uIqHmXQxQDdZnGOBd.jpg)
Opór zastępczy R oporów RIndeks dolny 11, RIndeks dolny 22 połączonych szeregowo, wyraża się wzorem
![R jest sumą R1 i R2.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RETHlhiq6oTeS/2/1bzeFRisQhDmRRzPuvVr8l8C0NTvXJ7d.jpg)
Połączenie równoległe
![Ilustracja stanowi schemat wzbogacający treść polecenia 3. Przedstawia dwa oporniki oznaczone symbolami R, R1 i R2. Oporniki są połączone równolegle. Ich połączenia są zaznaczone czerwonymi zielonymi liniami. Schemat obrazuje wzór na połączenie równoległe.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RPOrJxvDne715/2/15f6JbcyfJII7nRAF2jNYPZDUrGMqMf5.jpg)
Opór zastępczy R oporów RIndeks dolny 11, RIndeks dolny 22 połączonych równolegle, wyraża się wzorem
![Odwrotność oporu zastępczego (R) wynosi sumę odwrotności oporów R1 i R2.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RFM6yrHC7iCkN/2/1dBgSpP7mVNzZbUAOxXvDsUXHBydFLTC.jpg)
Podsumowanie
Średnia harmonicznaŚrednia harmoniczna jest jednym z parametrów statystycznych. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (np. km/h).
Średnią harmoniczną liczb dodatnich
![Grafika przedstawia ciąg liczb dodatnich.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R7nkDINqyMWww/2/6jJ2yiABwqDUiJH0Kzd46kO2OB8mdehy.jpg)
obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności
![Iloraz liczby n oraz sumy odwrotności liczb dodatnich.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rny5wIn6ogDNp/2/17BSk0HO4dfpQpqr46mYNAFsqqLk4rw5.jpg)
Geometrycznie średnia harmoniczna to długość odcinka zawartego w trapezie, przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i równoległego do postaw.
Zadanie 1.
Przeprowadź wśród uczniów twojej szkoły ankietę, w której zapytasz o średnią szybkość, z jaką poruszał się samochód, który z magazynu zawiózł ładunek do sklepu oddalonego o 100 km i powrócił tą samą trasą. Z magazynu do sklepu samochód jechał z prędkością 40 km/h, a z powrotem z prędkością 60 km/h.
![Ilustracja stanowi kartę pracy potrzebną do wykonania pracy domowej. Na górze strony znajduje się napis „PRACA DOMOWA”. Poniżej zamieszczone jest polecenie o treści „Przeprowadź wśród uczniów twojej szkoły ankietę. Poproś respondentów o zaznaczenie poprawnej odpowiedzi”. Pod spodem znajduje się nagłówek „ANKIETA”, a pod nim treść zadania: „Z jaką średnią szybkością poruszał się samochód, który z magazynu zawiózł ładunek do sklepu oddalonego o 100 km i powrócił tą samą trasą. Z magazynu do sklepu samochód jechał z prędkością 40 km/h, a z powrotem z prędkością 60 km/h”. Pod treścią zadania do ankiety jest zamieszczona tabela, która jest arkuszem odpowiedzi dla ankietowanych. Tabela składa się z czterech kolumn i 17 wierszy. Pierwszy wiersz tabeli jest uzupełniony. Komórka w pierwszej kolumnie w pierwszym wierszu zawiera napis „UCZEŃ”, w kolejnym mieści się odpowiedź do wyboru o wartości „50 km/h”, w trzeciej kolumnie „52 km/h”, a w czwartej kolumnie „48 km/h”. Na dole dokumentu pod tabelą znajduje się informacja „znaczkiem X zaznacz poprawną odpowiedź”.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RtfkINYbRgiNb/2/2bIWfmSudnCcCihOXGnzT5Bn3n3yj6Xf.jpg)
Zadania
Oblicz średnią arytmetyczną poniższych liczb.
2, 10 ............
12, 10, 8 ............
5, 5, 5 ............
4, 4, 4 ............
1, 9, 8, 2 ............
0, 0, 0 ............
-10, 10 ............
-137, 137, -285, 285 ............
Oblicz średnią harmoniczną poniższych liczb. Odpowiedzi podaj w postaci ułamków nieskracalnych (do zapisu użyj prawego ukośnika).
2, 10 ............
1, 1 ............
2, 2 ............
5, 10 ............
2, 8 ............
3, 6 ............
1, 5 ............
8, 10 ............
Średnia harmoniczna liczb 8 i x wynosi 13,44. Wyznacz i wskaż x.
- 13,44
- 18,88
- 42,00
- 5,44
- 26,88
- 10,88
- 9,44
- 21,44
- 10,72
Słowniczek
Prędkość to wielkość wektorowa. W praktyce szkolnej oblicza się prędkość jako stosunek długości drogi przebytej przez ciało do czasu, w jakim ruch się odbywał.
Średnia harmoniczna liczb dodatnich
![Grafika przedstawia ciąg liczb dodatnich.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R7nkDINqyMWww/2/6jJ2yiABwqDUiJH0Kzd46kO2OB8mdehy.jpg)
to iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności.
![Iloraz liczby n oraz sumy odwrotności liczb dodatnich.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rny5wIn6ogDNp/2/17BSk0HO4dfpQpqr46mYNAFsqqLk4rw5.jpg)
Szybkość to wielkość skalarna. Najczęściej przyjmuje się, że jest to wartość liczbowa prędkości.
Powrót do e‑podręcznika
E‑podręcznik „Odkryj, zrozum, zastosuj...”
https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon
3.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierne:
https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi#iIEiNx2IIi_d25e1
3.4. Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych:
https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L