Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych - przykłady

W tym materiale zawarte są przykłady rozwiązywania zadań tekstowych przy pomocy równań kwadratowych. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć w jaki sposób rozwiązuje się równania kwadratowe, zajrzyj do materiału Równanie kwadratoweD1Ct0B4h4Równanie kwadratowe.

Pokażemy teraz kilka przykładowych zadań tekstowych, w których interpretacja danych zapisanych w ich treści doprowadzi do równania kwadratowego.

Przykład 1

W roku $2015$ na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli wiek, który osiągnę za $15$ lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za $55$ lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?

R49aW2X3CDHj91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Jubilat urodził się w $2001$ roku.

Przykład 2

Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa $135$ . Ile boków ma ten wielokąt?

Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez $n$ . Wówczas liczba jego przekątnych jest równa $\frac{n (n - 3)}{2}$ .

Otrzymujemy równanie

\frac{n (n - 3)}{2} = 135

Stąd

n^{2} - 3 n = 135 \cdot 2

n^{2} - 3 n - 270 = 0

Obliczamy wyróżnik

Δ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 270) = 1089 = 33^{2}

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są $n_{1} = \frac{3 + 33}{2} = 18$ oraz $n_{2} = \frac{3 - 33}{2} = - 15$ .

Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt jest osiemnastokątem.

Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.

Przykład 3

Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe $280$ . Krawędź podstawy jest o $3$ krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość $V$ tego prostopadłościanu.

Oznaczmy przez $x$ długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego krawędzi bocznej jest równa $x + 3$ , a pole powierzchni bocznej jest równe $4 \cdot x \cdot (x + 3)$ . Otrzymujemy równanie

4 x (x + 3) = 280

Stąd:

x (x + 3) = 70

x^{2} + 3 x = 70

x^{2} + 3 x - 70 = 0

Obliczamy wyróżnik

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70) = 289 = 17^{2}

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są
$x_{1} = \frac{- 3 + 17}{2} = 7$ oraz $x_{2} = \frac{- 3 - 17}{2} = - 10$ .

Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wymiarach $7$ , $7$ i $10$ , a więc jego objętość $V$ jest równa $490$ .
Odpowiedź: $V = 490$ .

Przykład 4

Ro9lOrgUamB7y1

Przykład 5

Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma pole powierzchni $5600 m^{2}$ . Druga działka ma długość o $20 m$ większą i szerokość o $5 m$ większą niż pierwsza oraz pole powierzchni większe o $1900 m^{2}$ . Obliczymy wymiary obu działek.

Wprowadzamy oznaczenia:

$x$ – długość pierwszej działki (w metrach),

$y$ – szerokość pierwszej działki (w metrach).

Ponieważ jej pole powierzchni jest równe $5600 m^{2}$ , więc $x y = 5600$ .

Wtedy druga działka ma wymiary:

długość: $(x + 20) m$ oraz szerokość: $(y + 5) m$ ,

a skoro jej pole powierzchni jest równe $(5600 + 1900) m^{2}$ , więc

(x + 20) (y + 5) = 7500

Uwzględniamy w tym równaniu zależność $x y = 5600$ i przekształcamy je do postaci

x = 360 - 4 y

Stąd:

(360 - 4 y) y = 5600

- 4 y^{2} + 360 y = 5600

y^{2} - 90 y + 1400 = 0

Obliczamy wyróżnik:

Δ = {(- 90)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1400 = 2500 = 50^{2}

Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są $y_{1} = \frac{90 + 50}{2} = 70$ oraz $y_{2} = \frac{90 - 50}{2} = 20$ .

Zatem możliwe są dwa przypadki:

pierwsza działka ma wymiary $80 m$ i $70 m$ i wtedy druga ma wymiary $100 m$ i $75 m$ lub pierwsza działka ma wymiary $280 m$ i $20 m$ i wtedy druga ma wymiary $300 m$ i
$25 m$ .

Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary $80 m$ i
$70 m$ , druga – $100 m$ i $75 m$ lub pierwsza działka ma wymiary $280 m$ i $20 m$ , druga – $300 m$ i $25 m$ .