Zadania na prędkość, drogę, czas - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

ReZgOi55WCkxe

Rq2PrrryGCFsB

Ilustracja przedstawia dwie osoby biorące udział w wyścigu kosiarek do trawy. — Źródło: Pixaby.com , licencja: CC BY 3.0.

Jedna z najdziwniejszych dyscyplin to wyścig kosiarek do trawy. Rekord prędkości rozwijany przez taką kosiarkę wynosi ponad $200 \frac{km}{h}$ .
Równie zabawne są zawody w biegu na szpilkach. Rekordzistki potrafią pokonać dystans $100 m$ w czasie poniżej $15 s$ .
Rekordy te związane są z prędkością, drogą i czasem – ważnymi pojęciami dla kierowcy, maszynisty, czy ucznia spieszącego się do szkoły. Pojęcia te wykorzystasz, rozwiązując zadania zawarte w tym materiale.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
Prezentacja multimedialnaPrezentacja multimedialna
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Twoje cele

Stworzysz model matematyczny zagadnienia związanego z wyznaczaniem drogi, prędkości lub czasu.
Rozwiążesz równanie z jedną niewiadomą.
Zinterpretujesz wyniki uzyskane po rozwiązaniu zadania z kontekstem realistycznym.

Ruch jednostajny prostoliniowy, to ruch, w którym obiekt porusza się po linii prostej ze stałą prędkością.
Długość drogi $s$ (w $km$ ) przebytej przez obiekt w takim ruch, można wyznaczyć ze wzoru:

s = v \cdot t

gdzie:
$v$ – prędkość, z jaką porusza się obiekt (w $\frac{km}{h}$ ),
$t$ – czas poruszania się obiektu (w $h$ ).

Rozwiązując zadania, będziemy przyjmować, że dany obiekt porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Przystępując do rozwiązania zadania tekstowego:

przeczytaj je najpierw uważnie,
określ liczbę niewiadomych,
wybierz sposób rozwiązania zadania.

Jeśli wybierzesz sposób algebraiczny, oznacz symbolami literowymi szukane wielkości.
Następnie ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie.
Pamiętaj o tym, że niektóre zadania mogą mieć nie tylko jedno rozwiązanie. Zatem w każdym przypadku trzeba sprawdzić, czy znalezione liczby spełniają warunki zadania. Może się bowiem okazać, że długość przebytej drogi wyraża się liczbą ujemną, a prędkość, z jaką biegnie koń jest większa niż $1000 \frac{km}{h}$ .
Błędy tego typu wynikają często z braku ujednolicenia jednostek, w jakich wyrażają się wielkości występujące w zadaniu.
Pamiętaj zatem, żeby dokonując analizy zadania, od razu ustalić, w jakich jednostkach będziesz prowadzić obliczenia.
Przy czym jednostek nie musisz zapisywać układając i rozwiązując równania, ale trzeba je uwzględnić w odpowiedzi.
Na początek proste zadania, pokazujące bezpośrednio zastosowanie poznanego wzoru.

Przykład 1

Obliczymy długość drogiDługość drogidługość drogi, jaką pokona rowerzysta, poruszając się z prędkością $20 \frac{km}{h}$ w ciągu $3$ godzin.

Rozwiązanie:
Oznaczmy:
$s km$ – długość drogi przebytej przez rowerzystę,
$v \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką poruszał się rowerzysta,
$t h$ – czas jazdy rowerzysty.
Do wzoru

s = v \cdot t

podstawiamy odpowiednie liczby.

s = 20 \cdot 3 = 60

Odpowiedź:
Rowerzysta pokonał drogę długości $60 km$ .

Przykład 2

Odległość z Warszawy do Łodzi jest równa $120 km$ . Jak długo jedzie pociąg na tej trasie, jeżeli jego prędkość jest równa $80 \frac{km}{h}$ ?

Rozwiązanie:
Analiza zadania:
$s = 120 km$
$v = 80 \frac{km}{h}$
$t h = ?$
Aby obliczyć czas jazdy pociągu, skorzystamy ze wzoru na długość drogi w ruchu jednostajnym.

s = v \cdot t

Do wzoru podstawiamy odpowiednie liczby.

120 = 80 t

Dzielimy obie strony równania przez $80$ .

t = \frac{120}{80} = 1, 5

Odpowiedź:
Pociąg na trasie Warszawa – Łódź jedzie $1, 5 h$ .

Rozwiązanie następnego zadania będzie wymagało zmiany jednostek. Pamiętaj więc, że:
$1, 5 h$ to $1 h 30 \min$ .
Ale $1 h 15 \min$ to nie $1, 15 h$ , ale
$1 h 15 \min$ to $1 \frac{15}{60} h$ , bo $1 h = 60 \min$ .

Przykład 3

Zwykle pan Franciszek drogę z domu do pracy, jadąc autobusem, pokonuje w ciągu $40$ minut. W środę autobus zwiększył prędkość o $10 \frac{km}{h}$ i pan Franciszek jechał do pracy tylko pół godziny. Z jaką prędkością jechał zwykle autobus, którym podróżował pan Franciszek?

Rozwiązanie:
Analiza zadania:

$v \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką zwykle jechał autobus
$(v + 10) \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką poruszał się autobus w środę
$40 \min = \frac{40}{60} h = \frac{2}{3} h$
Pół godziny to $30$ minut, czyli $\frac{1}{2}$ godziny.
Z treści zadania wynika, że odległość jaką pokonuje autobus jest równa $\frac{2}{3} v km$ .
W środę autobus pokonał tę samą drogę, a więc drogę długości $\frac{1}{2} (v + 10) km$ .
Otrzymujemy równanie:

\frac{2}{3} v = \frac{1}{2} (v + 10)

Po prawej stronie równania wykonujemy mnożenie i przenosimy wyrażenie z niewiadomą na lewą stronę równania.

\frac{2}{3} v = \frac{1}{2} v + 5

\frac{2}{3} v - \frac{1}{2} v = 5

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i wykonujemy odejmowanie.

\frac{4}{6} v - \frac{3}{6} v = 5

\frac{1}{6} v = 5

Dzielimy obie strony równania przez $\frac{1}{6}$ .

v = 5 : \frac{1}{6}

v = \frac{30}{1} = 30

Odpowiedź:
Autobus zwykle jechał z prędkością $30 \frac{km}{h}$ .

Teraz rozważymy sytuację, w której piechurzy będą poruszali się po drogach wzajemnie prostopadłych. W rozwiązaniu zadania wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa.

Przykład 4

Magda i Klara spotkały się na skrzyżowaniu dróg. Porozmawiały chwilę i poszły dalej drogami, które przecinały się pod kątem prostym. Magda poruszała się z prędkością $4 \frac{km}{h}$ , a Klara z prędkością $50 \frac{m}{\min}$ . Obliczymy, po jakim czasie odległość między dziewczętami będzie równa $5 km$ .

Rozwiązanie:
Oznaczmy:
$t h$ – czas, po jakim odległość między dziewczętami będzie równa $5 km$ .
Określimy najpierw prędkość, z jaką poruszała się Klara w $\frac{km}{h}$ .
$50 \frac{m}{\min} = 0, 05 \frac{km}{\min} = \frac{0, 05}{\frac{1}{60}} \frac{km}{h} = 3 \frac{km}{h}$ .

ROgcyadjy5OFA

Na ilustracji ukazany jest kartezjański układ współrzędnych. Oś pozioma iks ma zwrot w prawo, oś pionowa igrek ma zwrot w górę. W miejscu przecięcia osi zaznaczono punkt zero. Po prawej stronie osi poziomej zaznaczono punkt cztery t kilometrów za pomocą niebieskiej kropki. Obok punktu znajduje się animowana kobieta. W górnej części osi pionowej zaznaczono punkt trzy t kilometrów za pomocą niebieskiej kropki. Obok tego punktu także znajduje się animowana kobieta.
Dwie niebieskie kropki zostały ze sobą połączone za pomocą niebieskiej przerywanej linii. Nad linią jest napis pięć kilometrów. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

W czasie $t$ Magda przebędzie drogę długości $4 t km$ , a Klara drogę długości $3 t km$ .
Drogi, po których poruszają się dziewczęta są prostopadłe. Możemy skorzystać więc z twierdzenia Pitagorasa. Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

{(4 t)}^{2} + {(3 t)}^{2} = 5^{2}

16 t^{2} + 9 t^{2} = 25

25 t^{2} = 25 | : 25

t^{2} = 1

Zauważ, że równanie to spełniają dwie liczby $(- 1)$ i $1$ . Jednak czas w rozważanym przypadku nie może wyrażać się liczbą ujemną, zatem $t = 1 h$ .

Odpowiedź:
Odległość między dziewczętami będzie równa $5 km$ po godzinie od chwili rozstania.

Rozważmy teraz sytuację, w której dwa ciała wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie z miejscowości odpowiednio $A$ oraz $B$ i poruszają się ze stałymi prędkościami $v_{1}$ i $v_{2}$ . Jeśli ciała te spotkają się po upływie czasu $t$ , to do momentu spotkania, pierwsze ciało przebyło drogę długości $t \cdot v_{1}$ , a drugie ciało przebyło drogę długości $t \cdot v_{2}$ .
Suma długości tych dróg jest równa odległości między miejscowościami $A$ i $B$ .
Oznaczając przez $s$ tę odległość, otrzymujemy:

s = t v_{1} + t v_{2}

Przykład 5

Z miejscowości odległych o $180 km$ wyjechały jednocześnie dwa samochody: samochód osobowy i samochód ciężarowy. Samochód osobowy poruszał się z prędkością o $10 \frac{km}{h}$ większą niż samochód ciężarowy. Samochody spotkały się po $2$ godzinach jazdy.
Obliczymy, z jaką prędkością jechał samochód ciężarowy.

Rozwiązanie:
Analiza zadania:
$180 km$ – odległość między miejscowościami, z których wyruszyły samochody
$v \frac{km}{h}$ – prędkość jazdy samochodu ciężarowego
$(v + 10) \frac{km}{h}$ – prędkość jazdy samochodu osobowego
$2 h$ – czas jazdy każdego z samochodów

RNXHkV3Y9r4Dl

Na ilustracji ukazano szarą linię poziomą, pod którą znajduje się podpis 180 km. Nad lewym końcem linii umieszczono fotografię sportowego samochodu osobowego. Od fotografii poprowadzono wektor poziomy z grotem zwróconym w prawą stronę. Nad wektorem jest zapis: v+10kmh. Nad prawym końcem szarej linii umieszczono fotografię samochodu ciężarowego. Od fotografii poprowadzono wektor poziomy z grotem zwróconym w lewą stronę. Nad wektorem jest zapis: vkmh. — Źródło: Pixaby.com, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie treści zadania układamy i rozwiązujemy równanie.

2 v + 2 (v + 10) = 180

2 v + 2 v + 20 = 180

4 v = 180 - 20

4 v = 160 | : 4

v = 40

Odpowiedź:
Samochód ciężarowy poruszał się z prędkością $40 \frac{km}{h}$ .

Na koniec zadanie z historii matematyki, którego rozwiązanie warto znać, aby nie dać się zaskoczyć na lekcji lub spotkaniu towarzyskim.

Przykład 6

Koloniści maszerują dwójkami ze stałą prędkością. Wychowawca, idący na przodzie, polecił idącemu obok Markowi, aby przekazał pilną wiadomość ostatniej maszerującej parze. Idąc do końca kolumny Marek zrobił tylko $8$ kroków, przekazał wiadomość i zaraz zawrócił. Wracając, wykonał aż $56$ kroków.
Obliczymy, jaką długość ma kolumna kolonistów, jeżeli jeden krok Marka ma długość $60 cm$ .

Rozwiązanie:
Oznaczmy:
$x$ – długość kolumny (mierzona w krokach),
$y$ – długość odcinka, o który przesuwała się kolumna podczas każdego kroku Marka.
Wtedy $x - 8 y$ to odległość, jaką pokonał Marek idąc do końca kolumny (kolumna w tym czasie przesuwała się w przeciwnym kierunku niż Marek).

Odległość ta jest równa $8$ krokom Marka.

$8 = x - 8 y$

Stąd $(1)$ $x = 8 + 8 y$

W drodze powrotnej, w czasie jednego kroku Marka, kolumna przesuwała się nadal o ten sam dystans, równy $y$ , więc Marek pokonał drogę równą $x + 56 y .$

Czyli $x + 56 y = 56$ .

Długość kolumny $x$ będzie więc równa $(2)$ $x = 56 - 56 y$ .

Z $(1)$ i $(2)$ otrzymujemy:

8 + 8 y = 56 - 56 y

64 y = 48

y = \frac{48}{64}

Obliczamy długość kolumny:

x = 8 + 8 \cdot \frac{48}{64}

x = 8 + 6 = 14

Wynika z tego, że długość kolumny jest równa długości $14$ kroków Marka.
Ponieważ jeden krok ma długość $60 cm = 0, 6 m$ , więc kolumna ma długość

14 \cdot 0, 6 = 8, 4

Odpowiedź:
Kolumna kolonistów ma długość $8, 4 m$ .

Notatnik

R1alnRQ0u56ir

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

RA7a0ADa7SVCx

Przed przystąpieniem do oglądania prezentacji, przypomnij sobie sposób zamiany jednostek, związanych z prędkością, drogą i czasem. Uzupełnij przeciągając odpowiednie liczby.

300 m =

0, 3

, 2.

200

, 3.

\frac{24}{60}

, 4.

\frac{18}{3600}

, 5.

\frac{12000}{60}

km

24 s =

0, 3

, 2.

200

, 3.

\frac{24}{60}

, 4.

\frac{18}{3600}

, 5.

\frac{12000}{60}

\min

18 s =

0, 3

, 2.

200

, 3.

\frac{24}{60}

, 4.

\frac{18}{3600}

, 5.

\frac{12000}{60}

h

12 \frac{km}{h} =

0, 3

, 2.

200

, 3.

\frac{24}{60}

, 4.

\frac{18}{3600}

, 5.

\frac{12000}{60}

\frac{m}{\min} =

0, 3

, 2.

200

, 3.

\frac{24}{60}

, 4.

\frac{18}{3600}

, 5.

\frac{12000}{60}

\frac{m}{\min}

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Być może zdarzyło ci się, stojąc na peronie stacji kolejowej, obserwować mijający cię pociąg. Czy zastanawiało cię, jak długo trwa taka mijanka?
Jeśli tak, obejrzyj prezentację, która pomoże ci w przyszłości obliczyć czas takiej mijanki.

R1SxKfq7QdjVT

Źródło: Gromar Sp. z o.o., film: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1LLe79rDWGtj

RZR0MVUahNHSN

Na ekranie białe tło. Ramka w kolorze szaro‑różowym. Na ekranie zapisano: "Mijanie. Mijające się pojazdy poruszają się po równoległych torach. Pojazd zaczyna mijać obserwatora, gdy czoło pojazdu przejeżdża obok obserwatora, a kończy mijanie, gdy koniec pojazdu minie obserwatora. Pojazd o długości "l", mijający stojący obiekt o długości "s" przebywa drogę długości "l+s". Jeżeli pojazdy poruszają się w tym samym kierunku z prędkościami odpowiednio v1 i v2 (v2>v1), to prędkość drugiego pojazdu względem prędkości pierwszego pojazdu (lub odwrotnie - pierwszego względem drugiego) jest równa "v2‑v1". Względna prędkość pojazdów jadących w przeciwnych kierunkach jest równa "v1+v2". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1FkGkbForsq6

RJOw0QwQPIdUS

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1Fl4PaGylWsg

Transkrypcjaazurewhite

R13TGNBxXsgAV

R5UZdVeODnws4

Na ekranie białe tło. Ramka w kolorze szaro‑różowym. W prawym górnym rogu napis: "Przykład 2". W centralnej części ekranu tekst: "Krystian jadący hulajnogą z prędkością 4 km/h spotyka peleton kolarzy długości 200 m, jadący w przeciwnym kierunku z prędkością 36 km/h. Obliczymy, jak długo peleton będzie mijał Krystiana." Poniżej, po lewej stronie ekranu ukazane jest zdjęcie chłopaka jadącego na hulajnodze. W dolnym rogu zapisano prędkość 4 km/h. Po prawej stronie ekranu ukazano zdjęcie przedstawiające peleton. W dolnym rogu zapisano prędkość 36 km/h. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., film: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1FH7aRcY8THh

R1TgHtmnJjUW1

Źródło: Gromar Sp. z o.o., zdjęcia: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

RXkf1o8hRWFEW

RbGRrarEPq1ah

Na ekranie białe tło. Ramka w kolorze szaro‑różowym. W prawym górnym rogu napis: "Przykład 2". W centralnej części ekranu tekst: "Aby wyznaczyć czas, w którym peleton będzie mijał Krystiana, przekształcamy wzór na drogę w ruchu jednostajnym." Niżej zapisano: v*t=s/:v. Z tego wynika t=s/v. "Do uzyskanego wzoru podstawiamy odpowiednie liczby." t=200/(100/9)=200/1*9/100=2*9=18. Odpowiedź: Peleton będzie mijał Krystiana w ciągu 18 sekund. Po prawej stronie ekranu znajduje się nagranie przedstawiające chłopaka jadącego na hulajnodze. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., film: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1f1LCGnmqkhU

RBredaAEB7Wu6

Źródło: Gromar Sp. z o.o., zdjęcia: Pexels.com, Unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

RZLTjZAkUxuw3

R1GZUNBD8LC81

Źródło: Gromar Sp. z o.o., zdjęcie: Unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

RMC82HVMG26VD

RETUVf7tF6hky

Źródło: Gromar Sp. z o.o., zdjęcie: Unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1OssLXhq4KJI

RNfJsv9LNqCuY

Źródło: Gromar Sp. z o.o., film: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

R1ZmJgFApq7cN

Transkrypcjaazurewhite

R5whpFDOvo0j8

R1UJ7ZZnNrAVN

Źródło: Gromar Sp. z o.o., film: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Transkrypcjaazurewhite

Slajd pierwszy

Rozwiążemy teraz kilka przykładów związanych z wymijaniem, omijaniem lub mijaniem się pojazdów. Wymijanie to przejeżdżanie, ewentualnie przechodzenie obok pojazdu lub uczestnika ruchu poruszającego się w przeciwnym kierunku. Mijanie to przechodzenie lub przejeżdżanie obok nieporuszającego się pojazdu, uczestnika ruchu lub przeszkody. Wyprzedzanie to przejeżdżanie lub przechodzenie obok pojazdu lub uczestnika ruchu poruszającego się w tym samym kierunku.

Grafiki na slajdzie przedstawiają zakorkowane miasto, trasę szybkiego ruchu z parkingiem oraz jezdnię wielopasmowa.

Slajd drugi

Mijanie:

mijające się pojazdy poruszają się po równoległych torach,
pojazd zaczyna mijać obserwatora, gdy czoło pojazdu przejeżdża obok obserwatora, a kończy się mijanie, gdy koniec pojazdu mini obserwatora,
pojazd o długości $l$ , mijający obiekt o długości $m$ , przebywa drogę długości $l + s$ ,
jeżeli pojazdy poruszają się w tym samym kierunku z prędkościami odpowiednio $v_{1}$ i $v_{2}$ $v_{2} > v_{1}$ , to prędkość drugiego pojazdu względem prędkości pierwszego pojazdu ( lub odwrotnie - pierwszego względem drugiego) jest równa $v_{2} - v_{1}$ ,
względna prędkość pojazdów jadących w przeciwnych kierunkach jest równa $v_{1} + v_{2}$ .

Slajd trzeci

Przykład pierwszy

Pociąg osobowy, który ma długość osiemdziesiąt metrów i jedzie z prędkością siedemdziesięciu dwóch kilometrów na godzinę, mija stojący pociąg towarowy. Mijanie trwa dwanaście sekund. Obliczymy długość pociągu towarowego.

Analiza zadania:

Oznaczymy przez $x$ długość pociągu towarowego. Pociąg osobowy przebędzie zatem drogę równą sumie długości pociągu towarowego i długości własnej, czyli drogę długości $x + 80$ metrów. Ujednolicamy jednostki. $72 \frac{km}{h} = \frac{7200 m}{3600 s} = 20 \frac{m}{s}$ . Zauważmy jeszcze, że pociąg jadący z prędkością $20 \frac{m}{s}$ w ciągu $12 s$ przebywa drogę długości $240 m$ .

Slajd czwarty

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie. Lewa strona równania to suma długości pociągu towarowego i pociągu osobowego. Prawa strona jest równa długości drogi przebytej przez pociąg osobowy w ciągu dwunastu sekund. $x + 80 = 12 \cdot 20$ , $x + 80 = 240$ , $x = 160$ . Rozwiązaniem równania jest liczba sto sześćdziesiąt metrów.

Slajd piąty

Przykład drugi Krystian jadący hulajnogą z prędkością równą cztery kilometry na godzinę spotyka peleton kolarzy mający długość dwieście metrów, jadący w przeciwnym kierunku z prędkością trzydziestu sześciu kilometrów na godzinę. Obliczymy, jak długo peleton będzie mijał Krystiana. Tym razem mamy do czynienia z sytuacją, gdy wymijają się dwa pojazdy jadące w przeciwnych kierunkach.

Slajd szósty

W analizie zadania uwzględniamy wszystkie dane wynikające z treści zadania. Krystian jedzie w przeciwnym kierunku niż kolarze. Zatem prędkość względna, z jaką się porusza, jest równa sumie prędkości hulajnogi i prędkości kolarzy, wynosi więc $(4 + 36) \frac{km}{h} = 40 \frac{km}{h}$ . Zamieniamy jednostki. Kilometr to $1000 m$ , godzina to $3600 s$ . Zatem $40 \frac{km}{h}$ to $\frac{100}{9} \frac{m}{s}$ .

Slajd siódmy

W ruchu jednostajnym czas poruszania się ciała to iloraz długości drogi przebytej przez to ciało przez prędkość, z jaką ciało się poruszało. Wyznaczamy wartość liczbową czasu, w jakim peleton minie Krystiana. Ponieważ długość peletonu podana była w metrach, a prędkość poruszania się peletonu w metrach na sekundę, zatem czas określony jest w sekundach. Peleton będzie więc mijał Krystiana w ciągu osiemnastu sekund. Aby wyznaczyć czas, w którym peleton będzie mijał Krystiana, przekształcimy wzór na drogę w ruchu jednostajnym. $v \cdot t = s$ , a stąd $t = \frac{s}{v}$ . Do uzyskanego wzoru podstawiamy odpowiednie liczby. $t = \frac{200}{\frac{100}{9}} = \frac{200}{1} \cdot \frac{9}{100} = 2 \cdot 9 = 18$ . Peleton będzie mijał Krystiana w ciągu osiemnastu sekund.

Slajd ósmy

Przykład trzeci. Dwa kuligi jechały tą samą drogą naprzeciw siebie. Pierwszy z prędkością siedemnastu kilometrów na godzinę, a drugi z prędkością dziewiętnastu kilometrów na godzinę. Woźnica pierwszego kuligu zauważył, że drugi kulig wymijał go przez dwie sekundy. Obliczymy, jaką długość miał drugi kulig. Oznaczam, że $s m$ to długość drugiego kuligu. Kuligi jadą w przeciwnych kierunkach. Zatem prędkość względna jednego kuligu względem drugiego jest równa sumie ich prędkości, wynosi więc $36 \frac{km}{h}$ . Ujednolicamy jednostki, czyli $2 s = \frac{2}{3600} h$ oraz $36 \frac{km}{h} = 36000 \frac{m}{h}$ Prędkości podane są w kilometrach na godzinę, więc czas wymijania zapisujemy w godzinach. Długość drugiego kuligu obliczamy jako iloczyn prędkości i czasu jazdy, czyli $s = 36000 \cdot \frac{2}{3600} = 20 m$ . Wynik otrzymujemy w metrach. Drugi kulig ma długość równą $20 m$ .

Slajd dziewiąty

Przykład czwarty Tramwaj mający długość czternaście metrów, jadący z prędkością dwudziestu czterech kilometrów na godzinę, wyprzedza w ciągu dwóch minut jadącą w tym samym kierunku kolumnę samochodów mającą długość sto pięćdziesiąt metrów. Obliczymy, z jaką prędkością porusza się kolumna samochodów

Zadanie rozwiążemy, układając odpowiednie równanie. W tym celu oznaczymy przez $v$ prędkość, z jaką porusza się kolumna samochodów i ujednolicamy jednostki, zapisując prędkość jazdy tramwaju w metrach na minutę. Zapisujemy prędkość, z jaką porusza się tramwaj w metrach na minutę. $24 \frac{km}{h} = \frac{24000}{60} \frac{m}{\min} = 40 \frac{m}{\min}$ W ciągu inuty tramwaj przejechał czterysta metrów.

Slajd dziesiąty

Zapisujemy równanie, w którym lewa strona jest sumą długości tramwaju, długości kolumny samochodów i długości drogi przebytej przez kolumnę samochodów w ciągu dwóch minut. Po prawej stronie zapisujemy iloczyn określający długość drogi przebytej przez tramwaj w ciągu dwóch minut. Otrzymujemy, $150 + 14 + 2 \cdot v = 2 \cdot 400$ , $164 + 2 v = 800$ , $2 v = 800 - 164$ , $v = \frac{636}{2}$ , $v = 318$ Po rozwiązaniu równania wnioskujemy, że samochody poruszają się z prędkością trzystu osiemnastu metrów na minutę. Prędkość jazdy najczęściej podajemy w kilometrach na godzinę, zatem uzyskany wynik zapisujemy właśnie w takich jednostkach. $v = 318 \frac{m}{\min} = \frac{0, 318}{\frac{1}{60}} \frac{km}{h} = 19, 08 \frac{km}{h}$ Kolumna samochodów porusza się z prędkością około $19 \frac{km}{h}$ .

Slajd jedenasty

Przykład piąty

Pociąg obok peronu mającego długość sześćset czterdzieści metrów przejeżdża w ciągu minuty. Ten sam pociąg mija obserwatora w ciągu dwunastu sekund. Obliczymy długość pociągu i jego prędkość. Zauważmy, że czas przejazdu pociągu obok peronu to czas od momentu, kiedy lokomotywa wjeżdża na peron, do momentu, kiedy koniec ostatniego wagonu opuszcza peron. Czoło pociągu w ciągu dwunastu sekund, czyli $\frac{12}{60}$ minuty przebywa drogę długości $\frac{12}{60} v$ metrów Zapisujemy czas jazdy pociągu w minutach i obliczamy długość drogi przebytej przez czoło pociągu. Obliczona długość jest zarazem równa długości pociągu, czyli $s = \frac{12}{60} v = \frac{1}{5}$ .

Slajd dwunasty

Pociąg obok peronu długości $640 m$ przejeżdża w ciągu minuty przebywa więc drogę długości $1 \cdot v$ metrów. Długość drogi przebytej przez pociąg w ciągu minuty jest równa sumie długości pociągu i długości peronu. Zapisujemy i rozwiązujemy wynikające stąd równanie. Zatem $1 \cdot v = 640 + \frac{1}{5} v$ , $v - \frac{1}{5} v = 640$ , $\frac{4}{5} v = 640$ , $v = 640 \cdot \frac{5}{4} = 800$ .

Slajd trzynasty

Prędkość jazdy pociągu jest równa osiemset metrów na minutę, czyli czterdzieści osiem kilometrów na godzinę. Istotnie, $v = 800 \frac{m}{\min} = \frac{0, 800}{\frac{1}{60}} \frac{km}{h} = 48 \frac{km}{h}$ . Długość pociągu obliczamy jako iloczyn prędkości i czasu jazdy, czyli $s = \frac{1}{5} \cdot 800 m = 160 m$ . Pociąg ma długość równą sto sześćdziesiąt metrów i porusza się z prędkością czterdziestu ośmiu kilometrów na godzinę.

Polecenie 2

R1agAAJbF9VBs

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

R1Ji9VrgUkWso

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Pociąg osobowy jedzie z prędkością

60 \frac{km}{h}

, a pociąg towarowy z prędkością

40 \frac{km}{h}

. Jeśli pociągi jadą 1. w tym samym kierunku, 2. w przeciwnych kierunkach to prędkość pociągu osobowego względem prędkości pociągu towarowego jest równa

100 \frac{km}{h}

. Jeśli pociągi jadą 1. w tym samym kierunku, 2. w przeciwnych kierunkach to prędkość pociągu osobowego względem prędkości pociągu towarowego jest równa

20 \frac{km}{h}

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie:

Rozwiązując zadania na prędkość, drogę, czas w ruchu jednostajnym prostoliniowym, można korzystać z poniższych wzorów:

s = v \cdot t

v = \frac{s}{t}

t = \frac{s}{v}

gdzie:
$s km$ – długość drogi przebytej przez ciało,
$v \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką porusza się ciało,
$t h$ – czas poruszania się ciała.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

REqd3FMEHt4pE

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RPBXxKMcUoHhS

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1RVX0S4tnyYb

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R8HtKyzQa7wKh

Dopasuj prędkość określoną w

\frac{km}{h}

do prędkości, o tej samej wartości, określonej w

\frac{m}{\min}

36

Możliwe odpowiedzi: 1.

85

, 2.

400

, 3.

50

, 4.

600

, 5.

200

3

Możliwe odpowiedzi: 1.

85

, 2.

400

, 3.

50

, 4.

600

, 5.

200

12

Możliwe odpowiedzi: 1.

85

, 2.

400

, 3.

50

, 4.

600

, 5.

200

5, 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

85

, 2.

400

, 3.

50

, 4.

600

, 5.

200

24

Możliwe odpowiedzi: 1.

85

, 2.

400

, 3.

50

, 4.

600

, 5.

200

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R7RCQLKN3MMs0

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Miejscowość

A

B

położone są w odległości

120 km

.
Pociąg wyrusza z miejscowości

A

o godz.

18:00

i zmierza do miejscowości

B

, w której powinien być o godzinie

20:00

.
Jeśli jedzie z prędkością

80 \frac{km}{h}

, to 1. przyjedzie punktualnie, 2.

22:00

, 3. spóźni się, 4.

19:00

, 5. przyjedzie za wcześnie, 6.

20:00

, 7.

21:00

.
Jeśli jedzie z prędkością

60 \frac{km}{h}

, to 1. przyjedzie punktualnie, 2.

22:00

, 3. spóźni się, 4.

19:00

, 5. przyjedzie za wcześnie, 6.

20:00

, 7.

21:00

.
Jeśli jedzie z prędkością

40 \frac{km}{h}

, to 1. przyjedzie punktualnie, 2.

22:00

, 3. spóźni się, 4.

19:00

, 5. przyjedzie za wcześnie, 6.

20:00

, 7.

21:00

i przyjedzie o godzinie 1. przyjedzie punktualnie, 2.

22:00

, 3. spóźni się, 4.

19:00

, 5. przyjedzie za wcześnie, 6.

20:00

, 7.

21:00

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Julka i Basia spotkały się przypadkiem na skrzyżowaniu dróg. Po chwili rozmowy rozstały się. Julka odjechała rowerem na południe z prędkością $12 \frac{km}{h}$ , a Basia pobiegła na zachód z prędkością o $7 \frac{km}{h}$ mniejszą. Oblicz, w jakiej odległości od siebie znajdą się dziewczęta po godzinie od chwili rozstania.

R7cHlaC06FulS

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$12 \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką porusza się Julka,
$(12 - 7) \frac{km}{h} = 5 \frac{km}{h}$ – prędkość, z jaką biegnie Basia,
$s km$ – odległość, w jakiej znajdą się dziewczęta po godzinie.
W ciągu godziny Julka przebędzie drogę długości $12 km$ , a Basia przebędzie drogę długości $5 km$ .
Dziewczęta oddalają się od siebie po drogach prostopadłych. W obliczeniach możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

s^{2} = 5^{2} + 12^{2}

s^{2} = 25 + 144

s^{2} = 169

s = 13

Odpowiedź:
Dziewczęta znajdą się w odległości $13 km$ od siebie.

Ćwiczenie 6

Metro przejeżdża przez tunel z prędkością $60 \frac{km}{h}$ . Od momentu, kiedy lokomotywa wjeżdża do tunelu, do chwili, kiedy koniec ostatniego wagonu opuszcza tunel, upływają $72$ sekundy.
Oblicz długość tunelu, jeżeli długość metra jest równa $140 m$ .

R1bw3B8KKlysO

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$x m$ – długość tunelu
$60 \frac{km}{h} = \frac{60000}{3600} \frac{m}{s} = \frac{100}{6} \frac{m}{s}$
W ciągu $72 s$ metro przejedzie drogę długości $72 \cdot \frac{100}{6} m = 1200 m$
Droga ta jest równocześnie równa $(x + 140) m$ .
$x + 140 = 1200$
$x = 1060 m$

Odpowiedź:
Tunel ma długość $1060 m$ .

RKWoRab9Wmq09

Ćwiczenie 7

Pan Artur i pan Piotr wyruszyli jednocześnie o godzinie

10:30

z Dalikowa i jadą do Minkowa, znajdującego się w odległości

24 km

. Piotr jedzie z prędkością dwa razy większą niż Artur. Przybył więc do Minkowa o godzinę wcześniej. O której godzinie Artur przyjechał do Minkowa?
Poukładaj w kolejności rozwiązanie tego zadanie. Elementy do uszeregowania: 1. Artur jedzie z prędkością

12 \frac{km}{h}

., 2.

\frac{24}{v} = \frac{12}{v} + 1

, 3.

\frac{12}{v} = 1 | \cdot v

, 4. Artur będzie jechał do Minkowa

2

godziny., 5.

24 : 12 = 2

, 6.

2 v \frac{km}{h}

- prędkość, z jaką jedzie Piotr, 7. Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie., 8.

12 = v

, 9. Odpowiedź: Artur przyjedzie do Minkowa o godzinie

12:30

., 10. Obliczamy, jak długo Artur będzie jechał do Minkowa., 11.

v \frac{km}{h}

- prędkość, z jaką jedzie Artur, 12.

\frac{24}{v} = \frac{24}{2 v} + 1

, 13.

\frac{24}{v} - \frac{12}{v} = 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Rw4dFhQY7L738

Łączenie par. Kajak i łódka wypłynęły naprzeciw siebie. Prędkość prądu rzeki wynosiła

5 \frac{km}{h}

. Kajak wyruszył z Przystani Snów i do momentu spotkania płynął z prądem

10

minut. Łódka wyruszyła z Przystani Marzeń i płynęła do momentu spotkania

5

minut. Prędkość własna kajaka byłą równa

15 \frac{km}{h}

, a łódki

13 \frac{km}{h}

.
Korzystając z danych zapisanych w treści zadania, zaznacz które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Rzeczywista prędkość, z którą płynął kajak była równa

10 \frac{km}{h}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Rzeczywista prędkość, z którą płynął kajak była równa

8 \frac{km}{h}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Droga, którą pokonał kajak do momentu spotkania z łódką, była równa

3 \frac{1}{3} km

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Droga, którą pokonała łódka do momentu spotkania z kajakiem, była równa

40 km

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Odległość między Przystanią Snów, a Przystanią Marzeń jest równa

4 km

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Jeśli prędkość prądu rzeki jest równa $v \frac{km}{h}$ , a łódki na wodzie stojącej (np. jeziorze) jest równa $w \frac{km}{h}$ , to:

łódka w dół rzeki płynie z prędkością $(v + w) \frac{km}{h}$ ,
łódka w górę rzeki płynie z prędkością $(w - v) \frac{km}{h}$ .

Słownik

długość drogi

Długość drogi $s$ (w $km$ ) przebytej przez ciało w ruchu jednostajnym prostoliniowym, wyznaczamy ze wzoru:

s = v \cdot t

gdzie:
$v$ – prędkość, z jaką porusza się ciało (w $\frac{km}{h}$ ),
$t$ – czas poruszania się ciała (w $h$ ).

Bibliografia

Gałązka K., (1999), Metrem, żaglowcem i na chmurze, czyli matematyczne podróże, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne.